Кіріспе
Екі өлшемді сығылмайтын, дивергенциясыз ағындар үшін функция, осьтік симметриясы бар үш өлшемді ағындар.
three dimensional flows with axisymmetry
Сұйықтық динамикасында ағын функциясының екі түрі анықталады: 1781 жылы Жозеф Луи Лагранж енгізген екі өлшемді (немесе Лагранж) ағын функциясы сығылмайтын (дивергенциясыз), екі өлшемді ағындар үшін анықталады. Джордж Габриэль Стоукс есімімен аталған Стоукс ағын функциясы осьтік симметриясы бар сығылмайтын үш өлшемді ағындар үшін анықталады. Ағын функцияларының қасиеттері оларды ағындарды талдау және графикалық түрде көрсету үшін пайдалы етеді. Осы мақаланың қалған бөлігі екі өлшемді ағын функциясын сипаттайды.
The two dimensional (or Lagrange) stream function, introduced by Joseph Louis Lagrange in 1781, is defined for incompressible (divergence free), two dimensional flows. The Stokes stream function, named after George Gabriel Stokes, is defined for incompressible, three dimensional flows with axisymmetry. The properties of stream functions make them useful for analyzing and graphically illustrating flows. The remainder of this article describes the two dimensional stream function.
Сынау бетінің
Екі нүкте және жазықтықтағы қисық қарастырайық, олардың арасын жалғайтын да жазықтықта орналасқан. Онда қисықтың әрбір нүктесінің координатасы болады. Бұл қисықтың жалпы ұзындығы болып табылады. Егер қисықтың қалыңдығы болатын болса, оны көлденең жазықтыққа дейін жоғары қарай созу арқылы лента тәрізді бет құруға болады. Осы беттің ұзындығы, ені және ауданы болады. Бұл бетті сынақ беті деп атаймыз.
Suppose a ribbon shaped surface is created by extending the curve upward to the horizontal plane , where is the thickness of the flow. Then the surface has length , width , and area Call this the test surface.
Ағылшын тіліндегі сызықтарға қатынасы
Екі өлшемді жазықтық ағынында екі шексіз жақын нүкте және олардың екеуі де бірдей көлденең жазықтықта жатқан жағдайды қарастырайық. Есептеу бойынша, ағын функциясының осы екі нүктедегі мәндерінің арасындағы сәйкес келетін шексіз айырмашылық:
Егер нүктелерде ағын функциясы бірдей мәнді, мысалы, қабылдаса, онда бұл келесіні білдіреді:
яғни вектор бетке перпендикуляр болады. Себебі барлық жерде (мысалы, вектордың айналуына қараңыз), әрбір ағын сызығы белгілі бір ағын беті мен белгілі бір көлденең жазықтықтың қиылысына сәйкес келеді. Осылайша, үш өлшемде кез келген ағын сызығын нақты анықтау үшін ағын функциясының және биіктік (координатаның) сәйкес мәндерін көрсету қажет. Бұл жағдайда кеңістік үш өлшемді деп есептеледі. Ағын функциясының түсінігі екі өлшемді кеңістік доменінің аясында да дамытылуы мүмкін. Бұл жағдайда ағын функциясының тең деңгей жиындары қисықтар, ал ағын сызықтары ағын функциясының тең деңгей қисықтары болып табылады. Осыған байланысты, екі өлшемде кез келген нақты ағын сызығын анық анықтау үшін тек ағын функциясының сәйкес мәнін көрсету жеткілікті.
Әлеуетті ағым
Екі өлшемді потенциалдық ағын үшін ағын сызықтары эквипотенциалдық сызықтарға перпендикуляр болады. Жылдамдық потенциалымен бірге қолданылғанда, ағын функциясы күрделі потенциалды туындытуға мүмкіндік береді. Яғни, ағын функциясы екі өлшемді Гельмгольц ыдырауының соленоидтық бөлігін, ал жылдамдық потенциалы – ирротациялық бөлігін қамтиды.