Шешікті өрістердегі алгебралық сан түрлеріндегі нүктелерді санаудан туындаған туынды функциялар

Кіріспе

Шектеулі өрістердегі алгебралық сан түрлеріндегі нүктелерді санаудан туындаған генерациялық функциялар (жергілікті зетта функциялары деп аталады) туралы. Математикада, Вейл болжамдары олардың дәлелдеуге арналған ондаған жылдық сәтті бағдарламаға әкелді, онда көптеген жетекші зерттеушілер қазіргі алгебралық геометрия мен сандар теориясының негізін қалады. Бұл болжамдар шектеулі өрістердегі алгебралық сан түрлеріндегі нүктелерді санаудан алынған генерациялық функцияларға (жергілікті зетта функциялары деп белгіленеді) қатысты. q элементі бар шектеулі өрістегі V сан түрінің түпнұсқа өрістегі координаттары бар шекті рационалдық нүктелер саны, сондай-ақ түпнұсқа өрістің кез келген шекті кеңейтіліміндегі координаттары бар нүктелер саны бар. Генерациялық функцияда q^(k) элементі бар кеңейту өрісіндегі Nк нүктелерінің санынан алынған коэффициенттер бар. Вейл мұндай тегіс сан түрлері үшін зетта функциялары рационалды функциялар болады, белгілі бір функционалдық теңдеуді қанағаттандырады және олардың нөлдері шектеулі орындарда орналасады деп болжады. Соңғы екі бөлім саналы түрде Риман зетта функциясының үлгісімен жасалды, ол жай сандар үшін генерациялық функцияның бір түрі болып табылады, ол функционалдық теңдеуге бағынады және (болжам бойынша) оның нөлдері Риман гипотезасымен шектеледі. Рационалдылық дәлелденді, функционалдық теңдеу дәлелденді, ал Риман гипотезасының аналогы дәлелденді.

Негізгі деректер

Вейльдік болжамдардың ең алғашқы алғышарты Карл Фридрих Гаусске қатысты және оның "Disquisitiones Arithmeticae" еңбегінің VII бөлімінде кездеседі, ол бірлік түбірлері және Гаусс кезеңдерімен айналысады. 358-ші мақалада ол квадраттық кеңейтімдердің мұнараларын құратын кезеңдерден, тұрақты көпбұрыштарды салуға көшеді; және p санын 3-ке модуль бойынша 1-ге сәйкес келетін жай сан деп қарастырады. Содан кейін p-ші түбірлердің циклотомиялық өрісінде циклдік кубтық өріс және осы өрістің бүтін сандары үшін кезеңдердің нормальды интегралдық негізі бар (бұл Хилберт-Спейзер теоремасының бір мысалы). Гаусс 3-реттік кезеңді құрастырады, ол p модулі бойынша нөлдік емес қалдықтардың циклдік тобына ('Z'/p'Z')^(×) және оның үштік индекске ие бірегей кіші тобына сәйкес келеді. Гаусс , , және косеттерін қарастырады. Осы косеттерге сәйкес кезеңдерді (бірлік түбірлерінің қосындыларын) exp(2πi/p) функциясына қолданып, ол бұл кезеңдердің есептеуге қолжетімді көбейту кестесіне ие екенін көрсетеді. Көбейтінділер кезеңдердің сызықтық комбинациялары болып табылады, және ол коэффициенттерді анықтайды. Мысалы, ол санын 'Z'/p'Z' жиынындағы элементтер санына теңдейді, олар ішінде болады және 1-ге арттырылғаннан кейін де ішінде қалады. Ол осы санның және оған байланысты сандардың кезеңдердің көбейтінділерінің коэффициенттері екенін дәлелдейді. Бұл жиынтықтардың Вейльдік болжамдармен байланысын түсіну үшін, егер α және α + 1 екеуі де ішінде болса, онда 'Z'/p'Z' жиынында x және y элементтері бар, сонда және ; демек, шекті өрістегі 'Z'/p'Z' жиынындағы шешімдер санымен байланысты. Басқа коэффициенттердің де ұқсас интерпретациясы бар. Гаусс кезеңдердің көбейтінділерінің коэффициенттерін анықтау, осы эллиптік қисықтардағы нүктелердің санын санауға әкеледі, және ол Риман гипотезасының аналогын дәлелдейді. Алгебралық қисықтарға қатысты Вейльдік болжамдардың ерекше жағдайы Вейльдің шекті өрістердегі қисықтарға қатысты дәлелдеуімен аяқталды, бұл шекті өрістердегі эллиптік қисықтар туралы Хассе теоремасымен басталған жобаны аяқтады. Олардың қызығушылығы сандар теориясының ішінде анық болды: олар экспоненциалдық сомалардың жоғарғы шектерін білдірді, бұл аналитикалық сандар теориясының негізгі мәселесі. Басқа математикалық салалар үшін назар аударған нәрсе - алгебралық топологиямен ұсынылған байланыс болды. Шекті өрістердің дискретті табиғатын және топологияның үздіксіз туралы ғана сөйлейтінін ескере отырып, Вейльдің егжей-тегжейлі тұжырымдамасы (кейбір мысалдарды қарастыру негізінде) таң қалдырарлық және жаңа болды. Ол шекті өрістердегі геометрияның Бети сандарына, Лефшецтің тұрақты нүкте теоремасына және т.б. қатысты белгілі үлгілерге сәйкес келуі керек екенін ұсынды. Топологиямен ұқсастық алгебралық геометрияда жаңа гомологиялық теорияны құруды ұсынды. Бұл екі онжылдыққа созылды (Александр Гротендиктің жұмысы мен мектебінің орталық мақсаты болды) және Серрдің бастапқы ұсыныстарына негізделді. Болжамдардың рационалдық бөлігі алдымен , p-адық әдістерді қолдану арқылы дәлелденді. және оның әріптестері эталь кохомологиясының қасиеттерін пайдалану арқылы рационалдық болжамды, функционалдық теңдеуді және Бети сандарымен байланысты дәлелдеді, бұл Гротендик пен Майкл Артиннің Вейльдік болжамдарға қарсы күресу үшін әзірлеген жаңа кохомология теориясы. Төрт болжамның ішінде Риман гипотезасының аналогын дәлелдеу ең қиын болды. Кэлер көптүрліліктері үшін Вейльдік болжамдардың аналогын дәлелдеуге ынталандырылған Гротендик алгебралық циклдер туралы өзінің стандартты болжамдарына негізделген дәлелді көздеді. Алайда, Гротендиктің стандартты болжамдары ашық күйде қалды (жұйық Лефшец теоремасынан басқа, оны Делинь Вейльдік болжамдарға қатысты жұмысын кеңейту арқылы дәлелдеді), және Риман гипотезасының аналогы дәлелденді. ол Вейльдік болжамдардың жалпылануын тапты және дәлелдеді, бұл қаптың жылжу салмағын шектеді.

