Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Көпбұрыштарды бөлу теоремасы
Theorem on polygon dissections
Геометрияда Уоллес-Боллай-Гервиен теоремасы, Уильям Уоллес, Фаркас Боллай және П. Гервиеннің есімдерімен аталады, көпбұрыштарды бөлуге қатысты теорема. Ол бір көпбұрышты екіншісінен шектеулі санда бөліктерге бөліп, оларды жылжыту және бұру арқылы қайта құрастыру арқылы қашан жасауға болатындығы туралы сұраққа жауап береді. Уоллес-Боллай-Гервиен теоремасы екі көпбұрыш бірдей ауданына ие болса ғана мұны істеуге болады деп мәлімдейді. Уоллес бұл нәтижені 1807 жылы бұрын-ақ дәлелдеген. Басқа дереккөздерде Болай және Гервиен теореманы 1833 және 1835 жылдары тәуелсіз түрде дәлелдегендіктері айтылады.
In geometry, the Wallace–Bolyai–Gerwien theorem, named after William Wallace, Farkas Bolyai and P. Gerwien, is a theorem related to dissections of polygons. It answers the question when one polygon can be formed from another by cutting it into a finite number of pieces and recomposing these by translations and rotations. The Wallace–Bolyai–Gerwien theorem states that this can be done if and only if two polygons have the same area. Wallace had proven the same result already in 1807. According to other sources, Bolyai and Gerwien had independently proved the theorem in 1833 and 1835, respectively.
Формуляциясы
Бұл теореманы бірнеше түрде тұжырымдауға болады. Ең көп қолданылатын нұсқада көпбұрыштардың "теңдекомпозициялық" ұғымы пайдаланылады: екі көпбұрыш теңдекомпозициялық болып есептеледі, егер оларды шекті сандағы үшбұрыштарға бөлуге болады, бұл үшбұрыштар тек изометрия арқылы ғана ерекшеленеді (іс жүзінде, трансляция және айналудың комбинациясы арқылы). Бұл жағдайда Уоллес-Боллай-Гервиен теоремасы екі көпбұрыш теңдекомпозициялық болса, олардың ауданы бірдей болады деп мәлімдейді. Тағы бір тұжырымдама – "қиылыс конгруэнттігі": екі көпбұрыш қиылыс конгруэнтті болып есептеледі, егер оларды жұптық конгруэнтті шекті сандағы көпбұрыштарға бөлуге болады. Қиылыс конгруэнттігі – эквиваленттік қатынас. Бұл жағдайда Уоллес-Боллай-Гервиен теоремасы осы қатынастың эквиваленттік кластары дәл сол ауданы бірдей көпбұрыштарды қамтиды деп айтады.
There are several ways in which this theorem may be formulated. The most common version uses the concept of "equidecomposability" of polygons: two polygons are equidecomposable if they can be split into finitely many triangles that only differ by some isometry (in fact only by a combination of a translation and a rotation). In this case the Wallace–Bolyai–Gerwien theorem states that two polygons are equidecomposable if and only if they have the same area. Another formulation is in terms of scissors congruence: two polygons are scissors congruent if they can be decomposed into finitely many polygons that are pairwise congruent. Scissors congruence is an equivalence relation. In this case the Wallace–Bolyai–Gerwien theorem states that the equivalence classes of this relation contain precisely those polygons that have the same area.
Сынақ эскизі
Теореманы бірнеше қадаммен түсінуге болады. Біріншіден, кез келген көпбұрышты үшбұрыштарға бөлуге болады. Мұның бірнеше әдісі бар. Дөңес көпбұрыштар үшін әр төбесін кезекпен кесіп алуға болады, ал ойыс көпбұрыштар үшін бұл көбірек сақтықты қажет етеді. Кез келген көпбұрыш үшін де жұмыс істейтін жалпы тәсіл – көпбұрыш қабырғаларына параллель емес түзуді таңдап, көпбұрыш төбелерінің әрқайсысы арқылы осы түзуге параллель түзулер жүргізу. Бұл көпбұрышты үшбұрыштар мен трапецияларға бөледі, оларды өз кезегінде үшбұрыштарға айналдыруға болады. Екіншіден, осы үшбұрыштардың әрқайсысын тікбұрышты үшбұрышқа, содан кейін бір қабырғасы 1 бірлікке тең тікбұрышқа түрлендіруге болады. Басқаша айтқанда, үшбұрышты алдымен параллелограммға айналдырып, содан кейін оны осындай тікбұрышқа түрлендіру арқылы да осындай тікбұрыш жасауға болады. Осылайша әрбір үшбұрыш үшін жасағанда, көпбұрышты ені бірлікке тең, ал биіктігі ауданына тең тікбұрышқа бөлуге болады. Бұл кез келген екі көпбұрыш үшін де орындалғандықтан, олардың арасындағы тікбұрыштың "ортақ бөлінуі" теореманы дәлелдейді. Яғни, екі көпбұрышқа сәйкес ортақ тікбұрышты (1-ге тең өлшеммен және олардың аудандарына қарай) кесу екі көпбұрыштың арасындағы аралық болады.
