Кіріспе

Физикалық заң: пружинаны деформациялауға қажетті күш қашықтыққа сызықтық түрде пропорционалды.

Физикада Гук заңы — эмпирикалық заң, онда пружинаны белгілі бір қашықтыққа (x) созуға немесе сығыуға қажетті күш (F) сол қашықтыққа қатысты сызықтық түрде өзгереді, яғни F = kx, мұнда k — пружинаның қасиетін сипаттайтын тұрақты шама (яғни, оның серпімділігі), ал x — пружинаның жалпы мүмкін деформациясына қарағанда кішкентай. Бұл заң 17 ғасырдың ағылшын физигі Роберт Гук есімімен аталады. Ол заңды алғаш рет 1676 жылы латынша анаграмма түрінде жариялаған. 1678 жылы анаграмманың шешімін былай түсіндірді: *ut tensio, sic vis* ("созылу қанша болса, күш те сондай") немесе "созылу күшке пропорционалды". Гук 1678 жылғы еңбегінде бұл заңды 1660 жылдан бері білгенін айтады. Гук заңы (кейбір жағдайларда) иілгіш дене деформацияланған көптеген басқа жағдайларда да қолданылады, мысалы, биік ғимаратқа желдің әсері немесе музыканттың гитара ішегін тартуы. Бұл заңға сәйкес келетін иілгіш дене немесе материал сызықтық серпімді немесе Гук заңына бағынатын деп аталады. Гук заңы — пружиналар мен басқа да серпімді денелердің күштерге реакциясын жуықтап есептеудің бірінші дәрежелі сызықтық тәсілі. Күштер белгілі бір шектен асқанда заң орындалмай қалуы мүмкін, себебі ешбір материалды шексіз қысып немесе созуға болмайды, бұл оның түрақты деформациясына немесе күйінің өзгеруіне әкеледі. Көптеген материалдар серпімділік шегіне жеткенге дейін Гук заңынан айтарлықтай ауытқиды. Алайда, күштер мен деформациялар жеткілікті кішкентай болғанда Гук заңы көптеген қатты денелер үшін дәл шамалау болып табылады. Осы себепті Гук заңы ғылым мен техниканың барлық салаларында кеңінен қолданылады және сейсмология, молекулалық механика және акустика сияқты көптеген пәндердің негізі болып табылады. Ол сондай-ақ серпімділік шкаласы, манометр, гальванометр және механикалық сағаттың теңгерім дөңгелегінің жұмыс принципіне негізделген. Қазіргі заманғы серпімділік теориясы Гук заңын жалпылап, серпімді дене немесе материалдың деформациясы (шиеленісі) оған қолданылатын кернеуге пропорционалды екенін айтады. Бірақ, жалпы кернеулер мен деформациялардың бірнеше тәуелсіз компоненттері болуы мүмкін болғандықтан, "пропорционалдық коэффициент" енді тек бір нақты сан емес, керісінше, нақты сандардың матрицасы түрінде көрсетілетін сызықтық түрлендіру (тензор) болуы мүмкін. Осы жалпы түрінде Гук заңы күрделі денелердің кернеу мен деформация арасындағы байланысты олардың құрамына кіретін материалдардың ішкі қасиеттері арқылы анықтауға мүмкіндік береді. Мысалы, біртекті қимасы бар біртекті таяқ созылғанда қарапайым пружина сияқты әрекет ететінін, оның серпімділігі k қима ауданына тура пропорционалды және ұзындығына кері пропорционалды екенін анықтауға болады.

Сызықтық пружиналар

Қарапайым спиральді пружинаны қарастырайық, оның бір ұшы белгілі бір тұрақты нысанға бекітілген, ал еркін ұшы Fs шамасындағы күшпен тартылады. Пружина ұзындығы өзгермейтін тепе-теңдік күйіне жеткенін болжайық. x – пружинаның бос ұшының «деформацияланбаған» күйінен (керілмегендегідей) ығысқан шамасы. Гук заңы былай тұжырымдайды: немесе, балама түрде,
мұнда k – пружинаның ерекшелігін көрсететін оң нақты сан. Орамдары арасында бос орын бар пружинаны да қысуға болады, және сол формула қысылу жағдайында да қолданылады, бірақ бұл ретте Fs және x екеуі де теріс болады. Осы формулаға сәйкес, қолданылған күш Fs-тің ығысқан шама x функциясы бойынша графигі координаталар басынан өтетін түзу болады, оның еңісі k-ға тең.

Пружина үшін Гук заңы Fs – пружинаның бос ұшын тартатын нәрсеге қатысты қалпына келтіру күші ретінде де тұжырымдалады. Бұл жағдайда теңдеу мына түрде болады: себебі қалпына келтіру күшінің бағыты ығысқан шаманың бағытына қарама-қарсы.

