Кіріспе
Математикадағы аналитикалық функция. Риманның зетта функциясы немесе Эйлер-Риманның зетта функциясы, грек әрпі ζ (зетта) арқылы белгіленеді, бұл комплекс айнымалының математикалық функциясы, ол үшін анықталған және басқа жерлерде аналитикалық түрде жалғастырылған. Риманның зетта функциясының жұп оң бүтін сандардағы мәндерін Эйлер есептеген. Олардың біріншісі, ζ(2), Базель мәселесінің шешімін береді. 1979 жылы Роджер Апери Апери тұрақтысының иррационалдығын дәлелдеді. Эйлер тапқан теріс бүтін сандардағы мәндер рационал сандар болып табылады және модульдік формалар теориясында маңызды рөл атқарады. Риманның зетта функциясының көптеген жалпыламалары, мысалы Дирихле қатарлары, Дирихле L функциялары және L функциялары белгілі.
The Riemann zeta function or Euler–Riemann zeta function, denoted by the Greek letter ζ (zeta), is a mathematical function of a complex variable defined as for , and its analytic continuation elsewhere. The values of the Riemann zeta function at even positive integers were computed by Euler. The first of them, ζ(2), provides a solution to the Basel problem. In 1979 Roger Apéry proved the irrationality of [[Apéry's constant. The values at negative integer points, also found by Euler, are rational numbers and play an important role in the theory of modular forms. Many generalizations of the Riemann zeta function, such as Dirichlet series, Dirichlet L functions and L functions, are known.
Нөлдер, сын сызық және Риман гипотезасы
Функционалдық теңдеу Риманның зетта-функциясының -2, -4 нүктелерінде нөлдері бар екенін көрсетеді. Бұл нөлдер тривиальды нөлдер деп аталады. Олардың бар екенін дәлелдеу салыстырмалы түрде оңай болғандықтан, олар тривиальды, мысалы, функционалдық теңдеуде 0-ге тең болуынан. Тривиальды емес нөлдерге көбірек назар аударылды, себебі олардың таралуы нашар түсінілген, және оларды зерттеу сандар теориясындағы жай сандар мен байланысты объектілер туралы маңызды нәтижелер береді. Кез келген тривиальды емес нөл ашық жолақта орналасқан, ол сындық жолақ деп аталады. Бұл жиын сындық түзу деп аталады. Риман гипотезасы, математикадағы шешілмеген ең маңызды мәселелердің бірі, барлық тривиальды емес нөлдер сындық түзуде жатады деп тұжырымдайды. 1989 жылы Конрей Риманның зетта-функциясының 40%-дан астам тривиальды емес нөлдері сындық түзуде екенін дәлелдеді. Риманның зетта-функциясы сындық түзуде болғанда, Z функциясын қараңыз. + Бірінші бірнеше тривиальды емес нөлдер: 1/2 ± 14.134725 i 1/2 ± 21.022040 i 1/2 ± 25.010858 i 1/2 ± 30.424876 i 1/2 ± 32.935062 i 1/2 ± 37.586178 i 1/2 ± 40.918719 i
Харди-Литлвуд болжамы
1914 жылы Годфри Харольд Харди бұл функцияның шексіз көп нақты нөлдері бар екенін дәлелдеді. Харди мен Джон Эденсор Литтлвуд үлкен оң нақты сандар аралығындағы нөлдердің тығыздығы және арақашықтығы туралы екі болжам айтты. Бұдан әрі, N(T) – нақты нөлдердің жалпы саны, ал N0(T) – (0, T] аралығында жатқан функцияның тақ реттік нөлдерінің жалпы саны болып белгіленеді. Бұл екі болжам Риман зета-функциясын зерттеуде жаңа бағыттар ашты.
Басқа нәтижелер
Белгілі болғандай, сындық түзуде шексіз көп нөлдер бар. Литтлвуд көрсеткендей, егер (γn) тізбегі жоғарғы жарты жазықтықтағы барлық нөлдердің жолғары бөліктерін өсу ретімен қамтыса, онда
The critical line theorem asserts that a positive proportion of the nontrivial zeros lies on the critical line. (The Riemann hypothesis would imply that this proportion is 1.) In the critical strip, the zero with smallest non negative imaginary part is The fact that
for all complex s ≠ 1 implies that the zeros of the Riemann zeta function are symmetric about the real axis. Combining this symmetry with the functional equation, furthermore, one sees that the non trivial zeros are symmetric about the critical line
It is also known that no zeros lie on the line with real part 1.