The earliest antecedent of the Weil conjectures is by Carl Friedrich Gauss and appears in section VII of his Disquisitiones Arithmeticae , concerned with roots of unity and Gaussian periods. In article 358, he moves on from the periods that build up towers of quadratic extensions, for the construction of regular polygons; and assumes that p is a prime number congruent to 1 modulo 3. Then there is a cyclic cubic field inside the cyclotomic field of pth roots of unity, and a normal integral basis of periods for the integers of this field (an instance of the Hilbert–Speiser theorem). Gauss constructs the order 3 periods, corresponding to the cyclic group ('Z'/p'Z')^(×) of non zero residues modulo p under multiplication and its unique subgroup of index three. Gauss lets , , and be its cosets. Taking the periods (sums of roots of unity) corresponding to these cosets applied to exp(2πi/p), he notes that these periods have a multiplication table that is accessible to calculation. Products are linear combinations of the periods, and he determines the coefficients. He sets, for example, equal to the number of elements of 'Z'/p'Z' which are in and which, after being increased by one, are also in He proves that this number and related ones are the coefficients of the products of the periods. To see the relation of these sets to the Weil conjectures, notice that if α and α + 1 are both in , then there exist x and y in 'Z'/p'Z' such that and ; consequently, Therefore is related to the number of solutions to in the finite field 'Z'/p'Z'. The other coefficients have similar interpretations. Gauss's determination of the coefficients of the products of the periods therefore counts the number of points on these elliptic curves, and as a byproduct he proves the analog of the Riemann hypothesis. The Weil conjectures in the special case of algebraic curves were conjectured by The case of curves over finite fields was proved by Weil, finishing the project started by Hasse's theorem on elliptic curves over finite fields. Their interest was obvious enough from within number theory: they implied upper bounds for exponential sums, a basic concern in analytic number theory
What was really eye catching, from the point of view of other mathematical areas, was the proposed connection with algebraic topology. Given that finite fields are discrete in nature, and topology speaks only about the continuous, the detailed formulation of Weil (based on working out some examples) was striking and novel. It suggested that geometry over finite fields should fit into well known patterns relating to Betti numbers, the Lefschetz fixed point theorem and so on. The analogy with topology suggested that a new homological theory be set up applying within algebraic geometry. This took two decades (it was a central aim of the work and school of Alexander Grothendieck) building up on initial suggestions from Serre. The rationality part of the conjectures was proved first by , using p adic methods. and his collaborators established the rationality conjecture, the functional equation and the link to Betti numbers by using the properties of étale cohomology, a new cohomology theory developed by Grothendieck and Michael Artin for attacking the Weil conjectures, as outlined in
Of the four conjectures the analogue of the Riemann hypothesis was the hardest to prove. Motivated by the proof of of an analogue of the Weil conjectures for Kähler manifolds, Grothendieck envisioned a proof based on his standard conjectures on algebraic cycles However, Grothendieck's standard conjectures remain open (except for the hard Lefschetz theorem, which was proved by Deligne by extending his work on the Weil conjectures), and the analogue of the Riemann hypothesis was proved by , using the étale cohomology theory but circumventing the use of standard conjectures by an ingenious argument. found and proved a generalization of the Weil conjectures, bounding the weights of the pushforward of a sheaf.

