Генераторные функции и подсчет точек на алгебраических многообразиях над конечными полями.

Введение

В математике гипотезы Вейля оказали огромное влияние, положив начало успешной многолетней программе их доказательства, в рамках которой многие ведущие исследователи заложили основы современной алгебраической геометрии и теории чисел. Эти гипотезы касаются генерирующих функций (известных как локальные дзета-функции), получаемых из подсчета точек на алгебраических многообразиях над конечными полями. Многообразие V над конечным полем с q элементами имеет конечное число рациональных точек (с координатами в исходном поле), а также точек с координатами в любом конечном расширении исходного поля. Генерирующая функция имеет коэффициенты, определяемые числами Nk точек над расширением поля с q^k элементами. Вейль предположил, что такие дзета-функции для гладких многообразий являются рациональными функциями, удовлетворяют определенному функциональному уравнению и имеют нули в определенных местах. Эти последние два утверждения были сознательно построены по аналогии с дзета-функцией Римана – своего рода генерирующей функцией для простых чисел, которая подчиняется функциональному уравнению и (предположительно) имеет нули, ограниченные гипотезой Римана. Рациональность была доказана , функциональное уравнение – , а аналог гипотезы Римана – .

История и происхождение

Самый ранний предшественник гипотез Вейля принадлежит Карлу Фридриху Гауссу и содержится в разделе VII его работы «Disquisitiones Arithmeticae», посвященном корням из единицы и гауссовым периодам. В статье 358 он переходит от периодов, формирующих башни квадратичных расширений, к построению правильных многоугольников и предполагает, что p – простое число, сравнимое с 1 по модулю 3. В этом случае внутри циклотомического поля p-го корня из единицы существует циклическое кубическое поле и нормальный интегральный базис периодов для целых чисел этого поля (частный случай теоремы Гильберта — Шпейзера). Гаусс строит периоды 3-го порядка, соответствующие циклической группе (Z/pZ)× ненулевых вычетов по модулю p при умножении и её единственной подгруппе индекса три. Пусть , , и – её косети. Рассматривая периоды (суммы корней из единицы), соответствующие этим косетам, примененные к exp(2πi/p), он отмечает, что таблица умножения этих периодов доступна для вычислений. Произведения являются линейными комбинациями периодов, и он определяет коэффициенты. Например, он приравнивает к числу элементов Z/pZ, принадлежащих и которые, будучи увеличенными на единицу, также принадлежат . Он доказывает, что это число и связанные с ним являются коэффициентами произведений периодов. Чтобы увидеть связь этих множеств с гипотезами Вейля, заметим, что если α и α + 1 принадлежат , то существуют x и y в Z/pZ такие, что и ; следовательно, связано с числом решений уравнения в конечном поле Z/pZ. Другие коэффициенты имеют аналогичную интерпретацию. Таким образом, Гаусс, определяя коэффициенты произведений периодов, подсчитывает число точек на этих эллиптических кривых и, как побочный результат, доказывает аналог гипотезы Римана. Гипотезы Вейля в частном случае алгебраических кривых были сформулированы Вейлем, завершив проект, начатый теоремой Хассе об эллиптических кривых над конечными полями. Их значимость для теории чисел была очевидна: они подразумевали верхние оценки для экспоненциальных сумм, что является фундаментальной задачей аналитической теории чисел. Особенно привлекательной с точки зрения других математических областей была предложенная связь с алгебраической топологией. Учитывая дискретный характер конечных полей и тот факт, что топология имеет дело только с непрерывным, детальная формулировка Вейля (основанная на рассмотрении некоторых примеров) была поразительной и новаторской. Она предполагала, что геометрия над конечными полями должна соответствовать известным закономерностям, связанным с числами Бетти, теоремой Лефшеца о неподвижной точке и т. д. Эта аналогия с топологией указывала на необходимость создания новой гомологической теории, применимой в алгебраической геометрии. Это заняло два десятилетия (являлось центральной целью работы и школы Александра Гротендика), опираясь на первоначальные предложения Серра. Рациональная часть гипотез была впервые доказана , с использованием p-адических методов. А и его коллеги установили гипотезу рациональности, функциональное уравнение и связь с числами Бетти, используя свойства кохомологии эталей – новой теории кохомологий, разработанной Гротендиком и Майклом Артином для решения гипотез Вейля, как описано в . Из четырех гипотез аналог гипотезы Римана оказался самым сложным для доказательства. Вдохновленный доказанным аналогом гипотез Вейля для многообразий Келера, Гротендик задумал доказательство, основанное на его стандартных гипотезах об алгебраических циклах. Однако стандартные гипотезы Гротендика остаются открытыми (за исключением сильной теоремы Лефшеца, доказанной Делинем путем расширения его работы по гипотезам Вейля), а аналог гипотезы Римана был доказан , используя теорию кохомологии эталей, но избегая использования стандартных гипотез благодаря остроумному аргументу. обнаружил и доказал обобщение гипотез Вейля, ограничивающее веса прямого образа пучка.