The theorem can be understood in a few steps. Firstly, every polygon can be cut into triangles. There are a few methods for this. For convex polygons one can cut off each vertex in turn, while for concave polygons this requires more care. A general approach that works for non simple polygons as well would be to choose a line not parallel to any of the sides of the polygon and draw a line parallel to this one through each of the vertices of the polygon. This will divide the polygon into triangles and trapezoids, which in turn can be converted into triangles. Secondly, each of these triangles can be transformed into a right triangle and subsequently into a rectangle with one side of length 1. Alternatively, a triangle can be transformed into one such rectangle by first turning it into a parallelogram and then turning this into such a rectangle. By doing this for each triangle, the polygon can be decomposed into a rectangle with unit width and height equal to its area. Since this can be done for any two polygons, a "common subdivision" of the rectangle in between proves the theorem. That is, cutting the common rectangle (of size 1 by its area) according to both polygons will be an intermediate between both polygons.
Дәлел туралы ескертулер
Біріншіден, бұл дәлелдеме аралық көпбұрыш талап етеді. Теореманы қайшылық конгруенция арқылы тұжырымдағанда, осы аралықты пайдалану, қайшылық конгруенциялар транзитивті екенін пайдалану арқылы қайта тұжырымдалуы мүмкін. Бірінші және екінші көпбұрыштар екеуі де аралыққа қайшылық конгруентті болғандықтан, олар бір-біріне қайшылық конгруентті. Бұл теореманың дәлелі конструктивті және таңдау аксиомасын қажет етпейді, тіпті кейбір басқа диссекциялық мәселелер (мысалы, Тарскидің шеңберді шаршылау мәселесі) оны қажет етеді. Бұл жағдайда, бөлшектеу және қайта құрастыруды "физикалық" түрде орындауға болады: бөлшектерді теориялық тұрғыдан қағаздан қайшымен кесіп, қолмен қайта құрастыруға болады. Дегенмен, осы процедураны пайдаланып бір көпбұрыштан екіншісін құрастыру үшін қажетті бөлшектердің саны, әдетте, қажетті көпбұрыштардың ең аз санынан әлдеқайда артық.
First of all, this proof requires an intermediate polygon. In the formulation of the theorem using scissors congruence, the use of this intermediate can be reformulated by using the fact that scissor congruences are transitive. Since both the first polygon and the second polygon are scissors congruent to the intermediate, they are scissors congruent to one another. The proof of this theorem is constructive and doesn't require the axiom of choice, even though some other dissection problems (e. g. Tarski's circle squaring problem) do need it. In this case, the decomposition and reassembly can actually be carried out "physically": the pieces can, in theory, be cut with scissors from paper and reassembled by hand. Nonetheless, the number of pieces required to compose one polygon from another using this procedure generally far exceeds the minimum number of polygons needed.
Жалпылау
Үш өлшемдегі көпжақтар туралы ұқсас тұжырым, Хилберттің үшінші мәселесі деп белгілі, Макс Дехн 1900 жылы дәлелдегендей, жалған. Бұл мәселе кейбір Евклид емес геометрияларда да қарастырылды. Екі өлшемді гиперболалық және сфералық геометрияда теорема сақталады. Дегенмен, бұл геометриялар үшін үш өлшемде мәселе әлі де шешілмеген.
The analogous statement about polyhedra in three dimensions, known as Hilbert's third problem, is false, as proven by Max Dehn in 1900. The problem has also been considered in some non Euclidean geometries. In two dimensional hyperbolic and spherical geometry, the theorem holds. However, the problem is still open for these geometries in three dimensions.