Введение

Категория в математике, объекты которой — множества. В математической области теории категорий категория множеств, обозначаемая как Set, — это категория, объекты которой являются множествами. Стрелки или морфизмы между множествами A и B — это функции из A в B, а композиция морфизмов — это композиция функций. Многие другие категории (например, категория групп, где стрелками служат групповые гомоморфизмы) добавляют структуру к объектам категории множеств и/или ограничивают стрелки функциями определенного вида.

Свойства категории наборов

Аксиомы категории удовлетворяются множеством, поскольку композиция функций ассоциативна, и поскольку для каждого множества X существует функция идентичности idX : X → X, служащая нейтральным элементом для композиции функций. Эпиморфизмы в множестве – это сюръективные отображения, мономорфизмы – инъективные отображения, а изоморфизмы – биективные отображения. Пустое множество служит начальным объектом в множестве, а пустые функции – морфизмами. Каждый синглетон является терминальным объектом, при этом функции, отображающие все элементы исходных множеств в единственный целевой элемент, служат морфизмами. Таким образом, в множестве нет нулевых объектов. Категория множеств полна и кополна. Произведение в этой категории задается декартовым произведением множеств. Сопроизведение задается дизъюнктным объединением: для данных множеств Ai, где i пробегает некоторое индексное множество I, мы строим сопроизведение как объединение Ai×{i} (декартово произведение с i обеспечивает, чтобы все компоненты оставались дизъюнктными). Множество является прототипом конкретной категории; другие категории являются конкретными, если они "построены на" множестве в некотором четко определенном смысле. Каждое множество из двух элементов служит классификатором подобъектов в множестве. Степень множества A задается его множеством степеней, а экспоненциальный объект множеств A и B задается множеством всех функций из A в B. Таким образом, множество является топосом (и в частности, декартово замкнутым и точным в смысле Барра). Множество не является абелевым, аддитивным или преаддитивным. Каждое непустое множество является инъективным объектом в множестве. Каждое множество является проективным объектом в множестве (при условии аксиомы выбора). Конечно представленные объекты в множестве – это конечные множества. Поскольку каждое множество является прямым пределом своих конечных подмножеств, категория множеств является локально конечно представленной категорией. Если C – произвольная категория, то контравариантные функторы из C в множество часто являются важным объектом изучения. Если A – объект C, то функтор из C в множество, который отображает X в HomC(X, A) (множество морфизмов в C из X в A), является примером такого функтора. Если C – малая категория (т.е. множество ее объектов образует множество), то контравариантные функторы из C в множество вместе с естественными преобразованиями в качестве морфизмов образуют новую категорию – категорию функторов, известную как категория предсдвигов на C.

Основы для категории наборов

В теории множеств Зермело-Фрэнкеля объединение всех множеств не является множеством; это следует из аксиомы основания. Объединения, которые не являются множествами, называют собственными классами. Собственные классы нельзя рассматривать так же, как множества; в частности, нельзя утверждать, что эти собственные классы принадлежат некоторому объединению (будь то множество или собственный класс). Это создает проблему, поскольку означает, что категорию множеств нельзя непосредственно формализовать в данной системе. Категории, такие как Set, чье множество объектов образует собственный класс, называются большими категориями, чтобы отличать их от малых категорий, чьи объекты образуют множество. Один из способов решения проблемы — работать в системе, придающей формальный статус собственным классам, например, в теории множеств NBG. В этой системе категории, построенные из множеств, называют малыми, а категории, построенные из собственных классов, — большими. Другое решение — постулировать существование вселенных Гротендика. Грубо говоря, вселенная Гротендика — это множество, которое само является моделью ZF(C) (например, если множество принадлежит вселенной, то его элементы и его булеан (степенное множество) также принадлежат вселенной). Существование вселенных Гротендика (за исключением пустого множества и множества всех наследственно конечных множеств) не вытекает из обычных аксиом ZF; это дополнительная, независимая аксиома, приблизительно эквивалентная существованию сильно недоступных кардиналов. Предполагая эту дополнительную аксиому, можно ограничить объекты Set элементами конкретной вселенной. (В модели нет «множества всех множеств», но можно все же рассуждать о классе U всех внутренних множеств, то есть элементах U.) В одном из вариантов этой схемы класс множеств является объединением всей башни вселенных Гротендика. (Это обязательно собственный класс, но каждая вселенная Гротендика является множеством, поскольку она является элементом некоторой большей вселенной Гротендика.) Однако напрямую с «категорией всех множеств» не работают. Вместо этого теоремы формулируются в терминах категории SetU, объекты которой являются элементами достаточно большой вселенной Гротендика U, а затем доказывается, что они не зависят от конкретного выбора U. В качестве основания для теории категорий этот подход хорошо сочетается с системой, такой как теория множеств Тарски-Гротендика, в которой нельзя напрямую рассуждать о собственных классах; его главный недостаток заключается в том, что теорема может быть верна для всех SetU, но не для Set. Были предложены различные другие решения и вариации вышеуказанных. Те же проблемы возникают и с другими конкретными категориями, такими как категория групп или категория топологических пространств.