Введение
В математике, внешняя алгебра или алгебра Грассмана векторного пространства – это ассоциативная алгебра, содержащая векторное пространство, и имеющая произведение, называемое внешним произведением или клиновым произведением и обозначаемое ∧, такое что v ∧ v = 0 для каждого вектора v в векторном пространстве. Внешняя алгебра названа в честь Германа Грассмана, а названия произведения происходят от символа “клин” (∧) и того факта, что произведение двух элементов “вне” плоскости, определяемой этими элементами. Клиновое произведение k векторов называется k-лезвием или лезвием степени k. Клиновое произведение было первоначально введено как алгебраическая конструкция, используемая в геометрии для изучения площадей, объемов и их более высокомерных аналогов: величина 2-лезвия – это площадь параллелограмма, определяемого двумя векторами, и, более общо, величина k-лезвия – это (гипер)объем параллелотопа, определяемого составляющими векторами. Альтернирующее свойство v ∧ w = -w ∧ v влечет за собой кососимметричное свойство, и, в более общем смысле, любое лезвие меняет знак при перестановке любых двух его составляющих векторов, что соответствует параллелотопу противоположной ориентации. Полная внешняя алгебра содержит объекты, которые сами по себе не являются лезвиями, а линейными комбинациями лезвий; сумма лезвий однородной степени k называется k-вектором, а более общая сумма лезвий произвольной степени – мультивектором. Линейная оболочка k-лезвий называется k-ой внешней степенью векторного пространства. Внешняя алгебра является прямой суммой k-ых внешних степеней, и это делает внешнюю алгебру градуированной алгеброй. Внешняя алгебра универсальна в том смысле, что каждое уравнение, связывающее элементы во внешней алгебре, также справедливо в каждой ассоциативной алгебре, содержащей векторное пространство и в которой квадрат каждого элемента равен нулю. Определение внешней алгебры может быть расширено для пространств, построенных из векторных пространств, таких как векторные поля и функции, область определения которых является векторным пространством. Кроме того, поле скаляров может быть любым полем (однако для полей характеристики два вышеуказанное условие v ∧ v = 0 должно быть заменено на v ∧ v = 0, что эквивалентно в других характеристиках). Более общим образом, внешняя алгебра может быть определена для модулей над коммутативным кольцом. В частности, алгебра дифференциальных форм в n переменных является внешней алгеброй над кольцом гладких функций в n переменных.
In mathematics, the exterior algebra or Grassmann algebra of a vector space is an associative algebra that contains which has a product, called exterior product or wedge product and denoted with , such that for every vector in The exterior algebra is named after Hermann Grassmann, and the names of the product come from the "wedge" symbol and the fact that the product of two elements of are "outside"
The wedge product of vectors is called a blade of degree or blade. The wedge product was introduced originally as an algebraic construction used in geometry to study areas, volumes, and their higher dimensional analogues: The magnitude of a 2 blade is the area of the parallelogram defined by and and, more generally, the magnitude of a blade is the (hyper)volume of the parallelotope defined by the constituent vectors. The alternating property that implies a skew symmetric property that and more generally any blade flips sign whenever two of its constituent vectors are exchanged, corresponding to a parallelotope of opposite orientation. The full exterior algebra contains objects that are not themselves blades, but linear combinations of blades; a sum of blades of homogeneous degree is called a k vector, while a more general sum of blades of arbitrary degree is called a multivector. The linear span of the blades is called the th exterior power of The exterior algebra is the direct sum of the th exterior powers of and this makes the exterior algebra a graded algebra. The exterior algebra is universal in the sense that every equation that relates elements of in the exterior algebra is also valid in every associative algebra that contains and in which the square of every element of is zero. The definition of the exterior algebra can be extended for spaces built from vector spaces, such as vector fields and functions whose domain is a vector space. Moreover, the field of scalars may be any field (however for fields of characteristic two, the above condition must be replaced with which is equivalent in other characteristics). More generally, the exterior algebra can be defined for modules over a commutative ring. In particular, the algebra of differential forms in variables is an exterior algebra over the ring of the smooth functions in variables.
