Көпсызықты алгебра

Кіріспе

Математиканың саласы. Көпсызықты алгебра – бірнеше векторлық аргументтері бар функцияларды зерттейтін ғылым, мұнда функциялар әрбір аргумент бойынша сызықтық түрлендірулер болып табылады. Ол матрицалар, тензорлар, көпвекторлар, сызықтық теңдеулер жүйелері, жоғары өлшемді кеңістіктер, анықтауыштар, ішкі және сыртқы көбейтулер, сондай-ақ жұптас кеңістіктер сияқты ұғымдарды қамтиды. Бұл инженерлік, машиналық оқыту, физика және математика салаларында қолданылатын математикалық құрал.

Шығу тегі

Көптеген теориялық ұғымдар мен қолданыстар жеке векторларды қамтиды, бірақ Герман Грасман сияқты математиктер векторларды жалпылайтын жұптар, үштіктер және көпвекторлар сияқты құрылымдарды қарастырды. Көптеген комбинациялық мүмкіндіктермен, көпвекторлық кеңістік 2n өлшемге дейін кеңейеді, мұнда n – тиісті векторлық кеңістіктің өлшемі. Анықтамашыны көпсызықты алгебраның құрылымдарын пайдалана отырып, абстрактілі түрде тұжырымдауға болады. Көпсызықты алгебра материалдардың кернеу мен деформацияға механикалық жауабын зерттеуде қолданылады, оған түрлі серпімділік модульдері қатысты. "Тензор" термині оның қосымша құрылымына байланысты көпсызықты кеңістіктегі элементтерді сипаттайды. Грасманның 1844 жылғы Ausdehnungslehre еңбегі, сондай-ақ 1862 жылы қайта жарияланғанына қарамастан, бұл тақырып бастапқыда кеңінен түсінілмеді, себебі тіпті қарапайым сызықтық алгебра да сол кезде көптеген қиындықтар туғызды. Көпсызықты алгебраның ұғымдары көпөлшемді есептеу және манифольдтардың кейбір зерттеулерінде, әсіресе Якобиан матрицасына қатысты қолданылады. Бір айнымалы есептеуде кездесетін шексіз кішкентай дифференциалдар көпөлшемді есептеуде дифференциалдық формаларға айналады, ал оларды манипуляциялау сыртқы алгебраны қолдану арқылы жүзеге асырылады. Грасманнан кейін көпсызықты алгебраны дамытуға 1872 жылы Виктор Шлегель өзінің System der Raumlehre еңбегінің бірінші бөлігін жариялау арқылы, ал Элвин Бруно Кристоффель үлкен үлес қосты. Ерекше айта келерлік жайт, Грегорио Риччи Курбастро мен Туллио Леви-Чивитаның еңбектері арқасында маңызды жетістіктерге қол жеткізілді, әсіресе көпсызықты алгебрадағы абсолютті дифференциалдық есептеу саласында. Марсель Гроссман мен Мишель Бессо осы форманы Альберт Эйнштейнге таныстырды, ал 1915 жылы Эйнштейннің жалпы салыстырмалылық туралы жарияланымы, Меркурий планетасының перигелионың прецессиясын түсіндіріп, көпсызықты алгебра мен тензорларды физикадағы маңызды математикалық құралдар ретінде орнықтырды. 1958 жылы Никола Бурбаки өзінің "Математикалық элементтер" сериясында, атап айтқанда алгебра кітабында "Көпсызықты алгебра" (Algèbre Multilinéaire) тақырыбына арналған тарауды қосты. Тарауда билинеарлық функциялар, екі модульдің тензорлық көбейтіндісі және тензорлық көбейтінділердің қасиеттері сияқты тақырыптар қарастырылады.

While many theoretical concepts and applications involve single vectors, mathematicians such as Hermann Grassmann considered structures involving pairs, triplets, and multivectors that generalize vectors. With multiple combinational possibilities, the space of multivectors expands to 2n dimensions, where n is the dimension of the relevant vector space. The determinant can be formulated abstractly using the structures of multilinear algebra. Multilinear algebra appears in the study of the mechanical response of materials to stress and strain, involving various moduli of elasticity. The term "tensor" describes elements within the multilinear space due to its added structure. Despite Grassmann's early work in 1844 with his Ausdehnungslehre, which was also republished in 1862, the subject was initially not widely understood, as even ordinary linear algebra posed many challenges at the time. The concepts of multilinear algebra find applications in certain studies of multivariate calculus and manifolds, particularly concerning the Jacobian matrix. Infinitesimal differentials encountered in single variable calculus are transformed into differential forms in multivariate calculus, and their manipulation is carried out using exterior algebra. Following Grassmann, developments in multilinear algebra were made by Victor Schlegel in 1872 with the publication of the first part of his System der Raumlehre and by Elwin Bruno Christoffel. Notably, significant advancements came through the work of Gregorio Ricci Curbastro and Tullio Levi Civita, particularly in the form of absolute differential calculus within multilinear algebra. Marcel Grossmann and Michele Besso introduced this form to Albert Einstein, and in 1915, Einstein's publication on general relativity, explaining the precession of Mercury's perihelion, established multilinear algebra and tensors as important mathematical tools in physics. In 1958, Nicolas Bourbaki included a chapter on multilinear algebra titled "Algèbre Multilinéaire" in his series Éléments de mathématique, specifically within the algebra book. The chapter covers topics such as bilinear functions, the tensor product of two modules, and the properties of tensor products.