Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Формулы для численной интеграции
Formulas for numerical integration
В численном анализе формулы Ньютона-Котса, также называемые правилами квадратур Ньютона-Котса или просто правилами Ньютона-Котса, представляют собой группу формул для численной интеграции (также называемой квадратурой), основанных на вычислении значений подынтегральной функции в равноотстоящих точках. Они названы в честь Исаака Ньютона и Роджера Котса. Формулы Ньютона-Котса могут быть полезны, если значения подынтегральной функции в равноотстоящих точках известны. Если есть возможность изменять точки, в которых вычисляется подынтегральная функция, то другие методы, такие как квадратура Гаусса и квадратура Кленшоу-Куртиса, вероятно, будут более подходящими.
In numerical analysis, the Newton–Cotes formulas, also called the Newton–Cotes quadrature rules or simply Newton–Cotes rules, are a group of formulas for numerical integration (also called quadrature) based on evaluating the integrand at equally spaced points. They are named after Isaac Newton and Roger Cotes. Newton–Cotes formulas can be useful if the value of the integrand at equally spaced points is given. If it is possible to change the points at which the integrand is evaluated, then other methods such as Gaussian quadrature and Clenshaw–Curtis quadrature are probably more suitable.
Нестабильность в высокой степени
Формулу Ньютона — Котеса любой степени n можно построить. Однако при больших n правило Ньютона — Котеса иногда может страдать от катастрофического явления Рунге, при котором ошибка растет экспоненциально с увеличением n. Методы, такие как гауссова квадратура и квадратура Кленшоу — Кертиса с неравномерно расположенными точками (сгруппированными в конечных точках интервала интегрирования), являются стабильными и гораздо более точными, и обычно предпочтительнее правил Ньютона — Котеса. Если эти методы не могут быть использованы, поскольку подынтегральная функция задана только на фиксированной равноотстоящей сетке, то явления Рунге можно избежать, используя составную формулу, как описано ниже. В качестве альтернативы, устойчивые формулы Ньютона — Котеса могут быть построены с использованием приближения методом наименьших квадратов вместо интерполяции. Это позволяет создавать численно устойчивые формулы даже для высоких степеней.
A Newton–Cotes formula of any degree n can be constructed. However, for large n a Newton–Cotes rule can sometimes suffer from catastrophic Runge's phenomenon where the error grows exponentially for large n. Methods such as Gaussian quadrature and Clenshaw–Curtis quadrature with unequally spaced points (clustered at the endpoints of the integration interval) are stable and much more accurate, and are normally preferred to Newton–Cotes. If these methods cannot be used, because the integrand is only given at the fixed equidistributed grid, then Runge's phenomenon can be avoided by using a composite rule, as explained below. Alternatively, stable Newton–Cotes formulas can be constructed using least squares approximation instead of interpolation. This allows building numerically stable formulas even for high degrees.
Составные правила
Чтобы правила Ньютона-Котса были точными, необходимо, чтобы шаг интегрирования h был малым, а значит, и сам интервал интегрирования должен быть небольшим, что часто не выполняется. Поэтому обычно численное интегрирование выполняют, разбивая интервал на более мелкие подинтервалы, применяя правило Ньютона-Котса к каждому подинтервалу и суммируя полученные результаты. Это называется составной формулой. См. Численное интегрирование.
For the Newton–Cotes rules to be accurate, the step size h needs to be small, which means that the interval of integration must be small itself, which is not true most of the time. For this reason, one usually performs numerical integration by splitting into smaller subintervals, applying a Newton–Cotes rule on each subinterval, and adding up the results. This is called a composite rule. See Numerical integration.