Кіріспе
Лоренц түрлендірулерінің лай тобы Физика мен математикада Лоренц тобы — Минковский кеңістік-уақытының барлық Лоренц түрлендірулерінің жиыны, барлық (гравитациялық емес) физикалық құбылыстардың классикалық және кванттық аясы. Лоренц тобы голланд физигі Хендрик Лоренцтің есімімен аталады. Мысалы, келесі заңдар, теңдеулер және теориялар Лоренц симметриясын сақтайды:
Арнайы салыстырмалылықтың кинематикалық заңдары
Электромагнетизм теориясындағы Максвеллдің өріс теңдеулері
Электрон теориясындағы Дирак теңдеуі
Бөлшек физикасының Стандарттық моделі
In physics and mathematics, the Lorentz group is the group of all Lorentz transformations of Minkowski spacetime, the classical and quantum setting for all (non gravitational) physical phenomena. The Lorentz group is named for the Dutch physicist Hendrik Lorentz. For example, the following laws, equations, and theories respect Lorentz symmetry:
The kinematical laws of special relativity
Maxwell's field equations in the theory of electromagnetism
The Dirac equation in the theory of the electron
The Standard Model of particle physics
The Lorentz group expresses the fundamental symmetry of space and time of all known fundamental laws of nature. In small enough regions of spacetime where gravitational variances are negligible, physical laws are Lorentz invariant in the same manner as special relativity.
Лоренц тобы — табиғаттың барлық белгілі негізгі заңдарының кеңістік және уақыт симметриясын көрсетеді. Гравитациялық өзгерістердің ықпалы шамалы болатын кеңістік-уақыттың кішкентай аймақтарында физикалық заңдар арнайы салыстырмалылық сияқты Лоренц инвариантты болып табылады.
In physics and mathematics, the Lorentz group is the group of all Lorentz transformations of Minkowski spacetime, the classical and quantum setting for all (non gravitational) physical phenomena. The Lorentz group is named for the Dutch physicist Hendrik Lorentz. For example, the following laws, equations, and theories respect Lorentz symmetry:
The kinematical laws of special relativity
Maxwell's field equations in the theory of electromagnetism
The Dirac equation in the theory of the electron
The Standard Model of particle physics
The Lorentz group expresses the fundamental symmetry of space and time of all known fundamental laws of nature. In small enough regions of spacetime where gravitational variances are negligible, physical laws are Lorentz invariant in the same manner as special relativity.
Негізгі қасиеттері
Лоренц тобы — Пуанкаре тобының кіші тобы, — Минковский кеңістік-уақытының барлық изометрияларының тобы. Лоренц түрлендірулері — нақтырақ айтқанда, бастапқы нүктені өзгеріссіз қалдыратын изометриялар. Осылайша, Лоренц тобы — Минковский кеңістік-уақыты изометрия тобының бастапқы нүктесіне қатысты изотропиялық кіші тобы болып табылады. Сондықтан Лоренц тобын кейде гомогенді Лоренц тобы деп, ал Пуанкаре тобын кейде гомогенді емес Лоренц тобы деп атайды. Лоренц түрлендірулері — сызықтық түрлендірулердің мысалы, ал Минковский кеңістік-уақытының жалпы изометриялары — аффиндік түрлендірулер.
Математикалық қасиеттері
Лоренц тобы — алты өлшемді, тығыз емес, абельдік емес, нақты сандық, байланыссыз Ли тобы. Оның төрт байланысқан компоненті жай ғана байланысқан емес. Лоренц тобының бірлік компоненті (яғни, бірлік элементін қамтитын компонент) өзі топ болып табылады және көбінесе шектелген Лоренц тобы деп аталады. Шектелген Лоренц тобы кеңістіктің бағдары мен уақыттың бағытын сақтайтын Лоренц түрлендірулерінен тұрады. Оның негізгі тобы 2-ретті, ал оның жалпы жабыны, белгісіз спин тобы Spin(1, 3), арнайы сызықтық топ SL(2, ℂ) және симплектикалық топ Sp(2, ℂ) екеуіне де изоморфты. Бұл изоморфизмдер Лоренц тобына физика үшін маңызды математикалық құрылымдардың, ең әсіресе спинорлардың көп санына әсер етуге мүмкіндік береді. Сондықтан релятивистік кванттық механикада және кванттық өріс теориясында SL(2, ℂ) көбінесе Лоренц тобы деп аталады, оның нақты бейнелеуі (векторлық бейнелеуі) екені түсініледі. Минковский кеңістігіндегі Лоренц тобының әрекетін бейнелеуде жиі қолданылатын құрал — композициялық алгебра құрайтын бикватерниондар. Лоренц түрлендірулерінің изометриялық қасиеті композиция қасиетіне сәйкес келеді. Лоренц тобының тағы бір қасиеті — конформдық қасиет, яғни бұрыштарды сақтау. Лоренц күшейткіштері кеңістік-уақыт жазықтығының гиперболалық айналуы арқылы әрекет етеді, мұндай "айналулар" гиперболалық бұрышты сақтайды, бұл салыстырмалылықта жылдамдық өлшемі болып табылады. Сондықтан Лоренц тобы кеңістік-уақыттың конформдық тобының кіші тобы болып табылады. Бұл мақалада O(1, 3) «Лоренц тобы», SO(1, 3) «нақты Лоренц тобы», ал «шектелген Лоренц тобы» деп аталады. Көптеген авторлар (әсіресе физикада) O(1, 3) орнына SO(1, 3) (немесе кейде тіпті ) үшін «Лоренц тобы» атауын қолданады. Мұндай авторларды оқығанда, олардың қайсысына сілтеме жасап жатқанын нақты білу маңызды.
