Айналмалы ағын және құйынды қозғалыс

Кіріспе

Сұйық ағыны айналу осінің шамасында айналады. Сұйық динамикасында, шұңқыр (немесе шұңқырлар) – ағыны тік немесе қисық болатын ось бойымен айналатын сұйықтық аймағы. Шұңқырлар араластырылған сұйықтарда пайда болады және түтін сақиналарында, қайықтың оянындағы айналымдарда, тропикалық циклон, торнадо немесе шаң даулының айналасындағы желдерде байқалуы мүмкін. Шұңқырлар – турбулентті ағынның маңызды бөлігі. Жылдамдықтың таралуы, шұңқырлық (ағын жылдамдығының доғасы), сондай-ақ айналым ұғымы шұңқырларды сипаттау үшін қолданылады. Көптеген шұңқырларда сұйық ағынының жылдамдығы өзінің осіне жақын жерде ең жоғары болады және осьтен қашықтыққа кері пропорционалды түрде төмендейді. Сыртқы күштердің болмауы жағдайында, сұйықтықтағы тұтқырлық үйкелісі ағынды ирротациялық шұңқырлар жиынтығына ұйымдастыруға бейім, бұл үлкен масштабты ағындарға, соның ішінде үлкен шұңқырларға да қосылуы мүмкін. Шұңқырлар пайда болғаннан кейін қозғалуы, созылуы, бұрылуы және күрделі түрде өзара әрекеттесуі мүмкін. Қозғалмалы шұңқыр бұрыштық және сызықтық импульс, энергия және массаны өзбен бірге алып жүреді.

Сүрінгіштік

Вихрь динамикасының негізгі ұғымы – вортицитет, сұйықтықтағы бір нүктедегі жергілікті айналма қозғалысты сипаттайтын вектор, онымен бірге қозғалатын бақылаушы қабылдағандай. Тұжырымдамалық тұрғыдан, вортицитетті сұйықтықпен еркін қозғалатын, қарастырылып отырған нүктеге кішкентай кеді шарды қойып, оның өзінің центрінің айналуын бақылау арқылы көруге болады. Вортицитет векторының бағыты осы ойдағы шардың айналу осінің бағыты (оң қол ережесі бойынша) деп анықталады, ал оның ұзындығы шардың бұрыштық жылдамдығының екі есесіне тең. Математикалық тұрғыдан, вортицитет сұйықтық жылдамдық өрісінің роторы (немесе айналуы) ретінде анықталады, әдетте символымен белгіленеді және векторлық талдау формуласы арқылы өрнектеледі, мұнда – набла операторы, ал – жергілікті ағын жылдамдығы. Вортицитетпен өлшенген жергілікті айналу, сұйықтықтың сол бөлігінің сыртқы ортаға немесе кез келген бекітілген оське қатысты бұрыштық жылдамдық векторымен шатастырылмауы керек. Атап айтқанда, вихрьте, вортицитет вихрь осіне қатысты сұйықтың орташа бұрыштық жылдамдық векторына қарама-қарсы болуы мүмкін.

Вортекстік типтер

Теориялық тұрғыдан алғанда, бөлшектердің жылдамдығы u (соның салдарынан, вихрь) вихрьте осьтен қашықтық r-ға қарай әртүрлі өзгеруі мүмкін. Дегенмен, екі маңызды ерекше жағдай бар:

Егер сұйықтық қатаң дене сияқты айналса – яғни, бұрыштық айналу жылдамдығы Ω біркелкі болса, онда u осінен r қашықтығына пропорционалды түрде артады, ағынмен бірге тасылатын кішкентай шар да сол қатаң дененің бөлігі болғандай өз центрінің айналасында айналады. Мұндай ағында вихрьтің мәні барлық жерде бірдей болады: оның бағыты айналу осіне параллель, ал оның шамасы айналу центрінің айналасындағы сұйықтың біркелкі бұрыштық жылдамдығы Ω-ның екі есесіне тең. Егер бөлшектің жылдамдығы u осінен r қашықтығына кері пропорционалды болса, онда көзге көрінетін сынақ шар өзінің бағытын өзгерте қоймайды; ол вихрь осінің айналасында шеңбер бойымен қозғала береді. Бұл жағдайда вихрьтің мәні сол осьте болмаған кез келген нүктеде нөлге тең болады, ал мұндай ағын айналымсыз деп аталады.