Жобалау сызығы

Ең қарапайым мысал (нүктеден басқа) – X-ті проективті түзу деп алу. Q^(m) элементтері бар өріс үстінде X-тің нүктелерінің саны – тек (мұндағы "+ 1" "шетсіздіктегі нүктеден" туындайды). Зета функциясы – келесідей.

Вейльдік болжамдардың барлық бөліктерін тікелей тексеру оңай. Мысалы, сәйкес келетін күрделі кеңістік – Риман сферасы және оның бастапқы Бетти сандары 1, 0, 1.

Жобалау кеңістігі

n өлшемді проекциялық кеңістікті жасау одан әлдеқайда қиын емес. X-тің q^(m) элементі бар ерекшелеулі саладағы нүктелерінің саны жай ғана ... Зета функциясы да жай ғана ...

Вейль болжамдарының барлық бөліктерін тікелей тексеру қайтадан оңай. (Комплексті проекциялық кеңістік қатысты Бетти сандарын береді, олар жауапты дерлік анықтайды.) Проекциялық түзу мен проекциялық кеңістіктегі нүктелердің санын есептеу өте оңай, себебі оларды аффиндік кеңістіктердің шекті санының көшірмелерінен тұратын ажыратылған біріктірулер ретінде жазуға болады. Грасманндықтар мен флагтық сорттар сияқты, осыған ұқсас "құрастыру" қасиетіне ие басқа кеңістіктер үшін де Вейль болжамдарын дәлелдеу оңай.

Вейль кохомологиясы

Вейл болжамдары шекті өрістердегі сорттар үшін сәйкес "Вейлдің кохомология теориясының" болуынан туындайды деп ұсынды, бұл күрделі сорттар үшін рационалды коэффициенттері бар дәстүрлі кохомологияға ұқсас. Оның идеясы мынада: егер F – шекті өріс бойынша Фробен автоморфизмі болса, онда X сортының q^(m) реттік өріс бойынша нүктелерінің саны, F^(m) автоморфизмінің (алгебралық жабылу арқылы анықталған X сортының барлық нүктелеріне әсер ететін) тұрақты нүктелерінің санына тең болады. Алгебралық топологияда автоморфизмнің тұрақты нүктелерінің санын Лефшецтің тұрақты нүкте теоремасы арқылы есептеуге болады, ол кохомология топтарындағы іздердің кезектесіп қосылуы ретінде беріледі. Сондықтан, егер шекті өрістердегі сорттар үшін ұқсас кохомология топтары болса, онда зета-функцияны олар арқылы өрнектеуге болады. Бірінші қиындық – Вейлдің кохомология теориясының коэффициенттік өрісі рационалды сандар бола алмайды. Мұны түсіну үшін, p сипаттамасы бар шекті өріс бойынша суперсинглярлық эллиптік қисықты қарастырайық. Оның эндоморфизм сақинасы – рационалдар үстіндегі кватерниондық алгебрадағы тәртіп, және ол күрделі эллиптік қисық жағдайына ұқсас, коэффициенттік өріс бойынша 2 өлшемді векторлық кеңістік болуы керек, бірінші кохомология тобында әрекет етуі керек. Бірақ, рационалдар үстіндегі кватерниондық алгебра рационалдар үстіндегі 2 өлшемді векторлық кеңістікте әрекет ете алмайды. Сол аргумент коэффициенттік өрістің нақты сандар немесе p-адикалық сандар болу мүмкіндігін де жояды, себебі кватерниондық алгебра осы өрістерде де бөліну алгебрасы болып қалады. Алайда, бұл коэффициенттік өрістің кейбір жай сан l ≠ p үшін l-адикалық сандар өрісі болу мүмкіндігін жоққа шығармайды, өйткені осы өрістерде бөліну алгебрасы бөлінеді және матрицалық алгебраға айналады, ол 2 өлшемді векторлық кеңістікте әрекет ете алады. Гротендик пен Майкл Артин әрбір жай сан l ≠ p үшін l-адикалық сандар өрісінде сәйкес кохомология теориясын құруға қол жеткізді, оны l-адикалық кохомология деп атайды.