Универсальная собственность
Пусть V — векторное пространство над полем K. Неформально, умножение в Λ(V) осуществляется манипулированием символами и наложением дистрибутивного закона, ассоциативного закона и использованием тождества для v ∈ V. Формально, Λ(V) — это "наиболее общая" алгебра, в которой выполняются эти правила для умножения, в том смысле, что любая унитальная ассоциативная K-алгебра, содержащая V с чередующимся умножением на V, должна содержать гомоморфный образ Λ(V). Иными словами, внешняя алгебра обладает следующим универсальным свойством:
Given any unital associative K algebra A and any K linear map such that for every v in V, then there exists precisely one unital algebra homomorphism such that 1=j(v) = f(i(v)) for all v in V (here i is the natural inclusion of V in {\textstyle\bigwedge}(V), see above). To construct the most general algebra that contains V and whose multiplication is alternating on V, it is natural to start with the most general associative algebra that contains V, the tensor algebra T(V), and then enforce the alternating property by taking a suitable quotient. We thus take the two sided ideal I in T(V) generated by all elements of the form v ⊗ v for v in V, and define as the quotient
(and use ∧ as the symbol for multiplication in {\textstyle\bigwedge}(V)). It is then straightforward to show that contains V and satisfies the above universal property. As a consequence of this construction, the operation of assigning to a vector space V its exterior algebra is a functor from the category of vector spaces to the category of algebras. Rather than defining first and then identifying the exterior powers as certain subspaces, one may alternatively define the spaces first and then combine them to form the algebra {\textstyle\bigwedge}(V). This approach is often used in differential geometry and is described in the next section.
Для любой унитальной ассоциативной K-алгебры A и любого K-линейного отображения f: V → A, такого, что f(v)f(w) = -f(w)f(v) для всех v, w ∈ V, существует ровно один унитальный алгебраический гомоморфизм g: Λ(V) → A, такой что g(1) = f(v) для всех v ∈ V (здесь 1 — единица в Λ(V), а i — естественное включение V в Λ(V), см. выше). Для построения наиболее общей алгебры, содержащей V и умножение которой чередуется на V, естественно начать с наиболее общей ассоциативной алгебры, содержащей V, — тензорной алгебры T(V), а затем наложить условие чередования, взяв подходящий фактор. Таким образом, мы берем двусторонний идеал I в T(V), порожденный всеми элементами вида v ⊗ v для v ∈ V, и определяем Λ(V) как фактор-алгебру T(V)/I (и используем символ ∧ для обозначения умножения в Λ(V)). Затем легко показать, что Λ(V) содержит V и удовлетворяет вышеуказанному универсальному свойству. Как следствие этой конструкции, операция, ставящая в соответствие векторному пространству V его внешнюю алгебру Λ(V), является функтором из категории векторных пространств в категорию алгебр. Вместо того чтобы сначала определять Λ(V), а затем выделять внешние степени как определенные подпространства, можно альтернативно сначала определить эти подпространства, а затем объединить их для формирования алгебры Λ(V). Этот подход часто используется в дифференциальной геометрии и описан в следующем разделе.
Given any unital associative K algebra A and any K linear map such that for every v in V, then there exists precisely one unital algebra homomorphism such that 1=j(v) = f(i(v)) for all v in V (here i is the natural inclusion of V in {\textstyle\bigwedge}(V), see above). To construct the most general algebra that contains V and whose multiplication is alternating on V, it is natural to start with the most general associative algebra that contains V, the tensor algebra T(V), and then enforce the alternating property by taking a suitable quotient. We thus take the two sided ideal I in T(V) generated by all elements of the form v ⊗ v for v in V, and define as the quotient
(and use ∧ as the symbol for multiplication in {\textstyle\bigwedge}(V)). It is then straightforward to show that contains V and satisfies the above universal property. As a consequence of this construction, the operation of assigning to a vector space V its exterior algebra is a functor from the category of vector spaces to the category of algebras. Rather than defining first and then identifying the exterior powers as certain subspaces, one may alternatively define the spaces first and then combine them to form the algebra {\textstyle\bigwedge}(V). This approach is often used in differential geometry and is described in the next section.
