Кіріспе
Сыртқы / клин өнімдерінің алгебрасы
In mathematics, the exterior algebra or Grassmann algebra of a vector space is an associative algebra that contains which has a product, called exterior product or wedge product and denoted with , such that for every vector in The exterior algebra is named after Hermann Grassmann, and the names of the product come from the "wedge" symbol and the fact that the product of two elements of are "outside"
The wedge product of vectors is called a blade of degree or blade. The wedge product was introduced originally as an algebraic construction used in geometry to study areas, volumes, and their higher dimensional analogues: The magnitude of a 2 blade is the area of the parallelogram defined by and and, more generally, the magnitude of a blade is the (hyper)volume of the parallelotope defined by the constituent vectors. The alternating property that implies a skew symmetric property that and more generally any blade flips sign whenever two of its constituent vectors are exchanged, corresponding to a parallelotope of opposite orientation. The full exterior algebra contains objects that are not themselves blades, but linear combinations of blades; a sum of blades of homogeneous degree is called a k vector, while a more general sum of blades of arbitrary degree is called a multivector. The linear span of the blades is called the th exterior power of The exterior algebra is the direct sum of the th exterior powers of and this makes the exterior algebra a graded algebra. The exterior algebra is universal in the sense that every equation that relates elements of in the exterior algebra is also valid in every associative algebra that contains and in which the square of every element of is zero. The definition of the exterior algebra can be extended for spaces built from vector spaces, such as vector fields and functions whose domain is a vector space. Moreover, the field of scalars may be any field (however for fields of characteristic two, the above condition must be replaced with which is equivalent in other characteristics). More generally, the exterior algebra can be defined for modules over a commutative ring. In particular, the algebra of differential forms in variables is an exterior algebra over the ring of the smooth functions in variables.
Математикада, сыртқы алгебра немесе векторлық кеңістіктің Грассман алгебрасы – ассоциативтік алгебра, онда сыртқы өнім немесе клин өнім деп аталатын өнім бар және ол символымен белгіленеді, әрбір векторы үшін теңдігі орындалады. Сыртқы алгебра Герман Грассманның құрметіне аталған, ал өнімнің атаулары «клин» символынан және екі элементтің көбейтіндісі «сыртқы» екендігінен шыққан. Векторлардың клин өнімі дәрежелі немесе блед деп аталады. Клин өнімі бастапқыда геометрияда аудандарды, көлемдерді және олардың жоғары өлшемді аналогтарын зерттеу үшін қолданылатын алгебралық құрылым ретінде енгізілді: 2-бледтің шамасы – және векторларымен анықталған параллелограмның ауданы, ал жалпы жағдайда, -бледтің шамасы – құраушы векторлармен анықталған параллелотоптың (гипер)көлемі. Кезектестік қасиеті, теңдігінен туындайды, бұл қисық симметриялық қасиетті білдіреді, яғни кез келген бледтің белгісі, оның екі құраушы векторы ауыстырылғанда өзгереді, бұл қарама-қарсы бағытталған параллелотопқа сәйкес келеді. Толық сыртқы алгебрада бледтердің өзі емес, олардың сызықтық комбинациялары бар объектілер де кездеседі; бледтердің біртекті дәрежесінің қосындысы k-вектор деп аталады, ал кез келген дәрежелі бледтердің жалпы қосындысы мультивектор деп аталады. Бледтердің сызықтық кеңістігі -ның сыртқы қуаты деп аталады. Сыртқы алгебра – сыртқы қуаттарының тікелей қосындысы болып табылады, бұл оны градуирленген алгебраға айналдырады. Сыртқы алгебра әмбебап, яғни сыртқы алгебрадағы элементтерді байланыстыратын кез келген теңдік, сондай-ақ құрамында бар және оның әрбір элементінің квадраты нөлге тең болатын кез келген ассоциативтік алгебрада да жарамды. Сыртқы алгебраның анықтамасын векторлық кеңістіктерден құралған кеңістіктерге, мысалы, векторлық өрістерге және домені векторлық кеңістік болатын функцияларға дейін кеңейтуге болады. Сонымен қатар, скалярлар өрісі кез келген өріс болуы мүмкін (бірақ екінші сипаттамалы өрістер үшін жоғарыда көрсетілген шарт басқа сипаттамаларда эквивалентті шартқа ауыстырылуы керек). Жалпы жағдайда, сыртқы алгебра коммутативті сақинадағы модульдер үшін анықталуы мүмкін. Атап айтқанда, айнымалыдағы дифференциалдық формалардың алгебрасы – айнымалыдағы тегіс функциялардың сақинасы бойынша сыртқы алгебра болып табылады.
