Кіріспе
Дифференциалдық формаларды қолданып есептелген нақты коэффициенттері бар кохомология. Гротендиктің сорттардың де Рам кохомологиясы. Математикада де Рам кохомологиясы (Жорж де Рамның атымен аталады) – алгебралық топология және дифференциалдық топология салаларына жататын құрал. Ол тегіс көптүрліліктер туралы негізгі топологиялық ақпаратты есептеуге және кохомология кластарының нақты бейнеленуіне қолайлы түрде беруге мүмкіндік береді. Бұл кохомология теориясы, белгілі қасиеттері бар дифференциалдық формалардың болуына негізделген. Кез келген тегіс көптүрлілікте, әрбір дәл форма жабық болады, бірақ керісінше дұрыс болмауы мүмкін. Шамамен айтқанда, бұл сәтсіздік көптүрліліктегі "тесіктердің" болуымен байланысты, ал де Рам кохомология топтары осы қатынасты дәл өлшейтін тегіс көптүрліліктердің топологиялық инварианттарының жиынтығын құрайды.
Grothendieck's de Rham cohomology of varieties
In mathematics, de Rham cohomology (named after Georges de Rham) is a tool belonging both to algebraic topology and to differential topology, capable of expressing basic topological information about smooth manifolds in a form particularly adapted to computation and the concrete representation of cohomology classes. It is a cohomology theory based on the existence of differential forms with prescribed properties. On any smooth manifold, every exact form is closed, but the converse may fail to hold. Roughly speaking, this failure is related to the possible existence of "holes" in the manifold, and the de Rham cohomology groups comprise a set of topological invariants of smooth manifolds that precisely quantify this relationship.
Де-Рам кохомологиясы есептелген
Көптеген жағдайларда, манифольдтың жалпы де-Рам кохомологиясын жоғарыда айтылған нөлдік кохомология туралы фактіні және Майер-Виеторис тізбегін қолдану арқылы табуға болады. Тағы бір пайдалы қасиет – де-Рам кохомологиясы гомотопия инварианты болып табылады. Есептеуі көрсетілмегенімен, кейбір кең таралған топологиялық объектілер үшін есептелген де-Рам кохомологиялары:
Сфера
n сфера үшін, , сондай-ақ ашық интервалдардың көбейтіндісімен бірге қарастырғанда, мынадай нәтижеге келеміз. n > 0, m ≥ 0 және I – ашық нақты интервал болсын. Онда
- торсы
Торус – Декарт көбейтіндісі: Сол сияқты, мұнда рұқсат еткенде, біз аламыз.
Сонымен қатар, дифференциалдық формаларды тікелей пайдалана отырып, торус де Рам кохомологиясының нақты генераторларын табуға болады. Егер бізге квозиенттік көптік пен дифференциалдық форма берілсе, онда форма , егер кез келген диффеоморфизм үшін (осы диффеоморфизм шақырылған болса) , десек, бұл форма инвариантты болады. Атап айтқанда, кез келген форманың кері тартылуы инвариантты болады. Сондай-ақ, кері тартылу – инъекциялық морфизм. Біздің жағдайымызда дифференциалдық формалар инвариантты, себебі, бірақ, назар аударыңыз, бұл үшін инвариантты форма емес. Бұл және инъекциялық қасиеті бізге мынаны көрсетеді:
Торус кохомологиялық сақинасы генераторлар арқылы құрастырылғандықтан, осы формалардың сыртқы көбейтінділерін алу торус де Рам кохомологиясының нақты өкілдерінің барлығын береді.
Пунктулярлы евклидтік кеңістік
Тесілген Евклид кеңістігі — бастапқы нүктесі алынып тасталған жай ғана кеңістік.
Мёбиус жолағы
Мёбиус жолағы, M, 1 сфераға (яғни нақты бірлік шеңберге) деформация арқылы қысқартыла алатындығынан мынаны қорытуға болады:
Шеф-теориялық де Рам изоморфизмі
Кез келген тегіс көптік M үшін, Абель тобына қатысты M-дегі тұрақты шоғыр болсын; яғни, M-дегі жергілікті тұрақты нақты мәнді функциялардың шоғыры. Онда бізде де Рам кохомологиясы мен шоғыр кохомологиясы арасындағы табиғи изоморфизм бар. (Бұл де Рам кохомологиясын Чех кохомологиясы арқылы да есептеуге болатынын көрсетеді; әсіресе, әрбір тегіс көптік паракомпакт Хаусдорф болғандықтан, шоғыр кохомологиясы M-нің кез келген жақсы жабыны үшін Чех кохомологиясына изоморфты.)
between the de Rham cohomology and the sheaf cohomology of (Note that this shows that de Rham cohomology may also be computed in terms of Čech cohomology; indeed, since every smooth manifold is paracompact Hausdorff we have that sheaf cohomology is isomorphic to the Čech cohomology for any good cover of M.)