Жалпы "скалярлық" пружиналар

Гуктың серіппе заңы әдетте кез келген серпімді нысанға қолданылады, оның күрделілігіне қарамастан, егер деформация мен кернеуді оң және теріс болуы мүмкін бір санмен көрсетуге болады. Мысалы, екі параллель пластинаға бекітілген резеңке блогы созылу немесе қысылу емес, қиып-қырқу арқылы деформацияланғанда, қиып-қырқу күші Fs және пластиналардың қабырғалық ығысуы x Гук заңына бағынады (деформация жеткілікті кішкентай болса). Гук заңы сондай-ақ екі ұшы тіреліп тұрған, болаттан немесе бетоннан жасалған (ғимараттарда қолданылатындай) тік бұрыш, орталық нүктеде F салмағымен иілгенде де қолданылады. Бұл жағдайдағы ығысу x – бұрыштың жүктеме жоқ кездегі пішініне қатысты көлденең бағытта өлшенген ауытқуы.

Векторлық формула

Өз осінің бойымен созылатын немесе қысылатын спиральды пружина жағдайында, қолданылған (немесе қалпына келтіру) күші мен оның нәтижесіндегі созу немесе қысылу бірдей бағытта болады (яғни, аталған ось бағытында). Сондықтан, егер Fs және x векторлар ретінде берілсе, Хук заңы күшін жоғалтпайды және күш векторы – бұл созу векторының белгілі бір тұрақты санға көбейтілгені болып табылады.

Жалпы тензорлық форма

Кейбір серпімді денелер басқа бағыттағы күшке түскенде бір бағытта деформацияланады. Мысалы, тік бұрышты қимасы тіктөртбұрышты болмайтын және көлденең жүктемемен иілген көлденең ағаш арқалық, мұнда жүктеме тік немесе көлденең емес. Мұндай жағдайларда, ығысудың *x* шамасы күштің *Fs* шамасына пропорционалды болады, егер соңғысының бағыты өзгермесе (және оның мәні тым үлкен болмаса); сондықтан Гук заңының скалярлық түрі *Fs* = −*kx* орындалады. Дегенмен, күш және орын ауыстыру векторлары бір-бірінің скалярлық есеуі болмайды, себебі олардың бағыттары әртүрлі. Сонымен қатар, олардың шамалары арасындағы қатынас *Fs* векторының бағытына тәуелді болады. Алайда, мұндай жағдайларда күш пен деформация векторлары арасында, егер олар жеткілікті кішкентай болса, тұрақты сызықтық байланыс бар. Атап айтқанда, векторлардан векторларға *κ* функциясы бар, яғни **F** = *κ* (**X**), және *κ*(α**X**₁ + β**X**₂) = α*κ*(**X**₁) + β*κ*(**X**₂) кез келген нақты сандар α, β және кез келген орын ауыстыру векторлары **X**₁, **X**₂ үшін. Мұндай функция (екінші реттік) тензор деп аталады. Кез келген Картезиандық координаттар жүйесіне қатысты күш және орын ауыстыру векторларын 3 × 1 матрицалар түрінде көрсетуге болады. Оларды байланыстыратын *κ* тензорын 3 × 3 матрица *κ* нақты коэффициенттерімен бейнелеуге болады, оны орын ауыстыру векторымен көбейткенде күш векторы шығады:

Яғни, *Fi* = Σ(*κij* *Xj*) , *i* = 1, 2, 3 үшін. Сондықтан, **F** = *κ* **X** Гук заңы, **X** және **F** векторлары өзгермелі бағыттарға ие болғанда да орындалады, бірақ объектінің қатаңдығы жеке нақты сан *k* емес, *κ* тензоры болады.

Аналогты заңдар

Хук заңы екі шаманың арасындағы қарапайым пропорционалдық болғандықтан, оның формулалары мен салдары көптеген басқа физикалық заңдарға, мысалы сұйықтықтардың қозғалысын немесе диэлектриктің электр өрісімен поляризациясын сипаттауға ұқсас. Атап айтқанда, эластикалық кернеулерді деформациялармен байланыстыратын тензорлық теңдеу 1='σ' = 'cε', тұтқыр сұйықтықтардың ағынындағы тұтқыр кернеу тензоры 'τ' және деформация жылдамдығы тензоры 'ε̇' арасындағы байланысты сипаттайтын 1='τ' = 'με̇' теңдеуімен толыққандай ұқсас; бірақ біріншісі статикалық кернеулерге (деформацияның мөлшерімен байланысты), ал екіншісі динамикалық кернеулерге (деформация жылдамдығымен байланысты) қатысты.

Өлшем бірліктері

СИ бірліктерінде орын ауыстырулар метрмен (м), ал күштер ньютонмен (N немесе kg·m/s2) өлшенеді. Сондықтан, серіпкіштік коэффициенті k және "κ" тензорының әрбір элементі метрге ньютонмен (N/m) немесе секундтың квадратына килограмммен (kg/s2) өлшенеді. Ұздіксіз орта үшін "σ" кернеу тензорының әрбір элементі – күштің ауданға бөлінуі; демек, ол қысым бірліктерінде, атап айтқанда паскальдармен (Pa, немесе N/m2, немесе kg/(m·s2)) өлшенеді. "ε" деформация тензорының элементтері өлшемсіз (орын ауыстырулардың қашықтыққа бөлінуі). Сондықтан, cijkl элементтері де қысым бірліктерімен беріледі.