Обобщения
При заданном коммутативном кольце и модуле M, мы можем определить внешнюю алгебру аналогичным образом, как и выше, как подходящее фактор-модуль тензорной алгебры \mathrm{T}(M). Она будет удовлетворять аналогичному универсальному свойству. Многие свойства внешней алгебры также требуют, чтобы M был проективным модулем. Если используется конечномерность, то свойства дополнительно требуют, чтобы M был конечно порожденным и проективным. Обобщения для наиболее распространенных случаев можно найти в. Внешние алгебры векторных расслоений часто рассматриваются в геометрии и топологии. По теореме Серре-Свана, существенных различий между алгебраическими свойствами внешней алгебры конечномерных векторных расслоений и внешней алгебры конечно порожденных проективных модулей нет. Более общие внешние алгебры могут быть определены для пучков модулей.
Exterior algebras of vector bundles are frequently considered in geometry and topology. There are no essential differences between the algebraic properties of the exterior algebra of finite dimensional vector bundles and those of the exterior algebra of finitely generated projective modules, by the Serre–Swan theorem. More general exterior algebras can be defined for sheaves of modules.
Продукт интерьера
Предположим, что пространство конечномерно. Если V* обозначает двойственное пространство к векторному пространству V, то для каждого α ∈ V* можно определить антипроизводную на алгебре ∧(V).
Эта производная называется внутренним произведением с α, или иногда оператором вставки, или сокращением по α. Пусть w ∈ ∧ᵏ(V). Тогда w является мультилинейным отображением из ∧ᵏ(V) в K, поэтому оно определяется своими значениями на k-кратном декартовом произведении V* × V* × … × V*. Если u₁, u₂, …, uₖ₋₁ – элементы V*, то определим
Дополнительно, пусть w(u₁, u₂, …, uₖ₋₁, x) = 0, если x является чистым скаляром (т.е. принадлежит ∧⁰(V)).
Ориентированный объем в аффинном пространстве
Естественной средой для (ориентированного) размерного объема и внешней алгебры является аффинное пространство. Это также тесная связь между внешней алгеброй и дифференциальными формами, поскольку для интегрирования требуется "дифференциальный" объект для измерения бесконечно малого объема. Если – аффинное пространство над векторным пространством V, а – упорядоченная коллекция из точек, мы можем определить его ориентированный -мерный объем как внешнее произведение векторов (используя конкатенацию для обозначения вектора смещения от точки к точке ); если порядок точек меняется, ориентированный объем меняет знак в соответствии с четностью перестановки. В n-мерном пространстве объем любого -мерного симплекса кратен объему любого другого. Сумма ориентированных -мерных площадей граничных симплексов -мерного симплекса равна нулю, как и сумма векторов вокруг треугольника или ориентированных треугольников, ограничивающих тетраэдр в предыдущем разделе. Векторно-пространственная структура на обобщает сложение векторов в V: у нас есть и, аналогично, k-лезвие линейно по каждому фактору.
Линейная алгебра
В приложениях линейной алгебры внешний продукт предоставляет абстрактно-алгебраический способ описания определителя и миноров матрицы. Например, хорошо известно, что определитель квадратной матрицы равен объему параллелепипеда, стороны которого образованы столбцами матрицы (с учетом знака для отслеживания ориентации). Это наводит на мысль, что определитель можно определить через внешнее произведение столбцовых векторов. Аналогично, k × k миноры матрицы можно определить, рассматривая внешние произведения столбцовых векторов, выбранных по k штук. Эти идеи можно распространить не только на матрицы, но и на линейные преобразования: определитель линейного преобразования – это фактор, в который оно масштабирует ориентированный объем любого заданного эталонного параллелепипеда. Таким образом, определитель линейного преобразования можно определить, исходя из того, как преобразование действует на старшую внешнюю степень. Действие преобразования на младшие внешние степени дает способ говорить о минорах преобразования, не зависящий от выбора базиса.
Физика
В физике многие величины естественно представляются чередующимися операторами. Например, если движение заряженной частицы описывается векторами скорости и ускорения в четырехмерном пространстве-времени, то условие нормировки вектора скорости требует, чтобы электромагнитная сила являлась чередующимся оператором, действующим на скорость. Ее шесть степеней свободы идентифицируются с электрическим и магнитным полями.