Иротациялық айналымдар

Сыртқы күштердің болмауы жағдайында, шұңқыр әдетте айналмалы ағын үлгісіне қарай жылдам дамиды, онда ағын жылдамдығы u қашықтыққа кері пропорционал. Айналмалы шұңқырлар еркін шұңқырлар деп те аталады. Айналмалы шұңқыр үшін айналым, шұңқыр осін қоршамайтын кез келген жабық контур бойынша нөлге тең; ал осьті бір рет қоршаған кез келген контур үшін Γ тұрақты мәніне ие. Бөлшектің жылдамдығының жанама компоненті содан кейін келесідей болады. Шұңқыр осіне қатысты бірлік массаға шаққандағы бұрыштық импульс, демек, тұрақты. Бос кеңістіктегі идеалды айналмалы ағын физикалық тұрғыдан іске аспайды, себебі бұл бөлшектің жылдамдығының (және демек, бөлшектерді олардың шеңбер жолында ұстауға қажетті күштің) шұңқыр осіне жақындаған сайын шексіз өсуін білдіреді. Шындығында, нақты шұңқырларда әрқашан осьтің айналасындағы ядролық аймақ болады, онда бөлшектің жылдамдығы өсуін тоқтатады, содан кейін r нөлге жақындағанда нөлге дейін төмендейді. Бұл аймақта ағын енді айналмалы емес: шұңқырлық нөлдік емес, бағыты шамамен шұңқыр осіне параллель болады. Ранкин шұңқыры – бұл қатты дене айналу ағыны, онда r белгілі бір қашықтықтан кіші, ал ядролық аймақтан тыс айналмалы ағын. Тығыз сұйықтықта айналмалы ағын барлық жерде тұтқыр диссипацияны қамтиды, бірақ таза тұтқыр күштер жоқ, тек тұтқыр кернеулер бар. Диссипацияға байланысты, бұл иротациялық тұтқыр шұңқырды сақтау үшін ядродағы үздіксіз жұмыс енгізуді қажет етеді (мысалы, ядродағы цилиндрді тұрақты түрде айналдыру арқылы). Бос кеңістікте ядроға энергия енгізілмейді, сондықтан ядродағы ықшам шұңқыр табиғи түрде сыртқа таралады, ядроны бастапқы айналмалы ағынмен қоршалған, біртіндеп баяулап, біртіндеп өсетін қатты дене ағынына айналдырады. Мұндай ыдырайтын иротациялық шұңқырдың Ламб-Озен шұңқыры деп аталатын тұтқыр Навье-Стокстің теңдеулерінің нақты шешімі бар.

In the absence of external forces, a vortex usually evolves fairly quickly toward the irrotational flow pattern, where the flow velocity u is inversely proportional to the distance r. Irrotational vortices are also called free vortices. For an irrotational vortex, the circulation is zero along any closed contour that does not enclose the vortex axis; and has a fixed value, Γ, for any contour that does enclose the axis once. The tangential component of the particle velocity is then The angular momentum per unit mass relative to the vortex axis is therefore constant,
The ideal irrotational vortex flow in free space is not physically realizable, since it would imply that the particle speed (and hence the force needed to keep particles in their circular paths) would grow without bound as one approaches the vortex axis. Indeed, in real vortices there is always a core region surrounding the axis where the particle velocity stops increasing and then decreases to zero as r goes to zero. Within that region, the flow is no longer irrotational: the vorticity becomes non zero, with direction roughly parallel to the vortex axis. The Rankine vortex is a model that assumes a rigid body rotational flow where r is less than a fixed distance r0, and irrotational flow outside that core regions. In a viscous fluid, irrotational flow contains viscous dissipation everywhere, yet there are no net viscous forces, only viscous stresses. Due to the dissipation, this means that sustaining an irrotational viscous vortex requires continuous input of work at the core (for example, by steadily turning a cylinder at the core). In free space there is no energy input at the core, and thus the compact vorticity held in the core will naturally diffuse outwards, converting the core to a gradually slowing and gradually growing rigid body flow, surrounded by the original irrotational flow. Such a decaying irrotational vortex has an exact solution of the viscous Navier–Stokes equations, known as a Lamb–Oseen vortex.