In mathematics, the exterior algebra or Grassmann algebra of a vector space is an associative algebra that contains which has a product, called exterior product or wedge product and denoted with , such that for every vector in The exterior algebra is named after Hermann Grassmann, and the names of the product come from the "wedge" symbol and the fact that the product of two elements of are "outside"
The wedge product of vectors is called a blade of degree or blade. The wedge product was introduced originally as an algebraic construction used in geometry to study areas, volumes, and their higher dimensional analogues: The magnitude of a 2 blade is the area of the parallelogram defined by and and, more generally, the magnitude of a blade is the (hyper)volume of the parallelotope defined by the constituent vectors. The alternating property that implies a skew symmetric property that and more generally any blade flips sign whenever two of its constituent vectors are exchanged, corresponding to a parallelotope of opposite orientation. The full exterior algebra contains objects that are not themselves blades, but linear combinations of blades; a sum of blades of homogeneous degree is called a k vector, while a more general sum of blades of arbitrary degree is called a multivector. The linear span of the blades is called the th exterior power of The exterior algebra is the direct sum of the th exterior powers of and this makes the exterior algebra a graded algebra. The exterior algebra is universal in the sense that every equation that relates elements of in the exterior algebra is also valid in every associative algebra that contains and in which the square of every element of is zero. The definition of the exterior algebra can be extended for spaces built from vector spaces, such as vector fields and functions whose domain is a vector space. Moreover, the field of scalars may be any field (however for fields of characteristic two, the above condition must be replaced with which is equivalent in other characteristics). More generally, the exterior algebra can be defined for modules over a commutative ring. In particular, the algebra of differential forms in variables is an exterior algebra over the ring of the smooth functions in variables.
Жалпыға ортақ меншік
V – K өрісі үстіндегі векторлық кеңістік болсын. Бұл ресми емес түрде, көбейтуді символдарды өңдеу және тарату заңы, ассоциативтік заңы қолдану арқылы, сондай-ақ v ∈ V үшін теңдікті пайдалану арқылы жүргізуге болады. Формальды түрде, бұл көбейту үшін қолданылатын «ең жалпы» алгебра болып табылады, яғни V-ге ауыспалы көбейтумен V-ні қамтитын кез келген бірлік ассоциативтік K алгебрасы V-ге {\textstyle\bigwedge}(V) гомоморфты бейнесін қамтуы керек. Басқаша айтқанда, сыртқы алгебра келесідей әмбебап қасиетке ие:
Given any unital associative K algebra A and any K linear map such that for every v in V, then there exists precisely one unital algebra homomorphism such that 1=j(v) = f(i(v)) for all v in V (here i is the natural inclusion of V in {\textstyle\bigwedge}(V), see above). To construct the most general algebra that contains V and whose multiplication is alternating on V, it is natural to start with the most general associative algebra that contains V, the tensor algebra T(V), and then enforce the alternating property by taking a suitable quotient. We thus take the two sided ideal I in T(V) generated by all elements of the form v ⊗ v for v in V, and define as the quotient
(and use ∧ as the symbol for multiplication in {\textstyle\bigwedge}(V)). It is then straightforward to show that contains V and satisfies the above universal property. As a consequence of this construction, the operation of assigning to a vector space V its exterior algebra is a functor from the category of vector spaces to the category of algebras. Rather than defining first and then identifying the exterior powers as certain subspaces, one may alternatively define the spaces first and then combine them to form the algebra {\textstyle\bigwedge}(V). This approach is often used in differential geometry and is described in the next section.
Кез келген бірлік ассоциативтік K алгебрасы A және кез келген K-сызықтық бейнелеу f, V-дегі кез келген v үшін f(v) = 0 болса, онда 1 = j(v) = f(i(v)) теңдігі орындалатындай дәл бір бірлік алгебра гомоморфизмі j бар (мұнда i – V-тің {\textstyle\bigwedge}(V) ішіне табиғи енгізілуі, жоғарыда қараңыз). V-ні қамтитын және V-де ауыспалы көбейтуге ие болатын ең жалпы алгебраны құру үшін, V-ні қамтитын ең жалпы ассоциативтік алгебрадан, яғни тензорлық алгебра T(V)-дан бастап, сәйкес бөлгішті алу арқылы ауыспалылық қасиетін қолдану табиғи. Осылайша, T(V)-де V-дегі v үшін v ⊗ v түріндегі барлық элементтермен туындаған екі жақты идеалды I аламыз және оны бөлгіш ретінде анықтаймыз (және {\textstyle\bigwedge}(V)-дегі көбейту символы ретінде ∧-ді пайдаланамыз). Содан кейін V-ні қамтитынын және жоғарыда аталған әмбебап қасиетті қанағаттандыратынын көрсету оңай. Осы құрылымның салдарынан, V векторлық кеңістігіне оның сыртқы алгебрасын сәйкес қою операциясы – векторлық кеңістіктер санатынан алгебралар санатына функтор болып табылады. Сыртқы күштерді белгілі бір ішкі кеңістіктер ретінде алдымен анықтап, содан кейін оларды анықтаудың орнына, кеңістіктерді алдымен анықтап, содан кейін оларды {\textstyle\bigwedge}(V) алгебрасын құру үшін біріктіруге болады. Бұл тәсіл дифференциалдық геометрияда жиі қолданылады және келесі бөлімде сипатталады.
