Кіріспе
Топологиялық кеңістіктерді құру сызықтық алгебрадағы үлестік кеңістіктер
quotient spaces in linear algebra
Топологияда және математиканың осымен байланысты салаларында, берілген эквиваленттілік қатынасы бойынша топологиялық кеңістіктің үлестік кеңістігі – бастапқы топологиялық кеңістіктің үлестік жиынына үлестік топологияны беру арқылы құрылатын жаңа топологиялық кеңістік, яғни каноникалық проекция картасын үздіксіз ететін ең ұсақ топология (нүктелерді олардың эквиваленттілік кластарына бейнелейтін функция). Басқаша айтқанда, үлестік кеңістіктің ішкі жиыны ашық болады, егер және тек қана егер каноникалық проекция картасы бойынша оның кері бейнесі бастапқы топологиялық кеңістікте ашық болса. Интуитивті түрде айтқанда, әрбір эквиваленттілік класының нүктелері жаңа топологиялық кеңістікті құру үшін біріктіріледі немесе "бір-біріне жабысады". Мысалы, бір диаметрге жататын сфераның нүктелерін біріктіру проекциялық жазықтықты үлестік кеңістік ретінде тудырады.
Қатынасты анықтамалар
Тұқымдық үлестік бейнелеу – кез келген кіші жиын үшін шектеуі де үлестік бейнелеу болатын сюръективті бейнелеу. Тұқымдық емес үлестік бейнелеулер де бар.
Мысалдар
Тіркемелеу. Топологтар нүктелерді біріктіру туралы айтады. Егер – топологиялық кеңістік болса, және нүктелерін кеңістігінде желімдеу, егер және тек егер немесе болса, теңдестік қатынасынан алынған үлестік кеңістікті қарастыруды білдіреді. Бірлік шаршыны және барлық шекаралық нүктелердің тең болуын талап ететін баламалық қатынасты қарастырайық, осылайша барлық шекаралық нүктелерді бір баламалық сыныпқа сәйкестендіріңіз. Содан кейін сфераға гомеоморфты болады. Орнату кеңістігі. Көбірек жалпылап айтқанда, кеңістік болсын және – кеңістігінің ішкі кеңістігі болсын. кеңістігіндегі барлық нүктелерді бір баламалық сыныпқа сәйкестендіріп, сыртындағы нүктелерді тек өздеріне ғана тең деп қалдыруға болады. Нәтижесінде алынған үлестік кеңістік белгіленеді. 2-шар бір нүктеде сәйкестендірілген шекарасы бар жабық дискке гомеоморфты: нақты сандар жиынын әдеттегі топологиямен қарастырып, жазыңыз, егер және тек егер бүтін сан болса. Содан кейін үлестік кеңістік бірлік шеңберіне гомеоморфизм арқылы гомеоморфты болады, ол баламалық сыныбын жібереді. Жоғарыдағы мысалдың жалпылауы мынадай: Егер топологиялық топ кеңістікте үздіксіз әрекет етсе. Бір нүктелерді бір орбитада жатса ғана тең деп қарастыратын теңдестік қатынасын құруға болады. Бұл қатынас бойынша алынған үлестік кеңістік орбиталық кеңістік деп аталады және белгіленеді. Жоғарыдағы мысалда аударма арқылы әрекет етеді. Орбиталық кеңістік гомеоморфты болады. Егер қосу арқылы әрекет ететін топ деп түсінілсе, онда үлестік кеңістік шеңбер болады. Алайда, егер (бір нүкте ретінде сәйкестендірілген) топологиялық ішкі кеңістік ретінде қарастырылса, онда үлестік кеңістік (жинақпен сәйкестендірілетін) бір нүктеде қосылған шеңберлердің саналатын шексіз букеті болады. Келесі мысал мынаны көрсетеді: егер кесіп картасы болса, онда кеңістігіндегі әрбір жинақты тізбек (немесе әрбір жинақты тор) үшін кеңістігінде конвергентті тізбек (немесе конвергентті тор) көтеріледі (арқылы ). және болсын, кесіп картасы болсын, сондықтан және әр үшін. картасы жақсы анықталған (себебі ) және гомеоморфизм болады. және кеңістігіндегі кез келген тізбектер (немесе жалпы, кез келген торлар) болсын, мұнда кеңістігінде шоғырланады, бірақ осы тізбектің конвергентті көтерілуі жоқ (яғни, екеуі де кейбір шоғырланатын және барлығы үшін қанағаттандыратын тізбек жоқ). Бұл қарсы мысал кез келген бағытталған жиынтыққа және торға келесідей анықтама беру арқылы торларға жалпыланады: егер (1) және (2) болса, онда индекстелген тор көтерілуі жоқ (арқылы ) конвергентті индекстелген торға.
Adjunction space. More generally, suppose is a space and is a subspace of One can identify all points in to a single equivalence class and leave points outside of equivalent only to themselves. The resulting quotient space is denoted The 2 sphere is then homeomorphic to a closed disc with its boundary identified to a single point:
Consider the set of real numbers with the ordinary topology, and write if and only if is an integer. Then the quotient space is homeomorphic to the unit circle via the homeomorphism which sends the equivalence class of to
A generalization of the previous example is the following: Suppose a topological group acts continuously on a space One can form an equivalence relation on by saying points are equivalent if and only if they lie in the same orbit. The quotient space under this relation is called the orbit space, denoted In the previous example acts on by translation. The orbit space is homeomorphic to
Note: The notation is somewhat ambiguous. If is understood to be a group acting on via addition, then the quotient is the circle. However, if is thought of as a topological subspace of (that is identified as a single point) then the quotient (which is identifiable with the set ) is a countably infinite bouquet of circles joined at a single point
This next example shows that it is in general not true that if is a quotient map then every convergent sequence (respectively, every convergent net) in has a lift (by ) to a convergent sequence (or convergent net) in Let and Let and let be the quotient map so that and for every The map defined by is well defined (because ) and a homeomorphism. Let and let be any sequences (or more generally, any nets) valued in such that in Then the sequence converges to in but there does not exist any convergent lift of this sequence by the quotient map (that is, there is no sequence in that both converges to some and satisfies for every ). This counterexample can be generalized to nets by letting be any directed set, and making into a net by declaring that for any holds if and only if both (1) and (2) if then the indexed net defined by letting equal and equal to has no lift (by ) to a convergent indexed net in