Введение

Линейное отображение из векторного пространства в его поле скаляров

В математике линейная форма (также известная как линейный функционал, одна форма или ковектор) — это линейное отображение из векторного пространства в его поле скаляров (часто, вещественных или комплексных чисел). Если V — векторное пространство над полем k, то множество всех линейных функционалов из V в k само по себе является векторным пространством над k с операциями сложения и умножения на скаляр, заданными поточечно. Это пространство называется двойственным пространством к V, или иногда алгебраическим двойственным пространством, когда также рассматривается топологическое двойственное пространство. Его часто обозначают Hom(V, k), или, когда поле k подразумевается, ; также используются другие обозначения, такие как , или . Оно, однако, является аффинным линейным.

Визуализация

В конечных измерениях линейный функционал можно представить себе через его уровневые множества – множества векторов, которые отображаются в заданное значение. В трех измерениях уровневые множества линейного функционала представляют собой семейство взаимно параллельных плоскостей, а в более высоких измерениях – параллельные гиперплоскости. Этот способ визуализации линейных функционалов иногда встречается в учебниках по общей теории относительности, например, в книге "Гравитация" авторства .

Применение к квадратуре

Если есть различные точки в , то линейные функционалы, определенные выше, образуют базис двойственного пространства Pn, пространства многочленов степени n. Интегральный функционал I также является линейным функционалом на Pn и, следовательно, может быть выражен как линейная комбинация этих базисных элементов. В символах, существуют коэффициенты , для которых

для всех . Это составляет основу теории численного интегрирования.

В квантовой механике

Линейные функционалы особенно важны в квантовой механике. Квантовомеханические системы представляются пространствами Гильберта, которые антиизоморфны своим собственным сопряжённым пространствам. Состояние квантовомеханической системы можно отождествить с линейным функционалом. Подробнее см. обозначения Дирака (bra-ket notation).

Распространение

В теории обобщенных функций некоторые виды обобщенных функций, называемые распределениями, могут быть представлены как линейные функционалы на пространствах пробных функций.

За кольцом

Модули над кольцом являются обобщением векторных пространств, снимающим ограничение на то, что коэффициенты принадлежат полю. Для модуля M над кольцом R линейной формой на M называется линейное отображение из M в R, где последнее рассматривается как модуль над собой. Пространство линейных форм всегда обозначается Hom(M, R), независимо от того, является ли R полем или нет. Оно является правым модулем, если M — левый модуль. Существование "достаточного" количества линейных форм на модуле эквивалентно проективности.

Реальные и сложные линейные функционалы

Каждый линейный функционал на ℝⁿ принимает комплексные значения, а каждый линейный функционал на ℂⁿ – вещественные. Если ℝⁿ ⊂ ℂⁿ, то линейный функционал на любом из пространств ℝⁿ или ℂⁿ является нетривиальным (то есть не тождественно равным нулю) тогда и только тогда, когда он сюръективен (потому что если f(x) = 0 для всех x, то для любого скаляра c, f(cx) = 0), где образ линейного функционала на ℝⁿ равен ℝ, а образ линейного функционала на ℂⁿ равен ℂ. Следовательно, единственная функция на ℝⁿ, которая является одновременно линейным функционалом на ℝⁿ и линейной функцией на ℂⁿ, – это тривиальный функционал; другими словами, f(x) = 0 для всех x, где обозначает алгебраическое двойственное пространство пространства. Однако, каждый линейный функционал на ℝⁿ является линейным оператором (что означает, что он аддитивен и однороден по ℝ), но если он не тождественно равен нулю, то он не является линейным функционалом на ℂⁿ, потому что его образ (который является ℝ) является двумерным над ℂ. И наоборот, не нулевой линейный функционал на ℂⁿ имеет образ слишком малый, чтобы быть линейным функционалом на ℝⁿ.

Характеристика закрытых подпространств

Непрерывные линейные функционалы обладают удобными свойствами для анализа: линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро замкнуто, и нетривиальный непрерывный линейный функционал является открытым отображением, даже если (топологическое) векторное пространство не является полным.

Теорема Хана Банаха

Любое (алгебраическое) линейное функциональное на векторном подпространстве может быть продолжено на всё пространство; например, функционалы оценки, описанные выше, могут быть продолжены на векторное пространство многочленов на всем ℝ. Однако такое продолжение не всегда возможно сохранить непрерывным. Семейство теорем Ганна — Банаха предоставляет условия, при которых такое продолжение возможно. Например,