Введение

Группа Лоренца преобразований Лоренца

В физике и математике группа Лоренца — это группа всех преобразований Лоренца пространства Минковского, являющегося классической и квантовой основой для всех (не гравитационных) физических явлений. Группа Лоренца названа в честь голландского физика Хендрика Лоренца. Например, следующие законы, уравнения и теории обладают инвариантностью относительно преобразований Лоренца:
Кинематические законы специальной теории относительности
Уравнения Максвелла в теории электромагнетизма
Уравнение Дирака в теории электрона
Стандартная модель физики элементарных частиц

Группа Лоренца выражает фундаментальную симметрию пространства и времени всех известных фундаментальных законов природы. В достаточно малых областях пространства-времени, где гравитационные вариации пренебрежимо малы, физические законы инвариантны относительно преобразований Лоренца, подобно специальной теории относительности.

Основные свойства

Группа Лоренца является подгруппой группы Пуанкаре — группы всех изометрий пространства-времени Минковского. Преобразования Лоренца — это, в точности, изометрии, сохраняющие начало координат. Таким образом, группа Лоренца является группой изотропии относительно начала координат в группе изометрий пространства-времени Минковского. По этой причине группу Лоренца иногда называют однородной группой Лоренца, а группу Пуанкаре — неоднородной группой Лоренца. Преобразования Лоренца являются примерами линейных преобразований, а общие изометрии пространства-времени Минковского — аффинными преобразованиями.

Математические свойства

Группа Лоренца — шестимерная некомпактная неабелева группа Ли, которая не связна. Четыре связных компоненты не просто связны. Идентичная компонента (то есть компонента, содержащая единичный элемент) группы Лоренца сама по себе является группой и часто называется ограниченной группой Лоренца и обозначается как . Ограниченная группа Лоренца состоит из тех преобразований Лоренца, которые сохраняют как ориентацию пространства, так и направление времени. Её фундаментальная группа имеет порядок 2, а её универсальная накрывающая группа, неопределённая спиновая группа Spin(1, 3), изоморфна как специальной линейной группе SL(2, ℂ), так и симплектической группе Sp(2, ℂ). Эти изоморфизмы позволяют группе Лоренца действовать на большое количество математических структур, важных для физики, в частности, на спиноры. Таким образом, в релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля часто называют SL(2, ℂ) группой Лоренца, подразумевая, что это конкретное представление (векторное представление) этой группы. В рекуррентном представлении действия группы Лоренца на пространстве Минковского используются бикватернионы, образующие композиционную алгебру. Изометрическое свойство преобразований Лоренца выполняется в соответствии со свойством композиции. Другое свойство группы Лоренца — конформность, или сохранение углов. Преобразования Лоренца (бусты) действуют как гиперболическое вращение пространственно-временной плоскости, и такие «вращения» сохраняют гиперболический угол, меру быстроты, используемую в теории относительности. Следовательно, группа Лоренца является подгруппой конформной группы пространства-времени. Следует отметить, что в данной статье O(1, 3) называется «группой Лоренца», SO(1, 3) — «собственной группой Лоренца», а — «ограниченной группой Лоренца». Многие авторы (особенно в физике) используют название «группа Лоренца» для SO(1, 3) (или иногда даже ) вместо O(1, 3). При чтении таких авторов важно чётко понимать, о какой именно группе они говорят.

Ограниченная группа Лоренца

Ограниченная группа Лоренца является компонентой единицы группы Лоренца, что означает, что она состоит из всех преобразований Лоренца, которые могут быть соединены с единицей непрерывной кривой, лежащей в группе. Ограниченная группа Лоренца является связной нормальной подгруппой полной группы Лоренца с той же размерностью, в данном случае с размерностью шесть. Ограниченная группа Лоренца порождается обычными пространственными вращениями и преобразованиями Лоренца (которые являются вращениями в гиперболическом пространстве, включающем направление, подобное времени). Поскольку любое собственное, ортохронное преобразование Лоренца может быть записано как произведение вращения (определяемого 3 вещественными параметрами) и преобразования Лоренца (также определяемого 3 вещественными параметрами), для задания произвольного собственного ортохронного преобразования Лоренца требуется 6 вещественных параметров. Это один из способов понять, почему ограниченная группа Лоренца является шестимерной. (См. также алгебру Ли группы Лоренца.) Множество всех вращений образует подгруппу Ли, изоморфную обычной группе вращений SO(3). Однако множество всех преобразований Лоренца не образует подгруппу, поскольку композиция двух преобразований Лоренца, как правило, не приводит к другому преобразованию Лоренца. (Скорее, пара неколлинеарных преобразований Лоренца эквивалентна преобразованию Лоренца и вращению, что связано с вращением Томаса.) Преобразование Лоренца в некотором направлении или вращение вокруг некоторой оси порождает однопараметрическую подгруппу.