Критикалық түзу теоремасы сындық түзудегі бөлшексіз нөлдердің оң үлесінің жатқанын мәлімдейді. (Риман гипотезасы бұл үлестің 1-ге тең екенін білдіреді.) Сындық жолақта ең кіші оң жолғары бөлігі бар нөл – . Барлық кешенді s ≠ 1 үшін бұл факт Риманның зетта-функциясының нөлдері нақты оське қатысты симметриялы екенін білдіреді. Бұл симметрияны функционалдық теңдеумен біріктіре отырып, бөлшексіз емес нөлдердің сындық түзуге қатысты симметриялы екенін көруге болады. Сондай-ақ, нақты бөлігі 1 болатын түзуде нөлдердің жоқ екені белгілі.
The critical line theorem asserts that a positive proportion of the nontrivial zeros lies on the critical line. (The Riemann hypothesis would imply that this proportion is 1.) In the critical strip, the zero with smallest non negative imaginary part is The fact that
for all complex s ≠ 1 implies that the zeros of the Riemann zeta function are symmetric about the real axis. Combining this symmetry with the functional equation, furthermore, one sees that the non trivial zeros are symmetric about the critical line
It is also known that no zeros lie on the line with real part 1.
Түрлі қасиеттері
Бүтін және жартылай бүтін мәндердегі зета функциясын қамтитын сомалар үшін рационалды зета қатарларын қараңыз.
Жалпыға бірдейлік
Риманның зетта функциясының сындық жолағында әмбебаптық қасиет бар. Бұл зетта функциясының әмбебаптығы, кез келген голоморфтық функцияны кез келген дәлдікпен жуықтайтын сындық жолақта бір нүкте табылатынын көрсетеді. Голоморфтық функциялар өте жалпыланғандықтан, бұл қасиет өте таңғажайып. Универсалдылықтың алғашқы дәлелін 1975 жылы Сергей Михайлович Воронин берді. Жақындағы зерттеулер Воронин теоремасының тиімді нұсқаларын және оны Дирихле L функцияларына қолдануды қамтыды.
Интегралды
Барлық s ∈ "C", s ≠ 1 үшін интегралды қатынас (Абель-Плана формуласына қараңыз) орындалады, оны зета функциясын сандық есептеу үшін пайдалануға болады.
holds true, which may be used for a numerical evaluation of the zeta function.
Тез конвергентті тізбектер
Питер Борвейн Чебышев полиномдарын Дирихлет эта функциясына қолданып, жоғары дәлдікті қажет ететін сандық есептеулерге өте жылдам жақындайтын қатарды құруға мүмкіндік беретін алгоритмді жасады.
Тізбенің оң бүтін сандардағы бейнеленуі
Мұнда pn# – алғашқы сандардың көбейтіндісінің тізбегі, ал Jk – Джорданның тотиент функциясы.
Тью-Морс тізбектері
Дирихле тізбектерінің белгілі бір сызықтық комбинациялары, олардың коэффициенттері Тью-Морзе тізбегінің мүшелері, Риманның зета функциясын қатыстыратын теңдіктерге алып келеді (Тот, 2022). Мысалы:
мұнда – Тью-Морзе тізбегінің -інші мүшесі. Шындығында, нақты бөлігі 1-ден артық барлық үшін мына теңдік орындалады:
Қолданбалар
Зета функциясы қолданбалы статистикада кездеседі (Zipf заңы және Zipf–Mandelbrot заңы). Зета функциясының реттелуі кванттық өріс теориясында дивергентті қатарлар мен дивергентті интегралдарды реттеудің мүмкін болатын жолдарының бірі ретінде қолданылады. Нақты бір мысалда, Риманның зетта функциясы Казимир эффектін есептеу әдістерінің бірінде тікелей пайда болады. Зета функциясы динамикалық жүйелерді талдау үшін де пайдалы.
Музыкалық күйлеу
Музыкалық құралымдар теориясында, зета функциясы октаваның тең бөліністерін (EDO) табу үшін қолданылады, бұл гармониялық қатардың интервалдарын жақын шамамен бейнелейді. -ның мәні артқан сайын, оның мәні мұндай EDO-ға сәйкес келетін бүтін сандарға жақын нүктелерде өседі. Мысалға, 12, 19 және 53 сияқты танымал таңдауларды атауға болады.
peaks near integers that correspond to such EDOs. Examples include popular choices such as 12, 19, and 53.