Кіріспе

Математикалық өрнек
Сандық талдау математикалық саласында Ньютон полиномы, оны ойлап тапқан Исаак Ньютонның есімімен аталған, берілген деректер нүктелері жиынтығы үшін интерполяциялық полином болып табылады. Ньютон полиномы кейде Ньютонның бөлінген айырмашылықтары арқылы интерполяциялық полином деп те аталады, себебі полиномның коэффициенттері Ньютонның бөлінген айырмашылықтары әдісімен есептеледі.

Ньютонның алға бөлінген айырма формуласы

Ньютон полиномиалы мәндері тең аралықпен тізбектелген жағдайда жеңілдетілген түрде жазылуы мүмкін. Егер i = 0, 1, ..., k үшін мәндер тізбектелген және тең аралықта орналасса, ал x айнымалысы x = x₀ + ih ретінде берілсе, онда айырмашылықты былай жазуға болады. Сондықтан Ньютон полиномиалы келесідей болады.

Бұл Ньютонның алға бағытталған бөлінген айырмашылықтар формуласы деп аталады.

Маңыздылығы

Ньютонның формуласы қызығушылық тудырады, себебі ол Тейлор полиномының тікелей және табиғи айырмашылықтар түрі болып табылады. Тейлор полиномы функцияның бір x мәніндегі y мәніне және оның туындыларына (өзгеріс жылдамдығы, осы жылдамдықтың өзгеруі және т.б.) сүйене отырып, функцияның қайда бағытталатынын көрсетеді. Ньютонның формуласы – бірден емес, шекті айырмашылықтарға негізделген Тейлор полиномы.

Жаңа тармақтарды қосу

Басқа айырмашылық формулалары сияқты, Ньютон интерполяциялық көпмүшесінің дәрежесін қолданыстағыларын жоймай, көбірек мүшелер мен нүктелерді қосу арқылы арттыруға болады. Ньютонның түрі жаңа нүктелердің әрқашан бір жақтан қосылатындай қарапайым: Ньютонның алға қарай формуласы оң жаққа жаңа нүктелерді қоса алады, ал Ньютонның артқа қарай формуласы сол жаққа жаңа нүктелерді қоса алады. Полиномдық интерполяцияның дәлдігі интерполяцияланатын нүкте, пайдаланылған нүктелер жиынтығының x мәндерінің ортасына қаншалықты жақын екеніне байланысты. Жаңа нүктелер бір жақтан қосылғанда, ортаңғы нүкте бастапқы дерек нүктесінен алшақтап кетеді. Сондықтан, қажетті дәлдік үшін қанша нүкте қажет екені белгісіз болса, x мәндерінің ортасы интерполяция жасалатын жерден қашықта болуы мүмкін. Гаусс, Стирлинг және Бессель осы мәселені шешу үшін формулалар жасады. Гаусс формуласы жаңа нүктелерді сол және оң жақтарында кезекпен қосады, осылайша нүктелер жиынтығын ортада, бағалау нүктесіне жақын ұстайды. Бұл ретте Ньютон формуласының мүшелері қолданылады, дерек нүктесі мен x мәндері x0 дерек нүктесі ретінде қандай дерек нүктесі таңдалғанына сәйкес қайта аталады. Стирлинг формуласы белгілі бір дерек нүктесінің айналасында орталықталған күйде қалады, бағалау нүктесі екі дерек нүктесінің ортасынан гөрі дерек нүктесіне жақын болған кезде қолданылады. Бессель формуласы екі дерек нүктесі арасындағы белгілі бір ортаға шоғырланған күйде қалады, бағалау нүктесі дерек нүктесінен гөрі ортаға жақын болған кезде қолданылады. Бессель және Стирлинг мұны кейде екі айырмашылықтың орташасын, ал кейде x-тегі екікөлденістің екі көбейтіндісінің орташасын қолдану арқылы жетістікке жеткізеді, ал Ньютон немесе Гаусс тек бір айырмашылықты немесе көбейтіндіні қолданады. Стирлинг тақ дәрежелі мүшелерде (аның айырмашылығы дерек нүктелерінің жұп санын пайдаланады) орташа айырмашылықты қолданады; Бессель жұп дәрежелі мүшелерде (аның айырмашылығы дерек нүктелерінің тақ санын пайдаланады) орташа айырмашылықты қолданады.

Түрлі формулалардың артықшылықтары мен кемшіліктері

Деректер нүктелерінің кез келген шекті жиынтығы үшін, олардың барлығы арқылы өтетін ең төменгі мүмкін дәрежедегі тек бір ғана көпмүше болады. Сондықтан, интерполяциялық көпмүшенің "Ньютон түрі", немесе Лагранж түрі, сияқты түрлері туралы айту қалыпты. Дегенмен, осы көпмүшені есептеудің әртүрлі әдістері әртүрлі есептеу тиімділігіне ие болуы мүмкін. Гаусс, Бессель және Стирлинг сияқты бірнеше ұқсас әдістер бар. Олар Ньютон әдісінен деректер нүктелерінің x мәндерін өзгерту арқылы шығарылуы мүмкін, бірақ практикада олардың маңызы зор.

