Введение

Непрерывная деформация между двумя непрерывными функциями. Топология.

В топологии, ветви математики, две непрерывные функции из одного топологического пространства в другое называются гомотопными (от ὁμός "одинаковый, похожий" и τόπος "место"), если одну из них можно "непрерывно деформировать" в другую, а такая деформация называется гомотопией (/h//ə/'/m//ɒ//t//ə//p//iː/, həMOtəpee; '/h//oʊ//m//oʊ/,/t//oʊ//p//iː/, HOHmohtohpee) между этими функциями. Важным применением гомотопии является определение гомотопических и когомотопических групп – важных инвариантов в алгебраической топологии. На практике при работе с гомотопиями для определенных пространств возникают технические трудности. Алгебраические топологи работают с компактно порожденными пространствами, CW-комплексами или спектрами.

Свойства

Непрерывные функции f и g называются гомотопными тогда и только тогда, когда существует гомотопия H, переходящая от f к g, как описано выше. Гомотопность является отношением эквивалентности на множестве всех непрерывных функций из X в Y. Это отношение гомотопии согласовано с композицией функций в следующем смысле: если f1, g1 : X → Y гомотопны, и f2, g2 : Y → Z гомотопны, то их композиции f2 ∘ f1 и g2 ∘ g1 : X → Z также гомотопны.

Гомотопическая эквивалентность

При заданных двух топологических пространств X и Y, гомотопической эквивалентностью между X и Y называется пара непрерывных отображений f: X → Y и g: Y → X, таких что g ∘ f гомотопно тождественному отображению idX и f ∘ g гомотопно idY. Если такая пара существует, то X и Y называются гомотопически эквивалентными, или пространствами одного и того же типа гомотопии. Интуитивно, два пространства X и Y гомотопически эквивалентны, если их можно преобразовать друг в друга посредством операций изгиба, сжатия и растяжения. Пространства, гомотопически эквивалентные точке, называются стягиваемыми.

Гомотопическая эквивалентность против гомеоморфизма

Гомеоморфизм — это частный случай эквивалентности гомотопии, в котором 1 = g ∘ f равно тождественному отображению idX (а не только гомотопично ему), и 1 = f ∘ g равно idY. Следовательно, если X и Y гомеоморфны, то они являются гомотопически эквивалентными, но обратное неверно. Вот несколько примеров:

Твердый диск гомотопически эквивалентен одной точке, поскольку диск можно непрерывно деформировать по радиальным линиям в одну точку. Однако они не гомеоморфны, так как между ними нет биекции (поскольку один из них — бесконечное множество, а другой — конечное). Полоса Мёбиуса и нескрученная (замкнутая) полоса гомотопически эквивалентны, поскольку обе полосы можно непрерывно деформировать в круг. Но они не гомеоморфны.

Примеры

Первый пример эквивалентности гомотопии – это эквивалентность с точкой, обозначаемая . Частью, которую необходимо проверить, является существование гомотопии между и , проекцией из в начало координат. Это можно описать как: Существует эквивалентность гомотопии между (одной сферой) и . В более общем случае, любой расслоение с волокнами, гомотопически эквивалентными точке, имеет гомотопически эквивалентные общее и базовое пространства. Это обобщает два предыдущих примера, поскольку является расслоением с волокном . Любой векторный расслоение является расслоением с волокном, гомотопически эквивалентным точке. Для любого , можно записать как общее пространство расслоения , а затем применить вышеуказанные эквивалентности гомотопии. Если подкомплекс CW-комплекса является стягиваемым, то факторпространство гомотопически эквивалентно . Деформация ретракции является эквивалентностью гомотопии.

Нулевая гомотопия

Функция называется нулевой гомотопией, если она гомотопна постоянной функции. (Гомотопия от функции к постоянной функции иногда называется нулевой гомотопией.) Например, отображение из единичной окружности в любое пространство является нулевой гомотопией тогда и только тогда, когда его можно непрерывно продолжить до отображения с единичного диска в это пространство, которое совпадает с исходным отображением на границе. Из этих определений следует, что пространство является стягиваемым, если и только если тождественное отображение из пространства в себя – которое всегда является гомотопической эквивалентностью – является нулевой гомотопией.

Неизменность

Гомотопическая эквивалентность важна, поскольку в алгебраической топологии многие понятия являются гомотопическими инвариантами, то есть они сохраняют отношение гомотопической эквивалентности. Например, если X и Y – гомотопически эквивалентные пространства, то: X является путь-связным тогда и только тогда, когда Y. X является просто связным тогда и только тогда, когда Y. (Сингулярные) группы гомологии и когомологии пространств X и Y изоморфны. Если X и Y путь-связны, то фундаментальные группы X и Y изоморфны, а также высшие гомотопические группы. (Без предположения о путь-связности, π1(X, x0) изоморфна π1(Y, f(x0)), где f: X → Y – гомотопическая эквивалентность и x0 ∈ X.) Примером алгебраического инварианта топологических пространств, который не является гомотопическим инвариантом, является гомология с компактным носителем (которая, грубо говоря, является гомологией компактификации, а компактификация не является гомотопическим инвариантом).

Относительная гомотопия

Для того, чтобы определить фундаментальную группу, необходимо понятие гомотопии относительно подпространства. Это гомотопии, которые фиксируют элементы подпространства. Формально: если f и g – непрерывные отображения из X в Y, а K – подмножество X, то мы говорим, что f и g гомотопны относительно K, если существует гомотопия H: X × [0, 1] → Y между f и g, такая, что H(k, t) = f(k) = g(k) для всех k ∈ K и t ∈ [0, 1]. Также, если g является отступлением от X к K, а f – тождественным отображением, это известно как сильное деформационное отступление X к K. Когда K является точкой, используется термин заострённая гомотопия.