Given any unital associative K algebra A and any K linear map such that for every v in V, then there exists precisely one unital algebra homomorphism such that 1=j(v) = f(i(v)) for all v in V (here i is the natural inclusion of V in {\textstyle\bigwedge}(V), see above). To construct the most general algebra that contains V and whose multiplication is alternating on V, it is natural to start with the most general associative algebra that contains V, the tensor algebra T(V), and then enforce the alternating property by taking a suitable quotient. We thus take the two sided ideal I in T(V) generated by all elements of the form v ⊗ v for v in V, and define as the quotient
(and use ∧ as the symbol for multiplication in {\textstyle\bigwedge}(V)). It is then straightforward to show that contains V and satisfies the above universal property. As a consequence of this construction, the operation of assigning to a vector space V its exterior algebra is a functor from the category of vector spaces to the category of algebras. Rather than defining first and then identifying the exterior powers as certain subspaces, one may alternatively define the spaces first and then combine them to form the algebra {\textstyle\bigwedge}(V). This approach is often used in differential geometry and is described in the next section.
Жалпылау
Коммутативті сақина және M модулі берілгенде, біз сыртқы алгебраны жоғарыда көрсетілгендей, тензорлық алгебраның \mathrm{T}(M) тиісті бөлшегі ретінде анықтай аламыз. Ол ұқсас универсалды қасиетті қанағаттандырады. Сыртқы алгебраның көптеген қасиеттері үшін M проективті модуль болуы қажет. Егер шекті өлшемділік қолданылса, онда қасиеттер M-нің шекті түрде туындаған және проективті болуын талап етеді. Көбінесе кездесетін жағдайларға қатысты жалпыламалар геометрия және топологияда жиі қарастырылатын векторлық бундельдердің сыртқы алгебраларында кездеседі. Серре-Сван теоремасына сәйкес, шекті өлшемді векторлық бундельдердің сыртқы алгебрасы мен шекті түрде туындаған проективті модульдердің сыртқы алгебрасы арасында маңызды ешқандай айырмашылық жоқ. Модульдер шоғырлары үшін де жалпы сыртқы алгебраларды анықтауға болады.
Exterior algebras of vector bundles are frequently considered in geometry and topology. There are no essential differences between the algebraic properties of the exterior algebra of finite dimensional vector bundles and those of the exterior algebra of finitely generated projective modules, by the Serre–Swan theorem. More general exterior algebras can be defined for sheaves of modules.
Ішкі өнім
Егер V шекті өлшемді болсын. Егер V векторлық кеңістігінің қос кеңістігін V* белгілесе, онда әр α ∈ V* үшін {\textstyle\bigwedge}(V) алгебрасында антидеривацияны анықтау мүмкін. Бұл деривация α-мен ішкі көбейтінді деп аталады, немесе кейде α-мен енгізу операторы, немесе α-мен жиырылу деп аталады. w ∈ {\textstyle\bigwedge}^{\!k}(V) болсын. Онда бұл K-ға көпсызықты бейнелеу болып табылады, сондықтан ол V* × V* × … × V* k-есе Декарт көбейтіндісі бойынша анықталады. Егер u1, u2, …, uk−1 V* элементтері болса, қосымша, кез келген таза скаляр болғанда (яғни, {\textstyle\bigwedge}^{\!0}(V)-ге жататын) анықталады.
This derivation is called the interior product with \alpha, or sometimes the insertion operator, or contraction by \alpha. Suppose that w \in {\textstyle\bigwedge}^{\!k}(V). Then is a multilinear mapping of to K, so it is defined by its values on the k fold Cartesian product V^* \times V^* \times \dots \times V^*. If u1, u2, , uk−1 are elements of V^*, then define
Additionally, let whenever is a pure scalar (i. e., belonging to {\textstyle\bigwedge}^{\!0}(V)).