Бесел мен Стерлинг

Бессел мен Стирлинг арасындағы таңдау интерполяцияланатын нүкте дерек нүктесіне жақын ба, әлде екі дерек нүктесінің арасына жақын ба, соған байланысты. Интерполяциялық нүкте дерек нүктесіне жақындаған сайын полиномдық интерполяцияның қатесі нөлге жақындайды. Сондықтан, Стирлинг формуласы дәлдігін ең қажет емес жерде жақсартады, ал Бессел формуласы дәлдігін ең қажетті жерде жақсартады. Осылайша, Бессел формуласын ең тұрақты дәлдікке ие айырма формуласы деп айтуға болады және, жалпы алғанда, таныс полиномдық интерполяция формулаларының арасында ең тұрақты дәлдікке ие.

Бөлінген айырмашылықтар әдістері мен Лагранж

Лагранж кейде аз жұмыс талап етеді деп айтылады, және бұрынғы тәжірибеден жеткілікті дәлдік үшін қанша мүше қажет екені алдын ала белгілі мәселелер үшін ұсынылады. Бөлінген айырмашылықтар әдісінің артықшылығы – қажет болған жағдайда нақтылықты арттыру үшін көбірек дерек нүктелерін қосу мүмкіндігі. Бұрынғы дерек нүктелеріне негізделген мүшелерді пайдалануға болады. Лагранж формуласымен дерек нүктелері көбейгенде мәселені шешу үшін бүкіл есептеуді қайта жасау қажет. Лагранждың «барицентрлік» түрі жаңа дерек нүктесі қосылғанда толық есептеуді қайта жасау қажеттілігін жояды. Бірақ бұл әр мүшенің мәнін тіркеуді талап етеді. Гаусс, Бессел және Стирлингтің дерек нүктелерін интерполяцияланатын нүктеге жақын ұстау қабілеті, дерек нүктелерінің саны алдын ала белгісіз болғанда Лагранжға қарағанда артықшылық береді. Сонымен қатар, егер белгілі бір мәселе түрі үшін сызықтық интерполяция жеткілікті дәлдік беретінін анықтағыңыз келсе, онда бұл бөлінген айырмашылық формуласының квадраттық мүшесін бағалау арқылы анықталады. Егер квадраттық мүше мардымсыз болса – яғни сызықтық мүше квадраттық мүшені қосусыз жеткілікті дәлдік беретін болса – сызықтық интерполяция жеткілікті дәлдік береді. Егер мәселе маңызды болса немесе квадраттық мүше мәнді әсер ететіндей болса, онда квадраттық және кубтық мүшелердің қосындысы мәселе үшін маңызды болатынын анықтау қажет болуы мүмкін. Әрине, мұндай анықтама үшін бөлінген айырмашылықтар әдісін ғана қолдануға болады. Осы мақсатта бөлінген айырмашылық формуласы және/немесе оның x0 нүктесі, сызықтық мүшесінде қызығушылық тудыратын сызықтық интерполяция жасалатын екі дерек нүктесін пайдаланатындай етіп таңдалуы керек. Бөлінген айырмашылық формулалары көбірек мүмкіндіктерге ие, олар көптеген мәселелерде пайдалы. Лагранж формуласы барлық интерполяция бір x мәнінде жасалғанда, дерек нүктелерінің y мәндері ғана бір мәселеден екіншісіне өзгеретін жағдайда және бұрынғы тәжірибеден жеткілікті дәлдік үшін қанша мүше қажет екені белгілі болғанда ең жақсы нәтиже береді. Интерполяциялық полиномның Ньютон түрінде полиномның коэффициенттерін табу үшін мүшелерді біріктіруге арналған ықшам және тиімді алгоритм бар.

Дұрыс

Стирлинг немесе Бессел формулаларындағы соңғы мүше екі айырманың орташасын қамтыса, онда Ньютон немесе басқа полиномдық интерполяциялармен бірдей полином дәрежесі үшін қолданылатын нүктелер саны бірге артады. Демек, мұндай жағдайда Стирлинг немесе Бессел N нүкте арқылы N-1 дәрежелі полиномды өткізбейді, оның орнына Ньютонмен эквиваленттілікті жақсы центртеу және дәлдік үшін құрбан етеді, бұл әдістерге берілген полином дәрежесінде басқа полиномдық интерполяцияларға қарағанда жоғары дәлдік мүмкіндігін береді.

Жалпы жағдай

xi = i ерекше жағдайы үшін, оған тығыз байланысты Ньютон полиномиялары деп аталатын көпшелер жиынтығы бар. Олар кез келген аргумент үшін биномдық коэффициенттерге тең. Яғни, Ньютон полиномиялары былай да беріледі:

Осы формада Ньютон полиномиялары Ньютон қатарын жасайды. Бұл өз кезегінде, аналитикалық функцияларды жалпыланған айырмашылық теңдеулер арқылы бейнелеуге мүмкіндік беретін жалпы айырмашылық полиномияларының ерекше жағдайы болып табылады.

Тейлордың көптік аты

Егер барлық түйіндер бірдей болса, Ньютон полиномының лимиті Тейлор полиномына айналады, себебі бөлінген айырмалар туындыларға өтеді.

Қолдану

Бөлінген айырмашылықтардың анықтамасынан көрініп тұрғандай, ескі коэффициенттерді қайта есептеместен дерек жиынтығына жаңа дерек нүктелерін қосып, жаңа интерполяциялық полином жасауға болады. Дерек нүктесі өзгерген жағдайда, әдетте барлық коэффициенттерді қайта есептеудің қажеті болмайды. Сонымен қатар, егер xi бір-бірінен тең қашықтықта орналасса, бөлінген айырмашылықтарды есептеу едәуір оңайлайды. Сондықтан, практикалық қолдану үшін бөлінген айырмашылық формулалары Лагранж формуласына қарағанда көбінесе қолайлы болып табылады.