Линейная геометрия
Разлагаемые k-векторы имеют геометрическую интерпретацию: бивектор представляет собой плоскость, натянутую на векторы, "взвешенную" числом, равным площади ориентированного параллелограмма со сторонами u и v. Аналогично, 3-вектор представляет собой трехмерное пространство, натянутое на векторы u, v и w, и взвешенное объемом ориентированного параллелепипеда с ребрами u, v и w.
Проективная геометрия
Разлагаемые k векторов соответствуют взвешенным k-мерным линейным подпространствам V. В частности, грассманиан k-мерных подпространств V, обозначаемый \operatorname{Gr} k(V), может быть естественным образом отождествлен с алгебраической подвариантностью проективного пространства. Это называется вложением Плюкера, а образ этого вложения может быть охарактеризован соотношениями Плюкера.
Дифференциальная геометрия
Внешняя алгебра имеет важное применение в дифференциальной геометрии, где она используется для определения дифференциальных форм. Дифференциальные формы — это математические объекты, которые вычисляют длину векторов, площади параллелограммов и объемы тел в многомерном пространстве, поэтому их можно интегрировать по кривым, поверхностям и многообразиям более высокой размерности, обобщая таким образом линейные и поверхностные интегралы из математического анализа. Дифференциальная форма в точке дифференцируемого многообразия — это попеременно-многолинейная форма на касательном пространстве в этой точке. Эквивалентно, дифференциальная форма степени k является линейным функционалом на k-й внешней степени касательного пространства. Как следствие, внешнее произведение многолинейных форм определяет естественное внешнее произведение для дифференциальных форм. Дифференциальные формы играют ключевую роль в различных областях дифференциальной геометрии. Альтернативный подход определяет дифференциальные формы в терминах зародышей функций. В частности, внешняя производная наделяет внешнюю алгебру дифференциальных форм на многообразии структурой дифференциально-градуированной алгебры. Внешняя производная коммутирует с обратным отображением вдоль гладких отображений между многообразиями и, следовательно, является естественным дифференциальным оператором. Внешняя алгебра дифференциальных форм, снабженная внешней производной, представляет собой коцеплекс, когомологии которого называются когомологиями де Рама базового многообразия и играют важную роль в алгебраической топологии дифференцируемых многообразий.
Теория представления
В теории представлений внешняя алгебра является одним из двух фундаментальных функторов Шура на категории векторных пространств, другим — симметричная алгебра. Вместе эти конструкции используются для построения неразложимых представлений общей линейной группы (см. Фундаментальное представление).
Суперпространство
Внешняя алгебра над комплексными числами является архетипическим примером супералгебры, играющей фундаментальную роль в физических теориях, касающихся фермионов и суперсимметрии. Отдельный элемент внешней алгебры называется суперчислом или числом Грассмана. Сама внешняя алгебра, таким образом, представляет собой одномерное суперпространство: это просто множество всех точек внешней алгебры. Топология на этом пространстве по существу является слабой топологией, где открытыми множествами служат цилиндрические множества. n-мерное суперпространство – это просто n-кратное произведение внешних алгебр.
Гомологическая алгебра
Внешняя алгебра является ключевым элементом в построении комплекса Козула, фундаментального объекта в гомологической алгебре.
Математические ссылки
Включает в себя изложение чередующихся тензоров и чередующихся форм, а также подробное обсуждение дуальности Ходжа с точки зрения, принятой в данной статье. Это основной математический источник для статьи. В ней представлена внешняя алгебра модуля над коммутативным кольцом (хотя в данной статье рассматривается преимущественно случай, когда кольцо является полем), включая обсуждение универсального свойства, функториальности, двойственности и структуры биалгебры. См. §III.7 и §III.11. В этой книге содержатся приложения внешней алгебры к задачам теории частных дифференциальных уравнений. Ранги и связанные с ними понятия развиваются в начальных главах. Главы XVI, разделы 6–10, дают более элементарное изложение внешней алгебры, включая двойственность, определители и миноры, а также чередующиеся формы. Содержит классическое рассмотрение внешней алгебры как чередующихся тензоров и ее применение к дифференциальной геометрии.