Как симметричные пространства

Эквивалентный способ сформулировать вышеописанные поверхности транзитивности — рассматривать их как симметрическое пространство в смысле теории Ли. Например, верхний лист гиперболоида можно представить в виде фактор-пространства , согласно теореме об орбите и стабилизаторе. Более того, этот верхний лист также служит моделью трехмерного гиперболического пространства.

Представления группы Лоренца

Эти наблюдения являются хорошей отправной точкой для нахождения всех бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца, и, фактически, группы Пуанкаре, с использованием метода индуцированных представлений. Начинают с "стандартного вектора", по одному для каждой поверхности транзитивности, и затем выясняют, какая подгруппа сохраняет эти векторы. Эти подгруппы физики называют малыми группами. Проблема сводится, таким образом, к более простой задаче – нахождению представлений малых групп. Например, стандартный вектор на одной из двулистных гипербол можно выбрать как (m, 0, 0, 0). Для каждого m ≠ 0 вектор пронзает ровно один лист. В этом случае малой группой является SO(3), группа вращений, все представления которой известны. Точное бесконечномерное унитарное представление, под которым преобразуется частица, является частью её классификации. Не все представления могут соответствовать физическим частицам (насколько известно). Стандартные векторы на однолистных гиперболах соответствуют тахионам. Частицы, находящиеся на световом конусе, – это фотоны, а более гипотетически – гравитоны. "Частица", соответствующая началу координат, – это вакуум.

Гомоморфизмы и изоморфизмы

Несколько других групп являются либо гомоморфными, либо изоморфными к ограниченной группе Лоренца SO^(+)(1, 3). Эти гомоморфизмы играют ключевую роль в объяснении различных явлений в физике. Специальная линейная группа SL(2, ℂ) является двойным покрытием ограниченной группы Лоренца. Эта связь широко используется для выражения лоренц-инвариантности уравнения Дирака и ковариантности спиноров. Другими словами, (ограниченная) группа Лоренца изоморфна симплектической группе Sp(2, ℂ), которая, в свою очередь, изоморфна SL(2, ℂ); она используется для построения спиноров Вейля, а также для объяснения того, как спиноры могут обладать массой. Спиновая группа Spin(1, 3) изоморфна SL(2, ℂ); она используется для объяснения спина и спиноров с точки зрения алгебры Клиффорда, что позволяет понять, как обобщить группу Лоренца в общих условиях римановой геометрии, включая теории супергравитации и теории струн. Ограниченная группа Лоренца изоморфна проективной специальной линейной группе PSL(2, ℂ), которая, в свою очередь, изоморфна группе Мёбиуса – группе симметрии конформной геометрии на сфере Римана. Эта связь является центральной для классификации подгрупп группы Лоренца в соответствии с более ранней схемой классификации, разработанной для группы Мёбиуса.

Проективная геометрия и различные представления о двухсфере

Эта картина чётко проявляется в языке проективной геометрии. (Ограниченная) группа Лоренца действует на проективную небесную сферу. Это пространство ненулевых нулевых векторов с заданным отношением для проективных пространств: если для . Это называется небесной сферой, поскольку позволяет масштабировать временную координату до 1 после применения преобразования Лоренца, обеспечивая, чтобы пространственно-подобная часть лежала на единичной сфере. С точки зрения преобразований Мёбиуса, SL(2, ℂ) действует на комплексное проективное пространство , которое можно показать диффеоморфным к 2-сфере – иногда называемой сферой Римана. Отношение на проективном пространстве приводит к отношению на группе SL(2, ℂ). Наконец, эти два можно связать, используя комплексный проективный вектор для построения нулевого вектора. Если является проективным вектором, его можно тензорно перемножить с его эрмитовым сопряжением, чтобы получить эрмитову матрицу. Из других частей этой статьи мы знаем, что это пространство матриц можно рассматривать как 4-векторы. Пространство матриц, получаемое из каждого проективного вектора на сфере Римана путём преобразования в матрицу, известно как сфера Блоха.