Байланысты идеялар
Де-Рам кохомологиясы көптеген математикалық идеяларды шабыттандырды, оның ішінде Долбоо кохомологиясын, Ходж теориясын және Атиях-Сингер индекс теоремасын. Дегенмен, тіпті дәстүрлі контекстерде де теорема көптеген жаңалықтарға түрткіс болды. Біріншіден, Ходж теориясы гармоникалық формалардан құралған кохомология мен жабық формалардан құралған де-Рам кохомологиясы арасында изоморфизмнің бар екенін көрсетеді. Бұл гармоникалық формалардың және Ходж теоремасының дұрыс анықталуына байланысты. Қосымша мәліметтер үшін Ходж теориясына жүгініңіз.
Гармониялық нысандар
Егер M – тығыз Риман көптүрлілігі болса, онда әрбір эквиваленттік сыныпта дәл бір гармониялық форма бар. Яғни, берілген жабық формалардың эквиваленттік класының кез келген мүшесі мына түрде жазылуы мүмкін: , мұндағы – толық және – гармониялық. Тығыз байланысқан Риман көптүрлілігіндегі кез келген гармониялық функция тұрақты болады. Осылайша, бұл ерекше өкілдік элементті көптүрліліктегі кохомологиялық түрде тең формалардың экстремумы (минималы) ретінде қарастыруға болады. Мысалы, 2-торус үстінде, тұрақты 1-форманы барлық «шаштың» бір бағытта (және барлық «шаштың» ұзындығы бірдей) таза түйреуі ретінде көзге елестетуге болады. Бұл жағдайда екі кохомологиялық жағынан ерекшеленетін түйреулер бар; ал қалғандары – сызықтық комбинациялар. Атап айтқанда, бұл 2-торус үшін 1-Бетти саны екі екенін білдіреді. Жалпы, өлшемді торда формалардың әртүрлі түйреуін қарастыруға болады. Мұндай түйреулер бар, оларды негіз векторларын құру үшін пайдалануға болады; де Рам кохомология тобының -шы Бетти саны осылай анықталады. Нақтырақ айтқанда, дифференциалдық көптүрлілік M үшін, оны біргеше Риман метрикасымен жабдықтауға болады. Содан кейін Лапласиан операторы сыртқы туындысы және кодифференциалы арқылы анықталады: . Лапласиан – дифференциалдық формалардың сыртқы алгебрасына әсер ететін біртекті (сыныптастыру бойынша) сызықтық дифференциалдық оператор: оның әрқайсысының әрекетін жеке қарастыруға болады. Егер M тығыз және бағдарланған болса, k-формалар кеңістігіне әсер ететін Лапласианның ядросының өлшемі (Ходж теориясы бойынша) дәрежесіндегі де Рам кохомология тобының өлшеміне тең: Лапласиан жабық формалардың әрбір кохомология класындағы бірегей гармониялық форманы бөліп шығарады. Атап айтқанда, M-дегі барлық гармониялық формалар кеңістігі -ке изоморфты. Әрбір мұндай кеңістіктің өлшемі шекті және -шы Бетти санымен беріледі.
where is exact and is harmonic:
Any harmonic function on a compact connected Riemannian manifold is a constant. Thus, this particular representative element can be understood to be an extremum (a minimum) of all cohomologously equivalent forms on the manifold. For example, on a 2 torus, one may envision a constant 1 form as one where all of the "hair" is combed neatly in the same direction (and all of the "hair" having the same length). In this case, there are two cohomologically distinct combings; all of the others are linear combinations. In particular, this implies that the 1st Betti number of a 2 torus is two. More generally, on an dimensional torus , one can consider the various combings of forms on the torus. There are choose such combings that can be used to form the basis vectors for ; the th Betti number for the de Rham cohomology group for the torus is thus choose
More precisely, for a differential manifold M, one may equip it with some auxiliary Riemannian metric. Then the Laplacian is defined by
with the exterior derivative and the codifferential. The Laplacian is a homogeneous (in grading) linear differential operator acting upon the exterior algebra of differential forms: we can look at its action on each component of degree separately. If is compact and oriented, the dimension of the kernel of the Laplacian acting upon the space of k forms is then equal (by Hodge theory) to that of the de Rham cohomology group in degree : the Laplacian picks out a unique harmonic form in each cohomology class of closed forms. In particular, the space of all harmonic forms on is isomorphic to The dimension of each such space is finite, and is given by the th Betti number.
Ходж бөлшегі
Бұл компактты бағытталған Риман көптүрлілігі болсын. Ходж ыдырауы кез келген форманы үш [[lp кеңістігі компоненттерінің жалпы жиынтығына бірегей түрде бөледі:
мұндағы – дәл, – ко-дәл, ал – гармониялық. Форма егер және қандай да бір форма үшін болса, ко-жабық деп айтылады, ал егер Лапласиан нөлге тең болса, онда ол гармониялық деп айтылады. Бұл тура және ко-дәл формалардың ортогоналды екенін ескергенде шығады; ортогоналды толықтыру жабық және ко-жабық формалардан тұрады: яғни гармониялық формалардан. Мұндағы ортогоналдық – кеңістіктегі [[lp кеңістігінің ішкі көбейтіндісіне қатысты анықталады:
Соболев кеңістіктерін немесе таралымдарды қолдану арқылы ыдырау, мысалы, толық (бағытталған немесе бағытталмаған) Риман көптүрлілігіне дейін кеңейтілуі мүмкін.