Another property of the Lorentz group is conformality or preservation of angles. Lorentz boosts act by hyperbolic rotation of a spacetime plane, and such "rotations" preserve hyperbolic angle, the measure of rapidity used in relativity. Therefore the Lorentz group is a subgroup of the conformal group of spacetime. Note that this article refers to O(1, 3) as the "Lorentz group", SO(1, 3) as the "proper Lorentz group", and as the "restricted Lorentz group". Many authors (especially in physics) use the name "Lorentz group" for SO(1, 3) (or sometimes even ) rather than O(1, 3). When reading such authors it is important to keep clear exactly which they are referring to.
Шектелген Лоренц тобы
Шектелген Лоренц тобы – Лоренц тобының сәйкестік компоненті болып табылады, яғни ол топ ішіндегі үздіксіз қисық арқылы бірлікке қосыла алатын барлық Лоренц түрлендірулерінен тұрады. Шектелген Лоренц тобы – толық Лоренц тобының сол өлшемді, яғни алты өлшемді, байланысқан қалыпты кіші тобы. Шектелген Лоренц тобы қарапайым кеңістіктік айналымдар мен Лоренц күшейткіштерінен (уақыт тәрізді бағытты қамтитын гиперболалық кеңістіктегі айналымдар) туындайды. Кез келген орфохронды Лоренц түрлендіруін айналудың (3 нақты параметрмен сипатталатын) және күшейтудің (сонымен қатар 3 нақты параметрмен сипатталатын) көбейтіндісі ретінде жазуға болады, сондықтан кездейсоқ орфохронды Лоренц түрлендіруін анықтау үшін 6 нақты параметр қажет. Осылайша, шектелген Лоренц тобының алты өлшемді болуын түсінуге болады. (Лоренц тобының Ли алгебрасын да қараңыз.) Барлық айналулар жиыны – әдеттегі айналу тобы SO(3)-ке изоморфты Ли кіші тобын құрайды. Дегенмен, барлық күшейткіштер жиыны кіші топты құрамайды, себебі екі күшейткіштің қосылуы, әдетте, тағы бір күшейткішті бермейді. (Бірақ, бір-біріне параллель емес екі күшейткіш күшейткіш пен айналуға тең келеді, және бұл Томас айналымымен байланысты.) Бір бағыттағы күшейткіш немесе бір ось маңындағы айналу бір параметрлік кіші топты тудырады.
Симметриялық кеңістік ретінде
Жоғарыда айтылған транзитивтілік беттерін формулироватьтың баламалы жолы – Ли теориясының мағынасында симметриялық кеңістік ретінде қарастыру. Мысалы, гиперболоидтың жоғарғы жағы орбиталық тұрақтандырушы теоремасы арқылы үлестік кеңістік ретінде жазылуы мүмкін. Бұдан әрі, бұл жоғарғы жақ үш өлшемді гиперболалық кеңістік үшін модель болып табылады.