Weil suggested that the conjectures would follow from the existence of a suitable "Weil cohomology theory" for varieties over finite fields, similar to the usual cohomology with rational coefficients for complex varieties. His idea was that if F is the Frobenius automorphism over the finite field, then the number of points of the variety X over the field of order q^(m) is the number of fixed points of F^(m) (acting on all points of the variety X defined over the algebraic closure). In algebraic topology the number of fixed points of an automorphism can be worked out using the Lefschetz fixed point theorem, given as an alternating sum of traces on the cohomology groups. So if there were similar cohomology groups for varieties over finite fields, then the zeta function could be expressed in terms of them. The first problem with this is that the coefficient field for a Weil cohomology theory cannot be the rational numbers. To see this consider the case of a supersingular elliptic curve over a finite field of characteristic p. The endomorphism ring of this is an order in a quaternion algebra over the rationals, and should act on the first cohomology group, which should be a 2 dimensional vector space over the coefficient field by analogy with the case of a complex elliptic curve. However a quaternion algebra over the rationals cannot act on a 2 dimensional vector space over the rationals. The same argument eliminates the possibility of the coefficient field being the reals or the p adic numbers, because the quaternion algebra is still a division algebra over these fields. However it does not eliminate the possibility that the coefficient field is the field of ℓ adic numbers for some prime ℓ ≠ p, because over these fields the division algebra splits and becomes a matrix algebra, which can act on a 2 dimensional vector space. Grothendieck and Michael Artin managed to construct suitable cohomology theories over the field of ℓ adic numbers for each prime ℓ ≠ p, called ℓ adic cohomology.

Лефшец қарындаштарын қолдану

Гротендик зета-функцияны ℓ-адикалық когомологиялық топтардағы Фробениус іздері арқылы өрнектеді, сондықтан q элементі бар шекті өріс үстіндегі d өлшемді V сорты үшін Вейл болжамдары Фробениус V-нің i-інші ℓ-адикалық когомологиялық тобы Hi(V)-ге әсер ететін өзіндік мәндері α-ның абсолюттік мәндері = qi/2 екенін көрсетуге байланысты (Qℓ-ның алгебралық элементтерін комплекс сандарға енгізу үшін). V-ді көбейтіп, базалық өрісті кеңейткеннен кейін, V сорты проекциялық түзу P1-ге морфизмге ие деп болжауға болады, онда өте жұмсақ (квадраттық) сингулярлықтары бар шекті саны сингулярлық талшықтар бар. Күрделі сорттар үшін (және қарапайым когомология) енгізілген және ℓ-адикалық когомологияға дейін кеңейтілген Лефшец қарындаштарының монодромия теориясы V-нің когомологиясын оның талшықтарының когомологиясына байланыстырады. Қатынас жоғалып бара жатқан циклдердің Ex кеңістігіне, Vx-тің сингуляр емес талшығында жоғалып бара жатқан сыныптармен жабылатын Hd−1(Vx) когомологиясының субкеңістігіне байланысты. Лерей спектрлік тізбегі V-нің орташа когомологиялық тобын талшық пен базаның когомологиясына байланыстырады. Ең қиын бөлігі шамамен H1(P1, j*E) = H(U,E) тобымен айналысу болып табылады, мұнда U - проекциялық түзудің сингуляр емес талшықтары бар нүктелері, ал j - U-дың проекциялық түзуге енгізілуі, ал E - жоғалып бара жатқан циклдердің Ex кеңістіктері талшықтары бар шоғыр.

