Кіріспе
Көп векторлардың векторлық функциясы, әр аргумент бойынша сызықтық. Криптографияда қолданылатын көпсызықты бейнелеулер. Сызықтық алгебрада көпсызықты бейнелеу – бұл әрбір айнымалы бойынша жеке сызықтық болатын бірнеше айнымалының функциясы. Нақтырақ айтқанда, көпсызықты бейнелеу – бұл функция, мұнда және векторлық кеңістіктер (немесе коммутативті сақинадағы модульдер) болып табылады, келесі қасиетімен: кез келген үшін , егер барлық айнымалылар, тек тұрақты сақталса, онда сызықтық функция болады. Бұны визуализациялаудың бір жолы – екі ортогональды векторды көзге елестету; егер бұл векторлардың бірі 2 есеге масштабталса, ал екіншісі өзгермесе, онда векторлық көбейтінді де 2 есеге масштабталады. Егер екеуі де 2 есеге масштабталса, онда векторлық көбейтінді 4 есеге масштабталады. Бір айнымалының көпсызықты бейнелеуі – сызықтық бейнелеу, ал екі айнымалының – екісызықты бейнелеу. Жалпы алғанда, кез келген теріс емес бүтін сан үшін k айнымалының көпсызықты бейнелеуі k-сызықты бейнелеу деп аталады. Егер көпсызықты бейнелеудің кодомены скалярлар өрісі болса, онда ол көпсызықты форма деп аталады. Көпсызықты бейнелеулер мен көпсызықты формалар – көпсызықты алгебрадағы негізгі зерттеу объектілері. Егер барлық айнымалылар бір кеңістікке жатса, онда симметриялық, антисимметриялық және кезектесетін k-сызықты бейнелеулерді қарастыруға болады. Соңғы екеуі, егер негізгі сақинаның (немесе өрістің) сипаттамасы екіден өзгеше болса, сәйкес келеді, әйтпесе алғашқы екеуі сәйкес келеді.
multilinear maps used in cryptography
In linear algebra, a multilinear map is a function of several variables that is linear separately in each variable. More precisely, a multilinear map is a function
where and are vector spaces (or modules over a commutative ring), with the following property: for each , if all of the variables but are held constant, then is a linear function of One way to visualize this is to imagine two orthogonal vectors; if one of these vectors is scaled by a factor of 2 while the other remains unchanged, the cross product likewise scales by a factor of two. If both are scaled by a factor of 2, the cross product scales by a factor of
A multilinear map of one variable is a linear map, and of two variables is a bilinear map. More generally, for any nonnegative integer , a multilinear map of k variables is called a k linear map. If the codomain of a multilinear map is the field of scalars, it is called a multilinear form. Multilinear maps and multilinear forms are fundamental objects of study in multilinear algebra. If all variables belong to the same space, one can consider symmetric, antisymmetric and alternating k linear maps. The latter two coincide if the underlying ring (or field) has a characteristic different from two, else the former two coincide.
Мысалдар
Кез келген билинеарлық бейнелеу – көпсызықты бейнелеу болып табылады. Мысалы, векторлық кеңістіктегі кез келген ішкі көбейтінді, сондай-ақ векторлардың векторлық көбейтіндісі көпсызықты бейнелеу болып табылады. Матрицаның анықтамасы – квадрат матрицаның бағандарының (немесе қатарларының) кезектесетін көпсызықты функциясы. Егер – Ck функциясы болса, онда оның доменіндегі әрбір нүктесіндегі туындысы симметриялық сызықтық функция ретінде қарастырылуы мүмкін.
Қасиеттері
Көптүзекті картаның мәні, оның аргументтерінің бірі нөлге тең болса, нөлге тең болады.