Введение

Физический закон: сила, необходимая для деформации пружины, линейно масштабируется с расстоянием.

В физике закон Гука — это эмпирический закон, который утверждает, что сила (F), необходимая для растяжения или сжатия пружины на некоторое расстояние (x), линейно изменяется пропорционально этому расстоянию, то есть F = kx, где k — постоянный коэффициент, характеризующий пружину (то есть её жесткость), а x мало по сравнению с общей возможной деформацией пружины. Закон назван в честь британского физика XVII века Роберта Гука. Он впервые сформулировал закон в 1676 году в виде латинской анаграммы, а решение анаграммы опубликовал в 1678 году в виде формулы: ut tensio, sic vis («как натяжение, так и сила» или «натяжение пропорционально силе»). В своей работе 1678 года Гук утверждает, что был знаком с законом ещё с 1660 года. Уравнение Гука в некоторой степени применимо ко многим другим ситуациям, когда деформируется упругое тело, например, при воздействии ветра на высокое здание или при защипывании струны гитары музыкантом. Упругое тело или материал, для которого можно предположить справедливость этого уравнения, называют линейно упругим или гукеанским. Закон Гука является лишь линейным приближением первого порядка реальной реакции пружин и других упругих тел на приложенные силы. В конечном итоге он перестаёт выполняться, когда силы превышают определённый предел, поскольку ни один материал нельзя сжать меньше определённого минимального размера или растянуть больше максимального размера без необратимой деформации или изменения состояния. Многие материалы заметно отклоняются от закона Гука задолго до достижения этих пределов упругости. С другой стороны, закон Гука является точным приближением для большинства твёрдых тел, при условии, что силы и деформации достаточно малы. По этой причине закон Гука широко используется во всех областях науки и техники и является основой многих дисциплин, таких как сейсмология, молекулярная механика и акустика. Он также является фундаментальным принципом, лежащим в основе пружинных весов, манометра, гальванометра и балансового колеса механических часов. Современная теория упругости обобщает закон Гука, утверждая, что деформация (изменение формы) упругого объекта или материала пропорциональна приложенному к нему напряжению. Однако, поскольку общие напряжения и деформации могут иметь несколько независимых компонент, «коэффициент пропорциональности» может быть не просто одним действительным числом, а скорее линейным преобразованием (тензором), которое можно представить в виде матрицы действительных чисел. В этой общей форме закон Гука позволяет вывести соотношение между деформацией и напряжением для сложных объектов на основе внутренних свойств материалов, из которых они изготовлены. Например, можно сделать вывод, что однородный стержень с постоянным поперечным сечением при растяжении будет вести себя как простая пружина с жесткостью k, прямо пропорциональной площади его поперечного сечения и обратно пропорциональной его длине.

Линейные пружины

Рассмотрим простую спиральную пружину, один конец которой прикреплен к некоторому фиксированному объекту, а свободный конец тянет сила величиной Fs. Предположим, что пружина достигла состояния равновесия, когда ее длина перестала изменяться. Пусть x – величина, на которую свободный конец пружины сместился из своего "естественного" положения (когда она не растянута). Закон Гука утверждает, что или, эквивалентно, где k – положительное действительное число, характеризующее пружину. Пружина с зазорами между витками может быть сжата, и та же формула применима и для сжатия, при этом Fs и x будут оба отрицательными. Согласно этой формуле, график приложенной силы Fs как функции смещения x будет прямой линией, проходящей через начало координат, с угловым коэффициентом k.

Закон Гука для пружины также может быть сформулирован так, что Fs – это сила упругости, действующая со стороны пружины на тело, тянущее ее свободный конец. В этом случае уравнение принимает вид , поскольку направление силы упругости противоположно направлению смещения.

Общие "скалярные" пружины

Закон Гука обычно применим к любому упругому объекту произвольной сложности, пока деформация и напряжение могут быть выражены одним числом, которое может быть как положительным, так и отрицательным. Например, когда блок резины, прикрепленный к двум параллельным пластинам, деформируется сдвигом, а не растяжением или сжатием, сила сдвига Fs и боковое смещение пластин x подчиняются закону Гука (при достаточно малых деформациях). Закон Гука также применим, когда прямая стальная штанга или бетонная балка (например, используемая в строительстве), опертая на обоих концах, изгибается под весом F, расположенным в промежуточной точке. В этом случае смещение x – это отклонение балки, измеренное в поперечном направлении относительно ее ненагруженной формы.

Формулировка вектора

В случае спиральной пружины, растягиваемой или сжимаемой вдоль своей оси, приложенная (или восстанавливающая) сила и результирующее удлинение или сжатие направлены в одну сторону (то есть в направлении этой оси). Следовательно, если Fs и x определены как векторы, закон Гука остаётся в силе и утверждает, что вектор силы равен вектору удлинения, умноженному на фиксированную скалярную величину.

Общая форма тензора

Некоторые упругие тела деформируются в одном направлении при воздействии силы, направленной иначе. Примером может служить горизонтальная деревянная балка с неквадратным прямоугольным сечением, изгибающаяся под поперечной нагрузкой, не являющейся ни вертикальной, ни горизонтальной. В таких случаях величина смещения x будет пропорциональна величине силы Fs, пока направление последней остаётся неизменным (и её значение не слишком велико); следовательно, будет выполняться скалярная форма закона Гука 1=Fs = −kx. Однако векторы силы и смещения не будут скалярными кратами друг друга, поскольку они имеют разные направления. Более того, отношение k между их величинами будет зависеть от направления вектора Fs. Тем не менее, в таких случаях часто существует фиксированная линейная связь между векторами силы и деформации, при условии, что они достаточно малы. А именно, существует функция κ, отображающая векторы в векторы, такая, что 1='F' = 'κ'('X'), и 1='κ'(α'X'1 + β'X'2) = α'κ'('X'1) + β'κ'('X'2) для любых действительных чисел α, β и любых векторов смещения 'X'1, 'X'2. Такая функция называется тензором (второго порядка). В произвольной декартовой системе координат векторы силы и смещения можно представить в виде матриц 3 × 1, состоящих из действительных чисел. Тогда тензор "κ", связывающий их, можно представить матрицей 3 × 3 κ с действительными коэффициентами, которая при умножении на вектор смещения даёт вектор силы: то есть для 1 = i = 1, 2, 3. Следовательно, закон Гука 1='F' = 'κX' можно считать справедливым и в случае, когда 'X' и 'F' – векторы с переменным направлением, за исключением того, что жёсткость объекта является тензором κ, а не единственным действительным числом k.