Делиньнің екінші дәлелі

Вейльдік болжамдардың жалпылануын тапты және дәлелдеді, бұл қаптың алға жылжыту салмағын шектеді. Іс жүзінде, осы жалпылау, бастапқы Вейльдік болжамдар емес, көбінесе қолданбаларда, мысалы, қатты Лефшец теоремасында қолданылады. Екінші дәлелдеменің көп бөлігі оның бірінші дәлелдемесіндегі идеялардың қайта құрылымы болып табылады. Қажетті қосымша идея – Жак Адамар мен Шарль Жан де ла Валле Пуссен теоремасымен тығыз байланысты аргумент, оны Делинь әртүрлі L-қатарларының нақты бөлігі 1-ге тең нөлдері жоқ екенін көрсету үшін қолданды. Салмағы ≤ β аралас қаптар, салмағы ≤ β + i аралас қаптарға айналады. Түпнұсқа Вейльдік болжамдар f-ті тегіс проективті сорттан нүктеге дейінгі морфизм ретінде қарастырып, сорттағы Qℓ тұрақты қабын қарастыру арқылы алынады. Бұл Фробеньдің өзіндік мәндерінің абсолютті мәндеріне жоғарғы шек қояды, ал Пуанкаре дуалдығы бұл төменгі шек екенін көрсетеді. Жалпы, Rif! таза қаптарды таза қаптарға айналдырмайды. Алайда, егер Poincaré дуалдығының қолайлы түрі болса, мысалы, егер f тегіс және дұрыс болса, немесе егер перверсті қаптармен жұмыс істелсе, онда айналдырады. Морзе теориясы бойынша жұмысына шабыттанған, Делиньнің ℓ-адық Фурье түрлендіруін қолданып, Делинь дәлелін жеңілдетті, бұл оған Адамар мен де ла Валле Пуссен әдісін қолданудан аулақ болуға мүмкіндік берді. Оның дәлелі Гаусс сомасының абсолютті мәнін есептеудің классикалық әдісін жалпылайды, Фурье түрлендіруінің нормасы бастапқы функцияның нормасына қарапайым қатынаста екенін пайдаланады. Лаумонның дәлелін Делинь теоремасын түсіндірудің негізі ретінде қолданды. Лаумонның дәлелін одан әрі жеңілдетті, Делиньдің бірінші дәлелінің рухында монодромияны пайдаланды. Фурье түрлендіруін қолданып, этальды когомологияны қатаң когомологиямен алмастырып, тағы бір дәлел келтірді.

found and proved a generalization of the Weil conjectures, bounding the weights of the pushforward of a sheaf. In practice it is this generalization rather than the original Weil conjectures that is mostly used in applications, such as the hard Lefschetz theorem. Much of the second proof is a rearrangement of the ideas of his first proof. The main extra idea needed is an argument closely related to the theorem of Jacques Hadamard and Charles Jean de la Vallée Poussin, used by Deligne to show that various L series do not have zeros with real part 1. A constructible sheaf on a variety over a finite field is called pure of weight β if for all points x the eigenvalues of the Frobenius at x all have absolute value N(x)β/2, and is called mixed of weight ≤ β if it can be written as repeated extensions by pure sheaves with weights ≤ β.

Deligne's theorem states that if f is a morphism of schemes of finite type over a finite field, then Rif! takes mixed sheaves of weight ≤ β to mixed sheaves of weight ≤ β + i. The original Weil conjectures follow by taking f to be a morphism from a smooth projective variety to a point and considering the constant sheaf Qℓ on the variety. This gives an upper bound on the absolute values of the eigenvalues of Frobenius, and Poincaré duality then shows that this is also a lower bound. In general Rif! does not take pure sheaves to pure sheaves. However it does when a suitable form of Poincaré duality holds, for example if f is smooth and proper, or if one works with perverse sheaves rather than sheaves as in
Inspired by the work of on Morse theory, found another proof, using Deligne's ℓ adic Fourier transform, which allowed him to simplify Deligne's proof by avoiding the use of the method of Hadamard and de la Vallée Poussin. His proof generalizes the classical calculation of the absolute value of Gauss sums using the fact that the norm of a Fourier transform has a simple relation to the norm of the original function. used Laumon's proof as the basis for their exposition of Deligne's theorem. gave a further simplification of Laumon's proof, using monodromy in the spirit of Deligne's first proof. gave another proof using the Fourier transform, replacing etale cohomology with rigid cohomology.

Қолданбалар

Вейльдік болжамдардың екінші дәлелін пайдаланып, шекті өрістердегі қатты Лефшец теоремасын дәлелдеді. Бұрын Раманужан-Петерссон болжамы Вейльдік болжамдардан шығатынын көрсеткен. Экспоненциалдық қосындыларға арналған шамаларды дәлелдеу үшін Вейльдік болжамдарды қолданды. Делиньенің Вейльдік болжамдарды дәлелдеуін қолдана отырып, шекті өрістердегі Кюннет түріндегі стандартты болжамды дәлелдеді.