Введение
Векторнозначная функция нескольких векторов, линейная по каждому аргументу. Многолинейные отображения, используемые в криптографии.
multilinear maps used in cryptography
In linear algebra, a multilinear map is a function of several variables that is linear separately in each variable. More precisely, a multilinear map is a function
where and are vector spaces (or modules over a commutative ring), with the following property: for each , if all of the variables but are held constant, then is a linear function of One way to visualize this is to imagine two orthogonal vectors; if one of these vectors is scaled by a factor of 2 while the other remains unchanged, the cross product likewise scales by a factor of two. If both are scaled by a factor of 2, the cross product scales by a factor of
A multilinear map of one variable is a linear map, and of two variables is a bilinear map. More generally, for any nonnegative integer , a multilinear map of k variables is called a k linear map. If the codomain of a multilinear map is the field of scalars, it is called a multilinear form. Multilinear maps and multilinear forms are fundamental objects of study in multilinear algebra. If all variables belong to the same space, one can consider symmetric, antisymmetric and alternating k linear maps. The latter two coincide if the underlying ring (or field) has a characteristic different from two, else the former two coincide.
В линейной алгебре многолинейное отображение — это функция нескольких переменных, линейная по каждой переменной в отдельности. Более точно, многолинейное отображение — это функция, где и — векторные пространства (или модули над коммутативным кольцом), обладающая следующим свойством: для каждого , если все переменные, кроме , зафиксированы, то является линейной функцией от . Один из способов визуализации этого — представить два ортогональных вектора; если один из этих векторов масштабируется в 2 раза, а другой остается неизменным, то векторное произведение также масштабируется в 2 раза. Если оба вектора масштабируются в 2 раза, то векторное произведение масштабируется в 4 раза. Многолинейное отображение одной переменной является линейным отображением, а двух переменных — билинейным отображением. В более общем случае, для любого неотрицательного целого числа , многолинейное отображение k переменных называется k-линейным отображением. Если кообласть многолинейного отображения является полем скаляров, то оно называется многолинейной формой. Многолинейные отображения и многолинейные формы являются фундаментальными объектами изучения в многолинейной алгебре. Если все переменные принадлежат одному и тому же пространству, можно рассматривать симметричные, антисимметричные и поочередные k-линейные отображения. Последние два совпадают, если базовое кольцо (или поле) имеет характеристику, отличную от двух, иначе первые два совпадают.
multilinear maps used in cryptography
In linear algebra, a multilinear map is a function of several variables that is linear separately in each variable. More precisely, a multilinear map is a function
where and are vector spaces (or modules over a commutative ring), with the following property: for each , if all of the variables but are held constant, then is a linear function of One way to visualize this is to imagine two orthogonal vectors; if one of these vectors is scaled by a factor of 2 while the other remains unchanged, the cross product likewise scales by a factor of two. If both are scaled by a factor of 2, the cross product scales by a factor of
A multilinear map of one variable is a linear map, and of two variables is a bilinear map. More generally, for any nonnegative integer , a multilinear map of k variables is called a k linear map. If the codomain of a multilinear map is the field of scalars, it is called a multilinear form. Multilinear maps and multilinear forms are fundamental objects of study in multilinear algebra. If all variables belong to the same space, one can consider symmetric, antisymmetric and alternating k linear maps. The latter two coincide if the underlying ring (or field) has a characteristic different from two, else the former two coincide.
Примеры
Любая билинейная карта является многолинейной картой. Например, любое внутреннее произведение на векторном пространстве является многолинейной картой, как и векторное произведение векторов в ℝ³. Определитель матрицы является попеременно многолинейной функцией от её столбцов (или строк). Если f – функция класса Ck, то k-я производная f в каждой точке её области определения может рассматриваться как симметричная k-линейная форма.
Свойства
Многолинейное отображение принимает значение ноль, если хотя бы один из его аргументов равен нулю.