Афиналық кеңістіктегі бағдарланған көлем
(Бағытталған) өлшемді көлем мен сыртқы алгебраның табиғи ортасы аффиндік кеңістік болып табылады. Бұл сыртқы алгебра мен дифференциалдық формалар арасындағы тығыз байланыс, себебі интегралдау үшін бізге шексіз көлемді өлшеуге қажетті "дифференциалдық" объект керек. Егер – векторлық кеңістік V үстіндегі аффиндік кеңістік болса, ал – реттелген нүктелердің (жақсырақ) жиыны болса, онда оның бағдарланған өлшемді көлемін векторлардың сыртқы көбейтіндісі ретінде анықтауға болады (нүкте -ден нүктеге дейінгі орын ауыстыру векторын білдіру үшін біріктіруді қолданамыз); егер нүктелердің реті өзгерсе, бағдарланған көлем пермутацияның жұптылығына сәйкес таңбасын өзгертеді. n өлшемді кеңістікте кез келген өлшемді симплекстің көлемі кез келген басқа симплекстің скалярлық еселігі болып табылады. k өлшемді симплекстің шекаралық симплекстерінің өлшемдік бағдарланған аудандарының қосындысы нөлге тең, мысалы, үшбұрыштың немесе алдыңғы бөлімдегі тетраэдрді шектеуші бағдарланған үшбұрыштардың айналасындағы векторлардың қосындысы да нөлге тең. Векторлық кеңістік құрылымы V-дегі векторларды қосуды жалпылайды: бізде және сол сияқты k-жапырақ әр фактор бойынша сызықтық.
Сызықтық алгебра
Сызықтық алгебра қолданбаларында, сыртқы көбейтінді матрицаның детерминантын және кіші мүшелерін сипаттаудың абстрактілі алгебралық жолын ұсынады. Мысалы, белгілі болғандай, квадраттық матрицаның детерминанты – матрицаның бағандарынан құралған параллелотоптың көлеміне тең (бағытты қадағалау үшін таңбасымен). Бұл детерминантты бағана векторларының сыртқы көбейтіндісі арқылы анықтауға мүмкіндік береді. Сол сияқты, матрицаның k × k кіші мүшелерін k баған векторларын бір рет таңдап, олардың сыртқы көбейтінділерін қарастыру арқылы анықтауға болады. Бұл идеялар матрицаларға ғана емес, сонымен қатар сызықтық түрлендірулерге де қолданылады: сызықтық түрлендірудің детерминанты – кез келген берілген эталондық параллелотоптың бағытталған көлемін өзгертетін коэффициент. Осылайша, сызықтық түрлендірудің детерминанты түрлендірудің жоғарғы сыртқы қуатына қалай әсер ететініне сәйкес анықталады. Түрлендірудің төменгі сыртқы қуаттарға әсері түрлендірудің кіші мүшелері туралы негізді тәуелсіз түрде сөйлеуге мүмкіндік береді.
Физика
Физикада көптеген шамалар өздігінен ауыспалы операторлармен көрсетіледі. Мысалы, егер зарядталған бөлшектің қозғалысы төрт өлшемді кеңістік-уақытта жылдамдық және үдеу векторларымен сипатталса, онда жылдамдық векторының нормализациялануы электромагниттік күштің жылдамдық бойынша ауыспалы оператор болуын талап етеді. Оның алты еркіндік дәрежесі электр және магнит өрістерімен сәйкес келеді.
Сызықтық геометрия
Бөлшектене алатын k векторларының геометриялық интерпретациясы бар: бивектор – бұл векторлар құратын жазықтықты, векторлар мен v қабырғалары бар бағытталған параллелограмның ауданымен берілген сандық "салмақпен" көрсетеді. Сол сияқты, 3 вектор – бұл u, v және w жиектері бар бағытталған параллелепипедтің көлемімен салмақталған 3 өлшемді кеңістікті көрсетеді.
Жобалау геометриясы
Бөлшектенетін k векторлары V кеңістігінің салмақты k өлшемді сызықтық кіші кеңістіктеріне сәйкес келеді. Атап айтқанда, V кеңістігінің k өлшемді кіші кеңістіктерінің Грассман иілімі, \operatorname{Gr} k(V) белгісімен таңбаланады, проективті кеңістіктің алгебралық субвариантымен табиғи түрде сәйкестендіріледі. Бұл Плюкер кіріктіруі деп аталады, ал кіріктірудің кескіні Плюкер қатынастары арқылы сипатталады.
