Многолинейная алгебра: основы, развитие и приложения

Введение

Многолинейная алгебра — это раздел математики, изучающий функции, принимающие несколько векторных аргументов, при этом функции являются линейными отображениями по отношению к каждому аргументу. Она включает в себя такие понятия, как матрицы, тензоры, мультивекторы, системы линейных уравнений, пространства более высоких размерностей, определители, внутреннее и внешнее произведение, а также двойственные пространства. Это математический инструмент, используемый в инженерии, машинном обучении, физике и математике.

Происхождение

В то время как многие теоретические концепции и приложения связаны с отдельными векторами, математики, такие как Герман Грассман, рассматривали структуры, включающие пары, тройки и мультивекторы, которые обобщают понятие вектора. Благодаря множеству комбинаторных возможностей, пространство мультивекторов расширяется до 2n измерений, где n – размерность соответствующего векторного пространства. Определитель можно сформулировать абстрактно, используя структуры многолинейной алгебры. Многолинейная алгебра находит применение в изучении механического отклика материалов на напряжение и деформацию, включая различные модули упругости. Термин «тензор» описывает элементы в многолинейном пространстве благодаря его дополнительной структуре. Несмотря на ранние работы Грассмана в 1844 году с его «Ausdehnungslehre», которая была переиздана и в 1862 году, эта область знаний изначально не была широко понята, поскольку даже обычная линейная алгебра представляла собой значительные трудности в то время. Концепции многолинейной алгебры применяются в некоторых исследованиях многомерного исчисления и многообразий, особенно в связи с матрицей Якоби. Инфинитезимальные дифференциалы, встречающиеся в исчислении одной переменной, преобразуются в дифференциальные формы в многомерном исчислении, а их обработка осуществляется с использованием внешней алгебры. После Грассмана развитие многолинейной алгебры продолжили Виктор Шlegel в 1872 году с публикацией первой части его «System der Raumlehre» и Элвин Бруно Кристоффель. Важно отметить, что значительный прогресс был достигнут благодаря работам Грегорио Риччи Курбастро и Туллио Леви-Чивита, особенно в форме абсолютного дифференциального исчисления в рамках многолинейной алгебры. Марсель Гроссман и Микеле Бессо представили эту форму Альберту Эйнштейну, а в 1915 году публикация Эйнштейна об общей теории относительности, объясняющая прецессию перигелия Меркурия, утвердила многолинейную алгебру и тензоры как важные математические инструменты в физике. В 1958 году Никола Бурбаки включил главу о многолинейной алгебре под названием «Algèbre Multilinéaire» в свою серию «Éléments de mathématique», в частности, в книгу по алгебре. В этой главе рассматриваются такие темы, как билинейные функции, тензорное произведение двух модулей и свойства тензорных произведений.

While many theoretical concepts and applications involve single vectors, mathematicians such as Hermann Grassmann considered structures involving pairs, triplets, and multivectors that generalize vectors. With multiple combinational possibilities, the space of multivectors expands to 2n dimensions, where n is the dimension of the relevant vector space. The determinant can be formulated abstractly using the structures of multilinear algebra. Multilinear algebra appears in the study of the mechanical response of materials to stress and strain, involving various moduli of elasticity. The term "tensor" describes elements within the multilinear space due to its added structure. Despite Grassmann's early work in 1844 with his Ausdehnungslehre, which was also republished in 1862, the subject was initially not widely understood, as even ordinary linear algebra posed many challenges at the time. The concepts of multilinear algebra find applications in certain studies of multivariate calculus and manifolds, particularly concerning the Jacobian matrix. Infinitesimal differentials encountered in single variable calculus are transformed into differential forms in multivariate calculus, and their manipulation is carried out using exterior algebra. Following Grassmann, developments in multilinear algebra were made by Victor Schlegel in 1872 with the publication of the first part of his System der Raumlehre and by Elwin Bruno Christoffel. Notably, significant advancements came through the work of Gregorio Ricci Curbastro and Tullio Levi Civita, particularly in the form of absolute differential calculus within multilinear algebra. Marcel Grossmann and Michele Besso introduced this form to Albert Einstein, and in 1915, Einstein's publication on general relativity, explaining the precession of Mercury's perihelion, established multilinear algebra and tensors as important mathematical tools in physics. In 1958, Nicolas Bourbaki included a chapter on multilinear algebra titled "Algèbre Multilinéaire" in his series Éléments de mathématique, specifically within the algebra book. The chapter covers topics such as bilinear functions, the tensor product of two modules, and the properties of tensor products.