Эластикалық материалдарға жалпы қолдану

Күш әсерінен деформацияланғаннан кейін бастапқы пішінін жылдам қалпына келтіретін және олардың материалының молекулалары немесе атомдары тұрақты тепе-теңдіктің бастапқы күйіне оралатын заттар көбінесе Гук заңына бағынады. Гук заңы белгілі бір жүктеме жағдайындағы кейбір материалдар үшін ғана қолданылады. Болат көптеген инженерлік қолданбаларда сызықтық серпімді мінез-құлық көрсетеді; Гук заңы оның серпімділік шегінде жарамды (яғни, беріктік шегінен төменгі кернеулер үшін). Алюминий сияқты басқа кейбір материалдар үшін Гук заңы тек серпімділік шегінің бір бөлігіне ғана қолданылады. Бұл материалдар үшін пропорционалды шекті кернеу анықталады, одан төмен сызықтық жуықтаумен байланысты қателер ескерілмейді. Резеңке әдетте «Гук емес» материал ретінде қарастырылады, өйткені оның серпімділігі кернеуге тәуелді және температура мен жүктеме жылдамдығына сезімтал. Үлкен деформациялар үшін Гук заңының жалпылама түрі нео-Гук қатты денелері мен Муни-Ривлин қатты денелерінің модельдерімен беріледі.

Көктемдік энергия

Жазыбаның потенциалдық энергиясы Uel(x) серіппеге біртіндеп қысым түсіруге жұмсалатын энергияны қосу арқылы алынады. Яғни, күштің орын ауыстыру бойынша интегралы. Сыртқы күш орын ауыстырумен бірдей бағытта болғандықтан, серіппенің потенциалдық энергиясы әрқашан теріс емес болады. Оларды қойғанда, бұл Uel потенциалы Ux жазықтығында парабола түрінде көрінеді, яғни серіппе оң x бағытында созылғанда, потенциалдық энергия параболалық түрде артады (серіппе қысылғанда да осыған ұқсас жағдай болады). Потенциалдық энергияның өзгеруі тұрақты жылдамдықпен өзгеретіндіктен: U өзгеруінің өзгеруі орын ауыстыру және үдеу нөлге тең болғанда да тұрақты екенін ескеріңіз.

Қуат тұрақтылары (жалпыланған сәйкестік тұрақтылары)

Жеңіл күш константалары (жалпыланған сәйкестік константаларының кері шамасы) молекулалық жүйелер үшін бірегей түрде анықталады, бұл әдеттегі "қатаң" күш константаларынан өзгешелік, сондықтан оларды қолдану химиялық реакцияның реагенттері, аралық және өнімдері үшін есептелген күш өрістері арасында мағыналы корреляциялар жасауға мүмкіндік береді. Потенциалдық энергияны ішкі координаттар бойынша квадраттық формада жазуға болатындай, оны жалпыланған күштер арқылы да жазуға болады. Осыдан туындаған коэффициенттер сәйкестік константалары деп аталады. Молекуланың кез келген ішкі координаты үшін сәйкестік константасын нормальді режимдерді талдау қажеттілігінсіз тікелей есептеуге болатын әдіс бар. Жеңіл күш константаларының (кері сәйкестік константаларының) ковалентті байланыс күшін сипаттауға жарамдылығы 1980 жылдан бері көрсетіліп келеді. Соңғы кезде ковалентті емес байланыс күшін сипаттауға да жарамды екені дәлелденді.

Гармоникалық осциллятор

Жазықтың ұшына бекітілген m массасы – гармоникалық осциллятордың классикалық мысалы. Массаны сәл тартып, кейін босатқанда, жүйе тепе-теңдік күйінің шамасынан синусоидты тербеліс жасайды. Егер жазық Хук заңына бағынса және ықшамдау мен жазықтың массасын ескермесек, тербелістің амплитудасы тұрақты болады; ал оның жиілігі f амплитудасына тәуелсіз болып, тек массасымен және жазықтың қатаңдығымен анықталады.

Осы құбылыс кемелерде де, адамдардың қалталарында тасымалдауға болатын дәл механикалық сағаттар мен сағаттарды жасауға мүмкіндік берді.

Ұзындығы

Жазық деформация жағдайында, ε31 = ε13 = ε32 = ε23 = ε33 = 0. Осы жағдайда Гук заңы мына түрде жазылады.

Универсалды эластикалық анизотропия индексі

Кез келген кластың анизотропия дәрежесін түсіну үшін әмбебап серпімді анизотропия индексі (АУ) құрастырылды. Ол кубикалық кристалдарға қолайлы Зенер қатынасын ығыстырады.