Дифференциалдық геометрия
Сыртқы алгебра дифференциалдық геометрияда маңызды қолданысқа ие, онда ол дифференциалдық формаларды анықтау үшін қолданылады. Дифференциалдық формалар – векторлардың ұзындығын, параллелограммдардың ауданын және жоғары өлшемді денелердің көлемін өлшейтін математикалық объектілер, сондықтан оларды қисықтар, беттер және жоғары өлшемді көптүрліліктер бойынша интегралдауға болады, бұл интеграл есептеуінен белгілі желілік және беттік интегралдарды жалпылайды. Дифференциалдық көптүрліліктің нүктесіндегі дифференциалдық форма – сол нүктедегі жанама кеңістіктегі кезектесетін көпсызықты форма. Балама ретінде, k дәрежелі дифференциалдық форма – жанама кеңістіктің k-шы сыртқы қуатындағы сызықтық функционал. Осының салдарынан, көпсызықты формалардың сыртқы көбейтіндісі дифференциалдық формалар үшін табиғи сыртқы көбейтіндіні анықтайды. Дифференциалдық формалар дифференциалдық геометрияның алуан түрлі салаларында маңызды рөл атқарады. Басқа тәсіл дифференциалдық формаларды функциялардың жергілікті өрнектері арқылы анықтайды. Атап айтқанда, сыртқы туынды дифференциалдық формалардың сыртқы алгебрасына көптүрлілікте дифференциалдық алгебра құрылымын береді. Сыртқы туынды көптүрліліктер арасындағы тегіс бейнелеулер бойынша кері тартылумен коммутациялайды, сондықтан ол табиғи дифференциалдық оператор болып табылады. Сыртқы туындымен жабдықталған дифференциалдық формалардың сыртқы алгебрасы – коцепстік кешен, оның когомологиясы негізгі көптүрліліктің де Рам когомологиясы деп аталады және дифференциалдық көптүрліліктердің алгебралық топологиясында маңызды рөл атқарады.
Өкілдік теориясы
Өкілдік теориясында сыртқы алгебра — векторлық кеңістіктер санатындағы екі негізгі Schur функторларының бірі, екіншісі — симметриялық алгебра. Бұл екі құрылым бірлесіп, жалпы сызықтық топтың ирредуктибелді бейнелеулерін құруға қолданылады (негізгі бейнелеуге қараңыз).
Суперғарыш
Комплекс сандардағы сыртқы алгебра – фермиондар және суперсимметрияға қатысты физикалық теориялардағы маңызды рөл атқаратын супералгебраның классикалық мысалы. Сыртқы алгебраның әрбір елемі суперсан немесе Грассман саны деп аталады. Сыртқы алгебраның өзі бір өлшемді суперкеңістік болып табылады: ол сыртқы алгебрадағы барлық нүктелердің жиынтығы. Осы кеңістіктегі топология негізінен әлсіз топология болып келеді, онда ашық жиынтықтар цилиндрлік жиынтықтар құрайды. n өлшемді суперкеңістік – сыртқы алгебралардың n рет көбейтілген өнімі.
Гомологиялық алгебра
Сыртқы алгебра – гомологиялық алгебрадағы маңызды объекті – Козуль кешенін құрудың басты құралы.
Математикалық сілтемелер
Кезектесіп тензорлар мен кезектесіп нысандарды, сондай-ақ осы мақалада қабылданған көзқарас бойынша Ходж дуалдығын егжей-тегжейлі қарастырады. Бұл мақаланың негізгі математикалық анықтамасы. Ол коммутативті сақинадағы модульдің сыртқы алгебрасын енгізеді (бірақ бұл мақала негізінен сақина өріс болған жағдайда ғана қарастырылады), оның ішінде әмбебап қасиет, функционалдық, дуалдық және биалгебра құрылымы туралы талқылайды. III.7 және III.11 бөлімдеріне қараңыз. Бұл кітап сыртқы алгебраны толық емес дифференциалдық теңдеулердегі мәселелерге қолдануды қамтиды. Ранг және оған байланысты ұғымдар кіріспе тарауларда дамытылады. XVI тараудың 6–10 бөлімдері сыртқы алгебраны, оның ішінде дуалдықты, детерминанттар мен минорларды және кезектесіп нысандарды қарастырады. Сыртқы алгебраның ауыспалы тензорлар ретінде классикалық қарастырылуын және дифференциалдық геометрияға қолданылуын қамтиды.