Аналогичные законы

Поскольку закон Гука представляет собой простую пропорциональность между двумя величинами, его формулы и следствия математически аналогичны формулам и следствиям многих других физических законов, таких как законы, описывающие движение жидкостей или поляризацию диэлектрика электрическим полем. В частности, тензорное уравнение 1 = 'σ' = 'cε', связывающее упругие напряжения с деформациями, полностью аналогично уравнению 1 = 'τ' = 'με̇', связывающему тензор вязких напряжений 'τ' и тензор скорости деформации 'ε̇' в потоках вязких жидкостей; хотя первое относится к статическим напряжениям (определяемым величиной деформации), а второе – к динамическим напряжениям (определяемым скоростью деформации).

Единицы измерения

В единицах СИ смещения измеряются в метрах (м), а силы — в ньютонах (Н или кг·м/с²). Следовательно, коэффициент упругости k и каждый элемент тензора «κ» измеряются в ньютонах на метр (Н/м) или килограммах на секунду в квадрате (кг/с²). Для сплошных сред каждый элемент тензора напряжений «σ» представляет собой силу, делённую на площадь; поэтому он измеряется в единицах давления, то есть в паскалях (Па, или Н/м², или кг/(м·с²)). Элементы тензора деформаций «ε» безразмерны (смещения, делённые на расстояния). Таким образом, величины cijkl также выражаются в единицах давления.

Общее применение к эластичным материалам

Объекты, которые быстро восстанавливают свою первоначальную форму после деформации под действием силы, при этом молекулы или атомы их материала возвращаются в начальное состояние стабильного равновесия, часто подчиняются закону Гука. Закон Гука справедлив только для некоторых материалов при определенных условиях нагружения. Сталь демонстрирует линейно-упругое поведение в большинстве инженерных приложений; закон Гука применим к ней во всем диапазоне упругости (то есть при напряжениях ниже предела текучести). Для некоторых других материалов, таких как алюминий, закон Гука справедлив лишь для части эластичного диапазона. Для этих материалов определяется предел пропорциональности, ниже которого погрешности, связанные с линейной аппроксимацией, пренебрежимо малы. Резина обычно считается "негуковским" материалом, поскольку её упругость зависит от напряжения и чувствительна к температуре и скорости нагружения. Обобщения закона Гука для случая больших деформаций предоставляются моделями неогуковских тел и тел Муни-Ривлина.

Энергия пружины

Потенциальная энергия Uel(x), запасенная в пружине, определяется как сумма энергии, необходимой для последовательного сжатия пружины. Иными словами, это интеграл силы по перемещению. Поскольку внешняя сила направлена в том же направлении, что и перемещение, потенциальная энергия пружины всегда неотрицательна. Подставляя, получаем.

Эту потенциальную энергию Uel можно представить в виде параболы на плоскости Ux, так что при растяжении пружины в положительном направлении x потенциальная энергия возрастает параболически (то же самое происходит при сжатии пружины). Поскольку изменение потенциальной энергии изменяется с постоянной скоростью:

Обратите внимание, что изменение изменения U постоянно, даже когда перемещение и ускорение равны нулю.

Константы расслабленной силы (обобщенные константы соответствия)

Расслабленные силовые константы (обратные константам обобщенной податливости) однозначно определены для молекулярных систем, в отличие от обычных "жестких" силовых констант, и поэтому их использование позволяет устанавливать содержательные взаимосвязи между силовыми полями, рассчитанными для реагентов, переходных состояний и продуктов химической реакции. Подобно тому, как потенциальная энергия может быть выражена в виде квадратичной формы по внутренним координатам, так она может быть выражена и через обобщенные силы. Получающиеся коэффициенты называются константами податливости. Существует прямой метод расчета константы податливости для любой внутренней координаты молекулы без необходимости проведения нормального анализа колебаний. Пригодность расслабленных силовых констант (обратных констант податливости) в качестве характеристик прочности ковалентных связей была продемонстрирована еще в 1980 году. В последнее время была показана их пригодность и в качестве характеристик прочности нековалентных связей.

Гармонический осциллятор

Масса m, прикрепленная к концу пружины, является классическим примером гармонического осциллятора. Если слегка потянуть массу и затем отпустить, система начнет совершать синусоидальные колебания около положения равновесия. При условии, что пружина подчиняется закону Гука, и трением и массой пружины можно пренебречь, амплитуда колебаний останется постоянной, а частота f будет независима от амплитуды и определяться только массой и жесткостью пружины.

Это явление позволило создать точные механические часы и часы, которые можно было носить с собой на кораблях и в карманах.

Плоскость напряжения

При условиях плоского деформирования 1=ε31 = ε13 = ε32 = ε23 = ε33 = 0. В этом случае закон Гука принимает форму

Индекс универсальной эластичной анизотропии

Для определения степени анизотропии любого класса материалов был разработан универсальный индекс эластичной анизотропии (AU). Он заменяет отношение Зенера, которое применимо к кубическим кристаллам.