Теорема Уоллеса-Бойяи-Гервиена: разрезание многоугольников. Доказано, что многоугольники с равной площадью можно составить друг из друга перестановками.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Теорема о разрезании многоугольников
Theorem on polygon dissections
В геометрии теорема Уоллеса — Бойяи — Гервиена, названная в честь Уильяма Уоллеса, Фаркаса Бойяи и П. Гервиена, является теоремой, связанной с разрезанием многоугольников. Она отвечает на вопрос, когда один многоугольник можно получить из другого, разрезав его на конечное число частей и сложив их посредством переносов и вращений. Теорема Уоллеса — Бойяи — Гервиена утверждает, что это возможно тогда и только тогда, когда два многоугольника имеют одинаковую площадь. Уоллес доказал этот же результат ещё в 1807 году. Согласно другим источникам, Бойяи и Гервиен независимо доказали теорему в 1833 и 1835 годах соответственно.
In geometry, the Wallace–Bolyai–Gerwien theorem, named after William Wallace, Farkas Bolyai and P. Gerwien, is a theorem related to dissections of polygons. It answers the question when one polygon can be formed from another by cutting it into a finite number of pieces and recomposing these by translations and rotations. The Wallace–Bolyai–Gerwien theorem states that this can be done if and only if two polygons have the same area. Wallace had proven the same result already in 1807. According to other sources, Bolyai and Gerwien had independently proved the theorem in 1833 and 1835, respectively.
Формулировка
Есть несколько способов, которыми эта теорема может быть сформулирована. Наиболее распространенная версия использует концепцию "эквидекомпозибельности" многоугольников: два многоугольника являются эквидекомпозибельными, если их можно разделить на конечное число треугольников, отличающихся только изометрией (фактически, только комбинацией сдвига и поворота). В этом случае теорема Уоллеса — Болая — Гервина утверждает, что два многоугольника эквидекомпозибельны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую площадь. Другая формулировка выражена в терминах конгруэнтности с помощью разрезания: два многоугольника конгруэнтны с помощью разрезания, если их можно разложить на конечное число многоугольников, попарно конгруэнтных друг другу. Конгруэнтность с помощью разрезания является отношением эквивалентности. В этом случае теорема Уоллеса — Болая — Гервина утверждает, что классы эквивалентности этого отношения содержат ровно те многоугольники, которые имеют одинаковую площадь.
There are several ways in which this theorem may be formulated. The most common version uses the concept of "equidecomposability" of polygons: two polygons are equidecomposable if they can be split into finitely many triangles that only differ by some isometry (in fact only by a combination of a translation and a rotation). In this case the Wallace–Bolyai–Gerwien theorem states that two polygons are equidecomposable if and only if they have the same area. Another formulation is in terms of scissors congruence: two polygons are scissors congruent if they can be decomposed into finitely many polygons that are pairwise congruent. Scissors congruence is an equivalence relation. In this case the Wallace–Bolyai–Gerwien theorem states that the equivalence classes of this relation contain precisely those polygons that have the same area.
Эскиз испытания
Теорему можно понять в несколько шагов. Во-первых, любой многоугольник можно разбить на треугольники. Существует несколько способов это сделать. Для выпуклых многоугольников можно последовательно отсекать каждую вершину, а для вогнутых многоугольников это требует большей аккуратности. Общий подход, работающий также и для не-простых многоугольников, заключается в выборе прямой, не параллельной ни одной из сторон многоугольника, и проведении через каждую вершину многоугольника прямой, параллельной выбранной. Это разобьет многоугольник на треугольники и трапеции, которые, в свою очередь, можно преобразовать в треугольники. Во-вторых, каждый из этих треугольников можно преобразовать в прямоугольный треугольник, а затем – в прямоугольник со стороной длиной 1. Альтернативно, треугольник можно преобразовать в такой прямоугольник, сначала превратив его в параллелограмм, а затем – в прямоугольник. Применив это к каждому треугольнику, многоугольник можно разложить на прямоугольник с единичной шириной и высотой, равной его площади. Поскольку это можно сделать для любых двух многоугольников, "общее разбиение" прямоугольника между ними доказывает теорему. То есть, разрезание общего прямоугольника (размером 1 на площадь) в соответствии с обоими многоугольниками будет являться промежуточным вариантом между этими многоугольниками.
The theorem can be understood in a few steps. Firstly, every polygon can be cut into triangles. There are a few methods for this. For convex polygons one can cut off each vertex in turn, while for concave polygons this requires more care. A general approach that works for non simple polygons as well would be to choose a line not parallel to any of the sides of the polygon and draw a line parallel to this one through each of the vertices of the polygon. This will divide the polygon into triangles and trapezoids, which in turn can be converted into triangles. Secondly, each of these triangles can be transformed into a right triangle and subsequently into a rectangle with one side of length 1. Alternatively, a triangle can be transformed into one such rectangle by first turning it into a parallelogram and then turning this into such a rectangle. By doing this for each triangle, the polygon can be decomposed into a rectangle with unit width and height equal to its area. Since this can be done for any two polygons, a "common subdivision" of the rectangle in between proves the theorem. That is, cutting the common rectangle (of size 1 by its area) according to both polygons will be an intermediate between both polygons.
Примечания к доказательству
Во-первых, для этого доказательства требуется промежуточный многоугольник. При формулировании теоремы с использованием конгруэнтности ножниц, использование этого промежуточного звена можно переформулировать, опираясь на транзитивность конгруэнтности ножниц. Поскольку и первый, и второй многоугольники конгруэнтны ножницами промежуточному многоугольнику, то они конгруэнтны ножницами и друг другу. Доказательство этой теоремы является конструктивным и не требует аксиомы выбора, хотя для решения некоторых других задач на разрезание (например, задачи Тарского о разрезании круга на части, которые можно сложить в квадрат) она необходима. В данном случае, разложение и сборка могут быть осуществлены буквально "физически": теоретически, части можно вырезать ножницами из бумаги и собрать вручную. Тем не менее, число частей, необходимых для составления одного многоугольника из другого с помощью этой процедуры, обычно значительно превышает минимально возможное количество частей.
First of all, this proof requires an intermediate polygon. In the formulation of the theorem using scissors congruence, the use of this intermediate can be reformulated by using the fact that scissor congruences are transitive. Since both the first polygon and the second polygon are scissors congruent to the intermediate, they are scissors congruent to one another. The proof of this theorem is constructive and doesn't require the axiom of choice, even though some other dissection problems (e. g. Tarski's circle squaring problem) do need it. In this case, the decomposition and reassembly can actually be carried out "physically": the pieces can, in theory, be cut with scissors from paper and reassembled by hand. Nonetheless, the number of pieces required to compose one polygon from another using this procedure generally far exceeds the minimum number of polygons needed.
Обобщения
Аналогичное утверждение о многогранниках в трех измерениях, известное как третья проблема Гильберта, неверно, что было доказано Максом Деном в 1900 году. Эта проблема также рассматривалась в некоторых неевклидовых геометриях. В двухмерной гиперболической и сферической геометрии теорема справедлива. Однако в трех измерениях для этих геометрий проблема остается нерешенной.
The analogous statement about polyhedra in three dimensions, known as Hilbert's third problem, is false, as proven by Max Dehn in 1900. The problem has also been considered in some non Euclidean geometries. In two dimensional hyperbolic and spherical geometry, the theorem holds. However, the problem is still open for these geometries in three dimensions.