Айналу бұрандалары

Айналмалы шұңқыр – қатты дене сияқты айналатын шұңқыр – сұйықтық қозғалысының өзінен туындамаған, сыртқы күш әсер еткен жағдайда ғана белгісіз мерзімге сақталуы мүмкін. Оның ядросынан тыс барлық жерінде айналым мәні нөлден жоғары болады. Айналмалы шұңқырлар қатты дене шұңқыры немесе күшпен туындаған шұңқыр деп те аталады. Мысалы, егер су шелек тік осьi бойынша тұрақты бұрыштық жылдамдықпен w айналса, су ақырында қатты дене сияқты айнала бастайды. Бөлшектер содан кейін u жылдамдығы wr-ға тең шеңбер бойымен қозғалады.

Вортекстің геометриясы

Тұрақты айналымда, типтік ағын сызығы (ағын жылдамдығы векторына барлық жерде жанасатын сызық) осьтің айналасында жабық цикл құрайды; ал әрбір айналым сызығы (ағын сызығы барлық жерде айналу векторына жанасатын сызық) шамамен оське параллель болады. Ағын жылдамдығы мен айналуға барлық жерде жанасатын бет бұрандалы түтік деп аталады. Әдетте, бұрандалы түтіктер айналу осьінің айналасында орналасады. Өзінің өзі – айналым сызықтарының бірі, диаметрі нөлге тең бұрандалы түтіктің шекті жағдайы. Гельмгольц теоремаларына сәйкес, айналым сызығы сұйықтықта бастала да, аяқтала да алмайды – тек уақытша, тұрақсыз ағында, айналым пайда болатын немесе жойылатын кезде ғана. Жалпы, айналым сызықтары (әсіресе, ось сызығы) жабық циклдар болып табылады немесе сұйықтықтың шекарасында аяқталады. Бұралы бұрқанақ – соңғысының мысалы, атап айтқанда, осі еркін бетке аяқталатын су денесіндегі бұрқанақ. Айналым сызықтарының барлығы жабық болған бұрандалы түтік, жабық тор тәрізді бет болады. Жаңадан пайда болған айналым тез арада кеңейіп, иіліп, кез келген ашық аяқталған айналым сызықтарын жояды. Мысалы, ұшақ қозғалтқышы іске қосылғанда, әрбір ұңғыманың алдында немесе әрбір реактивті қозғалтқыштың турбожелдеткішінің айналасында айналым пайда болады. Айналымның бір ұшы қозғалтқышқа бекітіледі, ал екінші ұшы жерге жеткенше созылып, иіледі. Дымқыл немесе сия іздері арқылы көрінетін кезде, олар спиральді траекториялар немесе ағын сызықтары сияқты көрінуі мүмкін. Алайда, бұл көрініс көбінесе алданғандық, ал сұйық бөлшектері жабық жолдармен қозғалады. Ағын сызықтары деп қабылданатын спиральді жолақтар шын мәнінде бірнеше бұрандалы түтіктерді қамтитын және біркелкі емес ағын жылдамдығының таралуымен спиральді пішінге созылған маркерлік сұйықтықтың бұлттары болып табылады.

Вортекстегі қысым

Айналмалы қозғалыстағы сұйықтың ағысы (гидростатикалық қысыммен қоса) динамикалық қысымды тудырады, ол өзектік аймақта, оське ең жақын жерде ең төменгі болып табылады және Бернулли принципіне сәйкес, одан алыстаған сайын артады. Осы қысымның градиенті сұйықтықты осьтің айналасында қисық жолмен қозғалуға мәжбүрлейді деуге болады. Тұрақты тығыздықтағы сұйықтың қатаң денелік айналмалы ағынында динамикалық қысым осінен r қашықтығының квадратына пропорционал. Тұрақты гравитациялық өрісте сұйықтың еркін беті, егер бар болса, ойыс параболоид болып табылады. Тұрақты сұйықтық тығыздығы және цилиндрлік симметриясы бар ирротациялық айналмалы ағында динамикалық қысым , мұнда P∞ – осьтен шексіз алысқатырғандағы шекті қысым. Бұл формула өзектің мөлшеріне қосымша шектеу қояды, себебі қысым теріс болмайды. Еркін бет (егер бар болса) ось сызығына жақын күрт төмендейді, ал тереңдігі r^(2) кері пропорционал. Еркін бет құрайтын пішін гиперболоид немесе «Габриэльдің мүйізі» (Эвангелиста Торричелли). Ауадағы айналманың өзегі кейде көрінеді, себебі төмен қысымнан су буы конденсацияланып, адиабатикалық салқындату тудырады; торнадоның түтікшесі – осыған мысал. Егер айналма сызығы шекаралық бетте аяқталса, төмендеген қысым сол беттен заттарды өзеке тарта алады. Мысалы, шаң дауылы – жерге бекітілген ауа айналмасының өзегімен жиналған шаң бағанасы. Су бетінде аяқталатын айналма (мысалы, ваннадағы су айналымы) ауа бағанын өзеке түсіруі мүмкін. Ұшақтың тұрған жердегі реактивтік қозғалтқышынан шығатын алдыңғы айналма су мен ұсақ тастарды өзеке, содан кейін қозғалтқышқа соруы мүмкін.

Эволюция

Бұрандалардың тұрақты болуы міндетті емес; олар қозғалып, пішінін өзгерте алады. Қозғалмалы бұрандада бөлшектердің жолдары жабық емес, ашық, ирек қисықтар – спиральдар мен циклоидтар сияқты болады. Бұранда ағыны радиалды немесе осьтік ағын үлгісімен де біріге алады. Мұндай жағдайда ағын сызықтары мен траекториялары жабық қисықтар емес, спиральдар немесе тік спиральдар болып табылады. Бұл құбылыс торнадоларда және ағызу воронкаларында кездеседі. Шектес ағын сызықтары бар бұранда соленоидты деп аталады. Егер тұтқырлық пен диффузия әсерлері еленбейтін болса, қозғалмалы бұрандадағы сұйықтық онымен бірге қозғалады. Атап айтқанда, өзектегі сұйықтық (және оның ішіндегі заттар) бұранда қозғалғанда өзекте қалуға бейім. Бұл Гельмгольцтің екінші теоремасының салдары. Осылайша, бұрандалар (үстіңгі толқындар мен қысым толқындарынан өзгеше) массаны, энергияны және импульсті олардың өлшемдерімен салыстырғанда үлкен қашықтыққа, айқын аз шашыраумен тасымалдай алады. Бұл эффект түтін сақиналарында байқалады және бұранда сақинасы ойыншықтары мен тапаншаларында қолданылады. Бір-біріне параллель және бір бағытта айналатын екі немесе одан көп бұрандалар бір-біріне тартылып, ақырында бірігіп, жалғыз бұранданы құрайды, оның айналымы құрамына кіретін бұрандалардың айналымдарының қосындысына тең болады. Мысалы, көтерілу күшін дамытып жатқан ұшақ қанатының артқы жиегінде кішкентай бұрандалар пайда болады. Бұл кішкентай бұрандалар бірігіп, қанат ұшындағы жалғыз бұранданы құрайды, ол қанаттың бір хордасынан кем қашықтықта орналасқан. Бұл құбылыс басқа да активті аэродинамикалық беттерде, мысалы, винт қанаттарында да кездеседі. Керісінше, қарама-қарсы айналымдарға ие екі параллель бұранда (мысалы, ұшақтың екі қанат ұшындағы бұрандалар) бөлек қалуға бейім. Бұрандалар сұйықтықтың айналмалы қозғалысында маңызды энергияны қамтиды. Идеалды сұйықтықта бұл энергия ешқашан таратылмайды және бұранда мәңгілікке сақталады. Алайда, нақты сұйықтықтар тұтқырлық танытады және бұл энергияны бұранданың өзегінен өте баяу шашыратады. Тек тұтқырлық салдарынан болатын бұранданың таралуы арқылы ғана бұранда сызығы сұйықтықтың шекарасында емес, сұйықтықта аяқталуы мүмкін.

Vortices need not be steady state features; they can move and change shape. In a moving vortex, the particle paths are not closed, but are open, loopy curves like helices and cycloids. A vortex flow might also be combined with a radial or axial flow pattern. In that case the streamlines and pathlines are not closed curves but spirals or helices, respectively. This is the case in tornadoes and in drain whirlpools. A vortex with helical streamlines is said to be solenoidal. As long as the effects of viscosity and diffusion are negligible, the fluid in a moving vortex is carried along with it. In particular, the fluid in the core (and matter trapped by it) tends to remain in the core as the vortex moves about. This is a consequence of Helmholtz's second theorem. Thus vortices (unlike surface waves and pressure waves) can transport mass, energy and momentum over considerable distances compared to their size, with surprisingly little dispersion. This effect is demonstrated by smoke rings and exploited in vortex ring toys and guns. Two or more vortices that are approximately parallel and circulating in the same direction will attract and eventually merge to form a single vortex, whose circulation will equal the sum of the circulations of the constituent vortices. For example, an airplane wing that is developing lift will create a sheet of small vortices at its trailing edge. These small vortices merge to form a single wingtip vortex, less than one wing chord downstream of that edge. This phenomenon also occurs with other active airfoils, such as propeller blades. On the other hand, two parallel vortices with opposite circulations (such as the two wingtip vortices of an airplane) tend to remain separate. Vortices contain substantial energy in the circular motion of the fluid. In an ideal fluid this energy can never be dissipated and the vortex would persist forever. However, real fluids exhibit viscosity and this dissipates energy very slowly from the core of the vortex. It is only through dissipation of a vortex due to viscosity that a vortex line can end in the fluid, rather than at the boundary of the fluid.

Қосымша мысалдар

Электромагниттік өрістердің мінез-құлқының гидродинамикалық тұрғыдан түсіндірілуінде, электр сұйықтығының белгілі бір бағытта үдеуі магниттік сұйықтықтың оң тұйықталған ағынын тудырады. Бұл өз кезегінде өзінің айналасында электр сұйықтығының сәйкес теріс тұйықталған ағынын жасайды. Классикалық сызықтық емес магниттік теңдеулердің нақты шешімдеріне Ландау-Лифшиц теңдеуі, үздікес Гейзенберг моделі, Ишимори теңдеуі және сызықтық емес Шредингер теңдеуі кіреді. Тұйықталған ағын сақиналары – бұрыштық пішіндегі тұйықталған ағындар, олардың айналу осі үздіксіз жабық қисықтан тұрады. Түтін сақиналары мен көпіршік сақиналары – екі жақсы белгілі мысал. Ұшақ қанаттарының, винт лопастарының, желкендердің және басқа да аэродинамикалық профильдердің көтеру күші, қанаттың үстінен өтетін ауа ағынына қосылған тұйықталған ағынның пайда болуымен түсіндіріледі. Аэродинамикалық қарсылықтың көп бөлігін қозғалатын денеден энергияны алып кететін, айналадағы сұйықтықта пайда болатын тұйықталған ағындар түсіндіреді. Кейбір бұғаздар мен шығанақтарда мұхит ағындары ірі тұйықталған ағындарды тудыруы мүмкін. Мысалдарға Италияның Мессина бұғазындағы классикалық мифологиядағы Харибдис, Жапонияның Нанкайдо аймағындағы Наруто тұйықталған ағындары және Норвегияның Лофотен аралдарындағы Мелстром жатады. Жер атмосферасындағы тұйықталған ағындар метеорология үшін маңызды құбылыстар болып табылады. Оларға бірнеше шақырымдық мезоциклондар, торнадолар, су құбырлары және дауылдар кіреді. Бұл тұйықталған ағындар көбінесе биіктікке байланысты температура мен ылғалдылықтың өзгеруімен қозғалады. Дауылдардың айналу бағытына Жердің айналуы әсер етеді. Тағы бір мысал – полярлық тұйықталған ағын, Жердің полюстеріне жақын орналасқан, орта және жоғарғы тропосферада және стратосферадағы тұрақты, кең ауқымды циклон. Тұйықталған ағындар басқа планеталардың атмосферасының маңызды ерекшеліктері болып табылады. Оларға Юпитердегі тұрақты Ұлы Қызыл Дақ, Нептундағы уақыт-уақыт пайда болатын Ұлы Қара Дақ, Венераның полярлық тұйықталған ағындары, Марстағы шаң дауылдары және Сатурнның Солтүстік Полярлық алтыбұрышы кіреді. Күн дақтары – Күннің көзге көрінетін бетінде (фотосферада) қоршаған ортаға қарағанда төмен температурамен және жоғары магниттік белсенділікпен сипатталатын қараңғы аймақтар. Қара тесіктердің және басқа да массивті гравитациялық көздердің аккрециялық дискілері. Тейлор-Куэтт ағыны екі концентрлі цилиндр арасындағы сұйықтықта пайда болады, олардың біреуі айналады, ал екіншісі бекітілген.

