Сандық интегралдау формулалары: Ньютон-Кот формулалары
Newton–Cotes formulas
Сандық интегралдау формулалары: Ньютон-Кот формулалары, сандық есептеулерде интегралды табудың тиімді әдісі. Бұл формулалар тең аралықтағы нүктелерде қолданылады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Сандық интеграция формулалары
Formulas for numerical integration
Сандық талдауда Ньютон-Котс формулалары, сондай-ақ Ньютон-Котс квадраттық ережелері немесе жай ғана Ньютон-Котс ережелері деп аталады, сандық интеграция (квадрат деп те аталады) формулаларының тобы, олар интегралдың тең аралықтағы нүктелерде есептелген мәніне негізделген. Олар Исаак Ньютон және Роджер Котс есімдерімен аталған. Ньютон-Котс формулалары интегралдың тең аралықтағы нүктелердегі мәні белгілі болған жағдайда пайдалы болуы мүмкін. Егер интегралдың есептелген мәнін анықтау үшін нүктелерді өзгертуге болады, онда Гаусс квадраттурасы және Кленшоу-Куртис квадраттурасы сияқты басқа әдістер ыңғайлырақ болар шамасы.
In numerical analysis, the Newton–Cotes formulas, also called the Newton–Cotes quadrature rules or simply Newton–Cotes rules, are a group of formulas for numerical integration (also called quadrature) based on evaluating the integrand at equally spaced points. They are named after Isaac Newton and Roger Cotes. Newton–Cotes formulas can be useful if the value of the integrand at equally spaced points is given. If it is possible to change the points at which the integrand is evaluated, then other methods such as Gaussian quadrature and Clenshaw–Curtis quadrature are probably more suitable.
Жоғары дәрежедегі тұрақсыздық
Кез келген n дәрежелі Ньютон-Котс формуласын құрастыруға болады. Дегенмен, үлкен n үшін Ньютон-Котс ережесі кейде катастрофиялық Рундж құбылысына ұшырауы мүмкін, онда қате үлкен n үшін экспоненциалды түрде өседі. Гаусс квадратурасы және Кленшоу-Куртис квадратурасы сияқты әдістер (интегралдау аралығының шектеріне жақын орналасқан тең емес аралықтағы нүктелермен) тұрақты және әлдеқайда дәл, сондықтан әдетте Ньютон-Котс ережесінен артықшылық табады. Егер интеграл тек белгілі бір тең аралықтағы торда берілген болса, осы әдістерді қолдану мүмкін болмаған жағдайда, Рундж құбылысын төменде сипатталған композиттік ереже арқылы болдырмауға болады. Балама ретінде, интерполяцияның орнына ең кіші квадраттар әдісін қолдану арқылы тұрақты Ньютон-Котс формулаларын құрастыруға болады. Бұл жоғары дәрежелі сандық тұрақты формулаларды жасауға мүмкіндік береді.
A Newton–Cotes formula of any degree n can be constructed. However, for large n a Newton–Cotes rule can sometimes suffer from catastrophic Runge's phenomenon where the error grows exponentially for large n. Methods such as Gaussian quadrature and Clenshaw–Curtis quadrature with unequally spaced points (clustered at the endpoints of the integration interval) are stable and much more accurate, and are normally preferred to Newton–Cotes. If these methods cannot be used, because the integrand is only given at the fixed equidistributed grid, then Runge's phenomenon can be avoided by using a composite rule, as explained below. Alternatively, stable Newton–Cotes formulas can be constructed using least squares approximation instead of interpolation. This allows building numerically stable formulas even for high degrees.
Құрама ережелер
Ньютон–Котес ережелерінің дұрыс болуы үшін қадам мөлшері h кіші болуы керек, яғни интегралдау интервалының өзі кіші болуы тиіс, бірақ көп жағдайда бұл орындалмайды. Сондықтан, сандық интеграцияны көбінесе кішігірім ішкі интервалдарға бөліп, әрбір ішкі интервалға Ньютон–Котес ережесін қолданып, сосын нәтижелерді қосу арқылы жасайды. Бұл құрама ереже деп аталады. Сандық интеграция тақырыбына қараңыз.
For the Newton–Cotes rules to be accurate, the step size h needs to be small, which means that the interval of integration must be small itself, which is not true most of the time. For this reason, one usually performs numerical integration by splitting into smaller subintervals, applying a Newton–Cotes rule on each subinterval, and adding up the results. This is called a composite rule. See Numerical integration.