Кіріспе
Векторлық кеңістіктен скалярлар өрісіне дейінгі сызықтық бейнелеу. Математикада сызықтық форма (сызықтық функционал, бір форма немесе ковектор деп те аталады) – векторлық кеңістіктен оның скалярлар өрісіне дейінгі сызықтық бейнелеу (көбінесе нақты сандар немесе кешенді сандар). Егер V – k өрісі үстіндегі векторлық кеңістік болса, V-ден k-ға дейінгі барлық сызықтық функционалдар жиынының өзі k өрісі үстінде векторлық кеңістік болып табылады, мұнда қосу және скалярлық көбейту нүктелік түрде анықталады. Бұл кеңістік V кеңістігінің жұптас кеңістігі деп аталады, немесе кейде топологиялық жұптас кеңістікті де қарастырғанда алгебралық жұптас кеңістік деп аталады. Ол көбінесе Hom(V, k) деп белгіленеді, немесе k өрісі түсінілген жағдайда ; басқа белгілер де қолданылады, мысалы , немесе , бірақ ол аффиндік сызықтық.
In mathematics, a linear form (also known as a linear functional, a one form, or a covector) is a linear map from a vector space to its field of scalars (often, the real numbers or the complex numbers). If V is a vector space over a field k, the set of all linear functionals from V to k is itself a vector space over k with addition and scalar multiplication defined pointwise. This space is called the dual space of V, or sometimes the algebraic dual space, when a topological dual space is also considered. It is often denoted Hom(V, k), or, when the field k is understood, ; other notations are also used, such as , or It is, however, affine linear.
Көрнекілендіру
Шекті өлшемдерде сызықтық функционал оның деңгейлік жиындары, яғни белгілі бір мәнге бейнеленетін векторлар жиыны арқылы көруге болады. Үш өлшемде сызықтық функционалдың деңгейлік жиындары өзара параллель жазықтықтардың жиынтығын құрайды; ал жоғары өлшемдерде олар параллель гипержазықтықтар болып табылады. Сызықтық функционалдарды осылай көру әдісі кейде жалпы салыстырмалылық туралы мәтіндерде, мысалы, Gravitation by .
Квадраттураға қолдану
Егер , -де әртүрлі нүктелер болса, онда жоғарыда анықталған сызықтық функциялар Pn полиномиалдар кеңістігінің қос кеңістігінің негізін құрайды, яғни дәрежесі n болатын полиномиалдар кеңістігінің негізін құрайды. I интегралдық функциясы да Pn кеңістігінде сызықтық функция болып табылады, сондықтан оны осы негізгі элементтердің сызықтық комбинациясы түрінде жазуға болады. Символдармен белгіленгенде, барлық үшін коэффициенттер табылады:
for all This forms the foundation of the theory of numerical quadrature.
Кванттық механикада
Линейлік функционалдар кванттық механикада ерекше маңызды. Кванттық механикалық жүйелер Хилберт кеңістіктері арқылы өрнектеледі, олар өздерінің жалқы кеңістіктеріне антиизоморфты. Кванттық механикалық жүйенің күйін сызықтық функционалмен сәйкестендіруге болады. Толық ақпарат алу үшін «бра-кет» белгілеуін қараңыз.
Таратулар
Жалпыланған функциялар теориясында, таралымдар деп аталатын жалпыланған функциялардың кейбір түрлері, сынақ функциялары кеңістіктеріндегі сызықтық функционалдар ретінде көрініс бере алады.
Сақинаның үстінде
Сақинадағы модульдер векторлық кеңістіктердің жалпылама түрі болып табылады, бұл коэффициенттердің өріске жататындығы туралы шектеуді алып тастайды. R сақинасы үстіндегі M модулі берілгенде, M-дегі сызықтық форма – M-ден R-ге дейінгі сызықтық бейнелеу, мұнда соңғысы өзінің үстіндегі модуль ретінде қарастырылады. Сызықтық формалардың кеңістігі әрқашан Homk(V, k) деп белгіленеді, k өріс болсын немесе болмасын. Егер V сол жақ модуль болса, онда ол оң жақ модуль болады. Модульде "жеткілікті" сызықтық формалардың болуы проективтілікке эквивалентті.
Нақты және күрделі сызықтық функционалдар
Кез келген сызықтық функционал нақты санды мәнін қабылдаса, кез келген сызықтық функционал нақты мәнін қабылдайды. Егер онда, сызықтық функционал немесе немесе кеңістіктерінің біреуінде тривиалды емес (яғни, толығымен нөлге тең емес) болады, егер және ғана егер ол сюръективті болса (өйткені кез келген скаляр үшін ), мұнда сызықтық функционалдың бейнесі ал эми сызықтық функционалдың бейнесі болып табылады.
Consequently, the only function on that is both a linear functional on and a linear function on is the trivial functional; in other words, where denotes the space's algebraic dual space. However, every linear functional on is an linear operator (meaning that it is additive and homogeneous over ), but unless it is identically it is not an linear functional on because its range (which is ) is 2 dimensional over Conversely, a non zero linear functional has range too small to be a linear functional as well.
Осының салдарынан, және кеңістіктерінде сызықтық функционал да, сызықтық функция да болатын жалғыз функция – тривиалды функционал ғана; яғни, мұнда кеңістіктің алгебралық қосалқы кеңістігін білдіреді. Алайда, кез келген сызықтық функционал сызықтық оператор болып табылады (яғни, ол үстінде қосымша және біртекті), бірақ егер ол толығымен нөлге тең болмаса, ол сызықтық функционал емес, өйткені оның ауқымы (яғни ) -тің үстінде 2 өлшемді. Керісінше, нөлдік емес сызықтық функционалдың ауқымы сызықтық функционал болу үшін тым кішкентай.
Consequently, the only function on that is both a linear functional on and a linear function on is the trivial functional; in other words, where denotes the space's algebraic dual space. However, every linear functional on is an linear operator (meaning that it is additive and homogeneous over ), but unless it is identically it is not an linear functional on because its range (which is ) is 2 dimensional over Conversely, a non zero linear functional has range too small to be a linear functional as well.
Жабық кіші кеңістіктерді сипаттау
Үздік сызықтық функционалдар талдау үшін пайдалы қасиеттерге ие: сызықтық функционалдың үздік болу шарты – оның ядросы жабық болуы, ал тривиалды емес үздік сызықтық функционал ашық бейнелеу болып табылады, тіпті (топологиялық) векторлық кеңістік толық емес болса да.
Ханн-Банах теоремасы
Кез келген (алгебралық) сызықтық функционал векторлық кіші кеңістікте бүкіл кеңістікке кеңейтілуі мүмкін; мысалы, жоғарыда сипатталған бағалау функционалдары барлық полиномиалдардың векторлық кеңістігіне кеңейтілуі мүмкін. Дегенмен, сызықтық функционалды үздіксіз сақтай отырып, мұндай кеңейтуді әрқашан жасауға болмайды. Хан-Банах теоремаларының тобы осы кеңейтуді қалай жүзеге асыруға болатынының шарттарын көрсетеді. Мысалы: