Введение
Функция для несжимаемых потоков без дивергенции в двух измерениях и трехмерных потоков с осевой симметрией.
three dimensional flows with axisymmetry
В гидродинамике определяются два типа функций тока: двухмерная (или лагранжева) функция тока, введенная Жозефом Луи Лагранжем в 1781 году, определяется для несжимаемых (без дивергенции) двухмерных потоков. Функция тока Стокса, названная в честь Джорджа Габриэля Стокса, определяется для несжимаемых трехмерных потоков с осевой симметрией. Свойства функций тока делают их полезными для анализа и графической иллюстрации потоков. В остальной части статьи описывается двухмерная функция тока.
The two dimensional (or Lagrange) stream function, introduced by Joseph Louis Lagrange in 1781, is defined for incompressible (divergence free), two dimensional flows. The Stokes stream function, named after George Gabriel Stokes, is defined for incompressible, three dimensional flows with axisymmetry. The properties of stream functions make them useful for analyzing and graphically illustrating flows. The remainder of this article describes the two dimensional stream function.
Испытательная поверхность
Рассмотрим две точки и в плоскости и кривую, также в плоскости, соединяющую их. Пусть каждая точка на кривой имеет координату . Обозначим полную длину кривой через . Предположим, что лентообразная поверхность создается путем расширения кривой вверх до горизонтальной плоскости , где – толщина потока. Тогда поверхность имеет длину, ширину и площадь. Назовем эту поверхность тестовой.
Suppose a ribbon shaped surface is created by extending the curve upward to the horizontal plane , where is the thickness of the flow. Then the surface has length , width , and area Call this the test surface.
Отношение к поточным линиям
Рассмотрим двухмерный плоский поток с двумя бесконечно близкими точками, лежащими в одной горизонтальной плоскости. Из математического анализа, соответствующая бесконечно малая разность между значениями функции тока в этих двух точках равна
Предположим, что функция тока принимает одно и то же значение, скажем , в двух точках и . Тогда это дает
что подразумевает, что вектор нормален к поверхности, поскольку везде (например, см. в терминах векторного вращения). Следовательно, каждая линия тока соответствует пересечению определенной поверхности тока и определенной горизонтальной плоскости. Таким образом, в трех измерениях для однозначной идентификации любой конкретной линии тока необходимо указывать соответствующие значения как функции тока, так и высоты (координаты). Данное рассмотрение предполагает, что пространственная область является трехмерной. Концепция функции тока также может быть развита в контексте двумерной пространственной области. В этом случае линии равного значения функции тока являются кривыми, а не поверхностями, и линии тока – это линии равного значения функции тока. Следовательно, в двух измерениях для однозначной идентификации любой конкретной линии тока необходимо указывать только соответствующее значение функции тока.
Потенциальный поток
Для двухмерного потенциального течения линии тока перпендикулярны эквипотенциальным линиям. В сочетании с потенциалом скорости, функция тока может быть использована для вывода комплексного потенциала. Иными словами, функция тока описывает соленоидальную часть двумерного разложения Гельмгольца, а потенциал скорости – ирротационную часть.