In the hydrodynamic interpretation of the behaviour of electromagnetic fields, the acceleration of electric fluid in a particular direction creates a positive vortex of magnetic fluid. This in turn creates around itself a corresponding negative vortex of electric fluid. Exact solutions to classical nonlinear magnetic equations include the Landau–Lifshitz equation, the continuum Heisenberg model, the Ishimori equation, and the nonlinear Schrödinger equation. Vortex rings are torus shaped vortices where the axis of rotation is a continuous closed curve. Smoke rings and bubble rings are two well known examples. The lifting force of aircraft wings, propeller blades, sails, and other airfoils can be explained by the creation of a vortex superimposed on the flow of air past the wing. Aerodynamic drag can be explained in large part by the formation of vortices in the surrounding fluid that carry away energy from the moving body. Large whirlpools can be produced by ocean tides in certain straits or bays. Examples are Charybdis of classical mythology in the Straits of Messina, Italy; the Naruto whirlpools of Nankaido, Japan; and the Maelstrom at Lofoten, Norway. Vortices in the Earth's atmosphere are important phenomena for meteorology. They include mesocyclones on the scale of a few miles, tornadoes, waterspouts, and hurricanes. These vortices are often driven by temperature and humidity variations with altitude. The sense of rotation of hurricanes is influenced by the Earth's rotation. Another example is the Polar vortex, a persistent, large scale cyclone centered near the Earth's poles, in the middle and upper troposphere and the stratosphere. Vortices are prominent features of the atmospheres of other planets. They include the permanent Great Red Spot on Jupiter, the intermittent Great Dark Spot on Neptune, the polar vortices of Venus, the Martian dust devils and the North Polar Hexagon of Saturn. Sunspots are dark regions on the Sun's visible surface (photosphere) marked by a lower temperature than its surroundings, and intense magnetic activity. The accretion disks of black holes and other massive gravitational sources. Taylor–Couette flow occurs in a fluid between two nested cylinders, one rotating, the other fixed.

Қорытынды

Сұйық динамикасында, шұңқыр – осьтік сызық бойымен айналатын сұйықтық. Бұл сұйықтық қисық немесе түзу болуы мүмкін. Шұңқырлар араластырылған сұйықтықтардан пайда болады: оларды түтін сақиналарында, су айналымдарында, қайықтың оянында немесе торнадоның немесе шаң даулының айналасындағы желдерде байқауға болады. Шұңқырлар – бұрқыраған ағыстың маңызды бөлігі. Шұңқырлар сұйықтың дөңгелек қозғалысы деп те аталады. Егер күштер болмаса, сұйықтық тұнып қалады. Бұл судың қозғалмай, тыныш тұруын қамтамасыз етеді. Шұңқырлар пайда болғанда, қиылысып қозғалуы, созылуы, бұрылуы және күрделі түрде өзара әрекеттесуі мүмкін. Шұңқыр қозғалғанда, кейде бұрыштық орналасуға әсер етеді. Мысалы, егер су шелекін үнемі айналдырса, ол көзге көрінбейтін осьтік сызық бойынша айналады. Айналу шеңбер бойымен жүреді. Бұл мысалда шелек айналуы қосымша күш тудырады. Шұңқырлар пішінін өзгерте алуының себебі – оларда ашық бөлшектік жолдар бар. Бұл қозғалатын шұңқырды құрайды. Торнадо мен су айналымдарының пішіндері осыған дәлел. Екі немесе одан көп шұңқырлар бір-біріне жақын болса, олар бірігіп, жаңа шұңқырды құрауы мүмкін. Шұңқырлар сондай-ақ сұйықтың айналуы кезінде энергияны сақтайды. Егер энергия алынбаса, ол мәңгілік дөңгелек қозғалыста болады.