Введение

Аналитическая функция в математике

Функция Римана или дзета-функция Эйлера – Римана, обозначаемая греческой буквой ζ (дзета), является математической функцией комплексной переменной, определяемой как для , и её аналитическим продолжением на всей комплексной плоскости. Значения дзета-функции Римана в четных положительных целых числах были вычислены Эйлером. Первое из них, ζ(2), даёт решение базельской задачи. В 1979 году Роджер Апери доказал иррациональность постоянной Апери. Значения в отрицательных целых точках, также найденные Эйлером, являются рациональными числами и играют важную роль в теории модулярных форм. Известно множество обобщений дзета-функции Римана, таких как ряды Дирихле, L-функции Дирихле и L-функции.

Нули, критическая линия и гипотеза Римана

Функциональное уравнение показывает, что функция дзета Римана имеет нули в −2, −4. Они называются тривиальными нулями. Они тривиальны в том смысле, что их существование относительно легко доказать, например, исходя из того, что они равны 0 в функциональном уравнении. Нетривиальные нули привлекли гораздо больше внимания, поскольку их распределение не только гораздо менее изучено, но, что более важно, их исследование дает важные результаты, касающиеся простых чисел и связанных с ними объектов в теории чисел. Известно, что любой нетривиальный нуль лежит в открытой полосе, которая называется критической полосой. Множество называется критической линией. Гипотеза Римана, считающаяся одной из величайших нерешенных проблем в математике, утверждает, что все нетривиальные нули лежат на критической линии. В 1989 году Конрей доказал, что более 40% нетривиальных нулей функции дзета Римана лежат на критической линии. Для функции дзета Римана на критической линии см. функцию Z. + Первые несколько нетривиальных нулей: Нуль 1/2 ± 14.134725 i, 1/2 ± 21.022040 i, 1/2 ± 25.010858 i, 1/2 ± 30.424876 i, 1/2 ± 32.935062 i, 1/2 ± 37.586178 i, 1/2 ± 40.918719 i.

Гипотезы Харди-Литлвуд

В 1914 году Годфри Гарольд Харди доказал, что функция ζ(s) имеет бесконечно много вещественных нулей. Харди и Джон Эденсор Литтлвуд сформулировали две гипотезы о плотности и расстоянии между нулями функции ζ(s) на интервалах больших положительных вещественных чисел. Далее, N(T) обозначает общее количество вещественных нулей, а N0(T) – общее количество нулей нечетного порядка функции ζ(s), лежащих в интервале (0, T]. Эти две гипотезы открыли новые направления в исследовании дзета-функции Римана.

Другие результаты

Известно, что на критической прямой бесконечно много нулей. Литтлвуд показал, что если последовательность (γn) содержит мнимые части всех нулей в верхней полуплоскости в порядке возрастания, то

Теорема о критической прямой утверждает, что положительная доля нетривиальных нулей лежит на критической прямой. (Гипотеза Римана подразумевает, что эта доля равна 1.) В критической полосе нуль с наименьшей неотрицательной мнимой частью равен. Тот факт, что

для всех комплексных s ≠ 1, влечет за собой симметричность нулей дзета-функции Римана относительно вещественной оси. Комбинируя эту симметрию с функциональным уравнением, можно увидеть, что нетривиальные нули симметричны относительно критической прямой. Также известно, что на прямой с вещественной частью 1 нули не лежат.

Различные свойства

Для сумм, связанных с функцией дзета при целых и полуцелых значениях, обратитесь к рациональным рядам дзета.

Универсальность

Критическая полоса дзета-функции Римана обладает замечательным свойством универсальности. Эта универсальность дзета-функции заключается в том, что на критической полосе существует точка, которая сколь угодно хорошо аппроксимирует любую голоморфную функцию. Поскольку голоморфные функции являются весьма общими, это свойство особенно примечательно. Первое доказательство универсальности было получено Сергеем Михайловичем Ворониным в 1975 году. Более поздние исследования включают эффективные варианты теоремы Воронина и её обобщение на функции Дирихле L.

Интегральный

Для всех s ∈ ℂ, s ≠ 1, справедливо интегральное соотношение (см. формулу Абеля — Плана), которое может быть использовано для численного вычисления дзета-функции.

Быстро сходящиеся ряды

Питер Борвейн разработал алгоритм, использующий многочлены Чебышева и функцию Дирихле эта для получения очень быстро сходящегося ряда, пригодного для высокоточных численных расчетов.

Представление ряда на положительных целых числах через примориал

Здесь pn# — последовательность примириалов, а Jk — функция тотиента Джордана.

Последовательность Тью-Морса

Некоторые линейные комбинации рядов Дирихле, коэффициенты которых являются членами последовательности Тью — Морзе, приводят к тождествам, включающим функцию Римана — дзета (Tóth, 2022). Например:

где – член последовательности Тью — Морзе. Фактически, для всех комплексных чисел с вещественной частью, большей чем 0, справедливо:

Приложения

Функция дзета встречается в прикладной статистике (см. закон Зипфа и закон Зипфа — Мандельброта). Регуляризация с помощью дзета-функции используется как один из способов регуляризации расходящихся рядов и расходящихся интегралов в квантовой теории поля. В одном известном примере дзета-функция Римана явно появляется в одном из методов вычисления эффекта Казимира. Функция дзета также полезна для анализа динамических систем.

Музыкальная настройка

В теории музыкальных строев функция дзета может быть использована для поиска равных делений октавы (EDO), которые близко аппроксимируют интервалы гармонического ряда. При возрастающих значениях , значение функции достигает пиков вблизи целых чисел, соответствующих таким EDO. Примеры включают в себя популярные варианты, такие как 12, 19 и 53.