Изотопия

Когда две заданные непрерывные функции f и g из топологического пространства X в топологическое пространство Y являются вложениями, возникает вопрос, можно ли соединить их «через вложения». Это приводит к понятию изотопии, которая является гомотопией H в ранее использованных обозначениях, такой что для каждого фиксированного t, H(x, t) дает вложение. Связанным, но отличным понятием является понятие окружающей изотопии. Требование, чтобы два вложения были изотопными, является более строгим, чем требование их гомотопности. Например, отображение из интервала [−1, 1] в вещественные числа, заданное f(x) = −x, не является изотопным тождественному отображению g(x) = x. Любая гомотопия от f к тождеству должна была бы менять местами конечные точки, что означало бы, что они должны были бы «проходить» друг сквозь друга. Более того, f изменила ориентацию интервала, а g — нет, что невозможно при изотопии. Однако эти отображения гомотопны; одна из гомотопий от f к тождеству — это H: [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1], заданная выражением H(x, y) = 2yx − x. Два гомеоморфизма (которые являются частными случаями вложений) единичного шара, совпадающих на границе, можно показать изотопными с помощью трюка Александра. По этой причине отображение единичного диска в R2, заданное f(x, y) = (−x, −y), изотопно 180-градусному вращению вокруг начала координат, и, следовательно, тождественное отображение и f изотопны, поскольку их можно соединить вращениями. В геометрической топологии, например, в теории узлов, идея изотопии используется для построения отношений эквивалентности. Например, когда два узла следует считать одинаковыми? Возьмем два узла K1 и K2 в трехмерном пространстве. Узел — это вложение одномерного пространства, «петли нити» (или окружности), в это пространство, и это вложение дает гомеоморфизм между окружностью и ее образом в пространстве вложения. Интуитивная идея, лежащая в основе понятия эквивалентности узлов, заключается в том, что можно деформировать одно вложение в другое по пути вложений: непрерывная функция, начинающаяся при t = 0 и дающая вложение K1, заканчивающаяся при t = 1 и дающая вложение K2, при этом все промежуточные значения соответствуют вложениям. Это соответствует определению изотопии. Окружающая изотопия, изучаемая в этом контексте, — это изотопия большего пространства, рассматриваемая в свете ее действия на встроенное подмногообразие. Узлы K1 и K2 считаются эквивалентными, если существует окружающая изотопия, которая переводит K1 в K2. Это соответствующее определение в топологической категории. Аналогичный язык используется для эквивалентного понятия в контекстах, где существует более сильное понятие эквивалентности. Например, путь между двумя гладкими вложениями является гладкой изотопией.

Временная гомотопия

На лоренциевом многообразии некоторые кривые выделяются как времениподобные (представляющие движение только вперёд во времени, а не назад, в любой локальной системе координат). Времениподобная гомотопия между двумя времениподобными кривыми — это гомотопия, при которой кривая остаётся времениподобной в течение непрерывного перехода от одной кривой к другой. Ни одна замкнутая времениподобная кривая (CTC) на лоренциевом многообразии не гомотопна к точке времениподобным образом (то есть, не является нулевой времениподобной гомотопией); следовательно, такое многообразие считается многосвязным по времениподобным кривым. Многообразие, такое как 3-сфера, может быть простосвязным (любым типом кривых), но при этом быть времениподобно многосвязным.

Группы

Поскольку отношение гомотопности двух функций относительно подпространства является отношением эквивалентности, мы можем рассматривать классы эквивалентности отображений между фиксированными X и Y. Если мы зафиксируем , единичный интервал [0, 1], перемноженный на себя n раз, и возьмем его границу в качестве подпространства, то классы эквивалентности образуют группу, обозначаемую , где лежит в образе подпространства. Мы можем определить действие одного класса эквивалентности на другой, и таким образом получить группу. Эти группы называются группами гомотопии. В случае , она также называется фундаментальной группой.

Категория гомотопии

Идея гомотопии может быть формализована как категория в теории категорий. Гомотопическая категория – это категория, объектами которой являются топологические пространства, а морфизмами – классы эквивалентности гомотопий непрерывных отображений. Два топологических пространства X и Y изоморфны в этой категории тогда и только тогда, когда они гомотопно эквивалентны. Функтор на категории топологических пространств является гомотопически инвариантным, если его можно представить как функтор на гомотопической категории. Например, гомологические группы – это функциональный гомотопический инвариант: это означает, что если отображения f и g из X в Y гомотопны, то индуцированные ими групповые гомоморфизмы на уровне гомологических групп совпадают: Hn(f) = Hn(g) : Hn(X) → Hn(Y) для всех n. Аналогично, если X и Y дополнительно связны по путям, и гомотопия между f и g является точечной, то индуцированные f и g групповые гомоморфизмы на уровне гомотопических групп также совпадают: πn(f) = πn(g) : πn(X) → πn(Y).

Приложения

На основе концепции гомотопии были разработаны методы вычислений для алгебраических и дифференциальных уравнений. Методы для алгебраических уравнений включают метод продолжения по гомотопии и метод продолжения (см. численное продолжение). Методы для дифференциальных уравнений включают метод гомотопического анализа. Теория гомотопии может служить основой для теории гомологии: кохомологический функтор на пространстве X можно представить отображениями X в соответствующее фиксированное пространство с точностью до гомотопической эквивалентности. Например, для любой абелевой группы G и любого базисного CW-комплекса X, множество базисных классов гомотопии базисных отображений из X в пространство Эйленберга — Маклейна находится в естественной биекции с n-й сингулярной группой кохомологий пространства X. Говорят, что омега-спектр пространств Эйленберга — Маклейна является представляющим пространством для сингулярной кохомологии с коэффициентами в G.