Кіріспе
Категорияларды функторлық категорияларға ендіру. Математикада Йонеда леммасы категориялар теориясының негізгі нәтижесі болып табылады. Екі функтордың бірі – бағалау функторы, ол категориясындағы морфизм және табиғи түрлендіру жұбын картаға жібереді:
In mathematics, the Yoneda lemma is a fundamental result in category theory. One of the two functors is the evaluation functor
that sends a pair of a morphism in and a natural transformation to the map
This is enough to determine the other functor since we know what the natural isomorphism is. Under the second functor
the image of a pair is the map
that sends a natural transformation to the natural transformation , whose components are
Бұл екінші функторды анықтау үшін жеткілікті, себебі біз табиғи изоморфизмнің қандай екенін білеміз. Екінші функтор бойынша жұптың бейнесі картаға жіберіледі:
In mathematics, the Yoneda lemma is a fundamental result in category theory. One of the two functors is the evaluation functor
that sends a pair of a morphism in and a natural transformation to the map
This is enough to determine the other functor since we know what the natural isomorphism is. Under the second functor
the image of a pair is the map
that sends a natural transformation to the natural transformation , whose components are
ол табиғи түрлендіруді табиғи түрлендіруге жібереді, оның компоненттері:
In mathematics, the Yoneda lemma is a fundamental result in category theory. One of the two functors is the evaluation functor
that sends a pair of a morphism in and a natural transformation to the map
This is enough to determine the other functor since we know what the natural isomorphism is. Under the second functor
the image of a pair is the map
that sends a natural transformation to the natural transformation , whose components are
Атау беру ережесі
Ковариантты хом функторы мен контравариантты хом функторы үшін белгілеу толыққанды стандартты емес. Көптеген мәтіндер мен мақалалар осы екі функтор үшін кері конвенцияны немесе олармен мүлдем байланысы жоқ символдарды қолданады. Дегенмен, Александр Гротендиктің негізін қалаушы EGA-сынан басталатын көптеген қазіргі алгебралық геометрия мәтіндері осы мақаладағы белгілеуді қолданады. "Бір нәрсеге түсу" деген есте сақтау құралы ковариантты хом функторын есіңізде ұстауға көмектеседі. Әріп төменгі индексте болғанда (яғни, әріптің астына жазылғанда), ол объектіге оған кіретін морфизмдерді сәйкес қояды.
Өкілденетін функтор
Йонеда кіріктіруі негізінде, әрбір (жергілікті шағын) санаттағы нысандарды сол санаттағы прешевтер арқылы толық және адал түрде бейнелеуге болады. Яғни, P прешефі үшін. Көптеген таралған санаттар, шындығында, прешевтер санаттары болып табылады, ал оларды тексергенде, олар орамдар санаттары екені көрінеді. Мұндай мысалдар көбінесе топологиялық сипатқа ие болғандықтан, оларды жалпы топостар деп қарастыруға болады. Йонеда леммасы санаттың топологиялық құрылымын зерттеуге және түсінуге мүмкіндік беретін құралды ұсынады.
for a presheaf P. Many common categories are, in fact, categories of pre sheaves, and on closer inspection, prove to be categories of sheaves, and as such examples are commonly topological in nature, they can be seen to be topoi in general. The Yoneda lemma provides a point of leverage by which the topological structure of a category can be studied and understood.
(Қо) аяқ есептеу бойынша
Екі категория және екі функтор берілгенде, олардың арасындағы табиғи түрлендірулерді келесідей түйіндеу арқылы жазуға болады. Кез келген функторлар және үшін келесі формулалардың бәрі Йонеда леммасының тұжырымдамалары болып табылады.
Қосымшалардан бұрын санаттар, сақиналар және модульдер
Преаддитивті категория – морфизмдер жиындары абельдік топтар құрайтын және морфизмдердің композициясы билинейлі болатын категория; мысалдар – абельдік топтар немесе модульдер категориялары. Преаддитивті категорияда морфизмдерді "көбейту" де, "қосу" да бар, сондықтан преаддитивті категориялар сақиналардың обобщелениесі ретінде қарастырылады. Сақиналар – бір объектісі бар преаддитивті категориялар. Егер біз бастапқы категориядан абельдік топтар категориясына ену үшін аддитивті ковариантты функторлар категориясын таңдасақ, Йонеда леммасы преаддитивті категориялар үшін де сақталады; бұл функторлар морфизмдердің қосылуымен үйлесімді және оларды бастапқы категория үстінде модуль категориясы құрайтын деп қарастыру керек. Йонеда леммасы содан кейін преаддитивті категорияны кеңейтудің табиғи тәсілін ұсынады, сондықтан кеңейтілген нұсқа преаддитивті болып қалады – шын мәнінде, кеңейтілген нұсқа абельдік категория болады, бұл әлдеқайда күшті талап. Сақина жағдайында кеңейтілген категория – барлық оң модульдер категориясы, ал Йонеда леммасының тұжырымы барлық оң модульдер үшін белгілі изоморфизмге дейін тоғысып қалады.
for all right modules over .
Тарих
Йосики Киношита 1996 жылы "Йонеда леммасы" терминінің Саундерс Мак Лейн Йонедамен "Гар-ду-Норд" вокзалында сұхбаттасқаннан кейін туындағанын мәлімдеді.