Лоренц тобының бейнелері
Бұл байқаулар Лоренц тобының, тіпті Пуанкаре тобының барлық шексіз өлшемді унитарлық бейнелеулерін табу үшін индуцирленген бейнелеу әдісін қолдану арқылы жақсы бастау нүктесін құрайды. Бірінші кезекте, транзитивтіліктің әрбір беті үшін бір "стандартты вектор" таңдалады, содан кейін осы векторларды сақтайтын субтоптар анықталады. Физиктер бұл субтоптарды "кіші топтар" деп атайды. Осылайша, мәселе кіші топтардың бейнелеулерін табу мәселесіне дейін қарапайымдастырылады. Мысалы, екі жапырақты гиперболаның біріндегі стандартты векторды (m, 0, 0, 0) деп таңдауға болады. Әрбір m ≠ 0 үшін вектор дәл бір жапырақтан өтеді. Бұл жағдайда кіші топ – SO(3), айналу тобы, және оның барлық бейнелеулері белгілі. Бөлшектің түрленуі кезінде қолданылатын нақты шексіз өлшемді унитарлық бейнелеу оның жіктелуінің бір бөлігі болып табылады. Барлық бейнелеулер физикалық бөлшектерге сәйкес келмейді (қазіргі таңдағы білім бойынша). Бір жапырақты гиперболадағы стандартты векторлар тахиондарға сәйкес келеді. Жарық конусындағы бөлшектер фотондар, ал гипотетикалық тұрғыдан – гравитондар. Ал шығанаққа сәйкес келетін "бөлшек" – вакуум.
Гомоморфизмдер мен изоморфизмдер
Басқа бірнеше топтар SO^(+)(1, 3) шектелген Лоренц тобына гомоморфты немесе изоморфты болып табылады. Бұл гомоморфизмдер физикадағы әртүрлі құбылыстарды түсіндіруде маңызды рөл атқарады. SL(2, 'C') арнайы сызықтық тобы – шектелген Лоренц тобының екі есе жабыны. Бұл қатынас Дирак теңдеуінің Лоренц инварианттылығын және спинорлардың коварианттылығын көрсету үшін кеңінен қолданылады. Басқаша айтқанда, (шектелген) Лоренц тобы Sp(2, 'C') симплектік тобына изоморфты; ол Вейль спинерлерін құру үшін, сондай-ақ спинорлардың массасының болуын түсіндіру үшін қолданылады. Spin(1, 3) спин тобы SL(2, 'C')-ге изоморфты; ол спин мен спинорларды Клиффорд алгебрасы тұрғысынан түсіндіру үшін қолданылады, осылайша Лоренц тобын Риман геометриясындағы жалпы жағдайларға, соның ішінде супергравитация және жол теориясына қалай жалпылауға болатынын анықтайды. Шектелген Лоренц тобы PSL(2, 'C') проективті арнайы сызықтық тобына изоморфты, ал ол өз кезегінде Мобиус тобына, Риман сферасындағы конформальды геометрияның симметрия тобына изоморфты. Бұл қатынас Лоренц тобының кіші топтарын классификациялаудың орталық бөлігі болып табылады, бұл Мобиус тобы үшін әзірленген бұрынғы классификация схемасына сәйкес келеді.
The symplectic group Sp(2, 'C') is isomorphic to SL(2, 'C'); it is used to construct Weyl spinors, as well as to explain how spinors can have a mass. The spin group Spin(1, 3) is isomorphic to SL(2, 'C'); it is used to explain spin and spinors in terms of the Clifford algebra, thus making it clear how to generalize the Lorentz group to general settings in Riemannian geometry, including theories of supergravity and string theory. The restricted Lorentz group is isomorphic to the projective special linear group PSL(2, 'C') which is, in turn, isomorphic to the Möbius group, the symmetry group of conformal geometry on the Riemann sphere. This relationship is central to the classification of the subgroups of the Lorentz group according to an earlier classification scheme developed for the Möbius group.
Проективті геометрия және екі сфераның әртүрлі көріністері
Бұл сурет проективті геометрия тілінде анық көрінеді. (Шектелген) Лоренц тобы проективті аспан сферасына әсер етеді. Бұл – проективті кеңістік үшін берілген бөлістің астындағы нөлдік емес нөлдік векторлардың кеңістігі: егер for. Бұл аспан сферасы деп аталады, себебі бұл Лоренц түрлендіруін қолданғаннан кейін уақыт координатын 1-ге дейін қайта өлшеуге мүмкіндік береді, соның арқасында кеңістіктік бөлік бірлік сферада орналасады. Мёбиус тұрғысынан, SL(2, ℂ) кешенді проективті кеңістікке әсер етеді, оның 2 сфераға диффеоморфты екенін көрсетуге болады – бұл кейде Риман сферасы деп аталады. Проективті кеңістіктегі бөліс SL(2, ℂ) тобындағы бөліске әкеледі. Соңында, бұл екеуін кешенді проективті векторды пайдаланып нөлдік вектор құру арқылы байланыстыруға болады. Егер – проективті вектор болса, оны өзінің Эрмиттік конъюгатымен тензорлап Эрмиттік матрица алуға болады. Осы мақаланың басқа бөлімінен біз бұл матрицалар кеңістігін 4-вектор ретінде қарастыруға болатынын білеміз. Риман сферасындағы әрбір проективті векторды матрицаға айналдырудан пайда болатын матрицалар кеңістігі Блох сферасы деп аталады.