The earliest antecedent of the Weil conjectures is by Carl Friedrich Gauss and appears in section VII of his Disquisitiones Arithmeticae , concerned with roots of unity and Gaussian periods. In article 358, he moves on from the periods that build up towers of quadratic extensions, for the construction of regular polygons; and assumes that p is a prime number congruent to 1 modulo 3. Then there is a cyclic cubic field inside the cyclotomic field of pth roots of unity, and a normal integral basis of periods for the integers of this field (an instance of the Hilbert–Speiser theorem). Gauss constructs the order 3 periods, corresponding to the cyclic group ('Z'/p'Z')^(×) of non zero residues modulo p under multiplication and its unique subgroup of index three. Gauss lets , , and be its cosets. Taking the periods (sums of roots of unity) corresponding to these cosets applied to exp(2πi/p), he notes that these periods have a multiplication table that is accessible to calculation. Products are linear combinations of the periods, and he determines the coefficients. He sets, for example, equal to the number of elements of 'Z'/p'Z' which are in and which, after being increased by one, are also in He proves that this number and related ones are the coefficients of the products of the periods. To see the relation of these sets to the Weil conjectures, notice that if α and α + 1 are both in , then there exist x and y in 'Z'/p'Z' such that and ; consequently, Therefore is related to the number of solutions to in the finite field 'Z'/p'Z'. The other coefficients have similar interpretations. Gauss's determination of the coefficients of the products of the periods therefore counts the number of points on these elliptic curves, and as a byproduct he proves the analog of the Riemann hypothesis. The Weil conjectures in the special case of algebraic curves were conjectured by The case of curves over finite fields was proved by Weil, finishing the project started by Hasse's theorem on elliptic curves over finite fields. Their interest was obvious enough from within number theory: they implied upper bounds for exponential sums, a basic concern in analytic number theory
What was really eye catching, from the point of view of other mathematical areas, was the proposed connection with algebraic topology. Given that finite fields are discrete in nature, and topology speaks only about the continuous, the detailed formulation of Weil (based on working out some examples) was striking and novel. It suggested that geometry over finite fields should fit into well known patterns relating to Betti numbers, the Lefschetz fixed point theorem and so on. The analogy with topology suggested that a new homological theory be set up applying within algebraic geometry. This took two decades (it was a central aim of the work and school of Alexander Grothendieck) building up on initial suggestions from Serre. The rationality part of the conjectures was proved first by , using p adic methods. and his collaborators established the rationality conjecture, the functional equation and the link to Betti numbers by using the properties of étale cohomology, a new cohomology theory developed by Grothendieck and Michael Artin for attacking the Weil conjectures, as outlined in
Of the four conjectures the analogue of the Riemann hypothesis was the hardest to prove. Motivated by the proof of of an analogue of the Weil conjectures for Kähler manifolds, Grothendieck envisioned a proof based on his standard conjectures on algebraic cycles However, Grothendieck's standard conjectures remain open (except for the hard Lefschetz theorem, which was proved by Deligne by extending his work on the Weil conjectures), and the analogue of the Riemann hypothesis was proved by , using the étale cohomology theory but circumventing the use of standard conjectures by an ingenious argument. found and proved a generalization of the Weil conjectures, bounding the weights of the pushforward of a sheaf.

Проективная линия

Самый простой пример (кроме точки) — рассмотреть X как проективную прямую. Количество точек X над полем из q^(m) элементов равно (где "+ 1" обусловлено наличием "точки на бесконечности"). Функция дзета равна

Легко проверить все части гипотез Вейля напрямую. Например, соответствующее комплексное многообразие — сфера Римана, а её начальные числа Бетти равны 1, 0, 1.

Проективное пространство

Не намного сложнее построить n-мерное проективное пространство. Число точек X над полем с q^(m) элементами равно простому выражению. Функция дзета равна простому выражению.

Снова легко проверить все части гипотез Вейля напрямую. (Комплексное проективное пространство дает соответствующие числа Бетти, которые почти полностью определяют ответ.) Количество точек на проективной прямой и проективном пространстве так легко вычислить, потому что их можно представить как непересекающиеся объединения конечного числа копий аффинных пространств. Также легко доказать гипотезы Вейля для других пространств, таких как грассманианы и флаг-многообразия, которые обладают тем же свойством "мощения".

Кохомология Вейля

Вейль предположил, что следствия гипотез вытекают из существования подходящей "теории кохомологии Вейля" для многообразий над конечными полями, аналогичной обычной кохомологии с рациональными коэффициентами для комплексных многообразий. Его идея заключалась в том, что если F – это автоморфизм Фробениуса над конечным полем, то число точек многообразия X над полем порядка q^(m) равно числу неподвижных точек F^(m) (действующих на все точки многообразия X, определенные на алгебраическом замыкании). В алгебраической топологии число неподвижных точек автоморфизма можно вычислить с помощью теоремы Лефшеца о неподвижных точках, представленной как знакопеременная сумма следов по группам кохомологии. Таким образом, если бы существовали подобные группы кохомологий для многообразий над конечными полями, то дзета-функция могла бы быть выражена через них. Первая проблема заключается в том, что полем коэффициентов теории кохомологии Вейля не могут быть рациональные числа. Чтобы увидеть это, рассмотрим случай сверхсингулярной эллиптической кривой над конечным полем характеристики p. Кольцо эндоморфизмов этой кривой является порядком в кватернионной алгебре над рациональными числами и должно действовать на первую группу кохомологии, которая, по аналогии со случаем комплексной эллиптической кривой, должна быть двумерным векторным пространством над полем коэффициентов. Однако кватернионная алгебра над рациональными числами не может действовать на двумерное векторное пространство над рациональными числами. Тот же аргумент исключает возможность того, что полем коэффициентов являются действительные или p-адические числа, поскольку кватернионная алгебра остаётся алгеброй деления над этими полями. Однако это не исключает возможности того, что полем коэффициентов является поле ℓ-адических чисел для некоторого простого числа ℓ ≠ p, поскольку над этими полями алгебра деления расщепляется и становится матричной алгеброй, которая может действовать на двумерном векторном пространстве. Гротендик и Майкл Артин сумели построить подходящие теории кохомологии над полем ℓ-адических чисел для каждого простого числа ℓ ≠ p, называемые ℓ-адической кохомологией.

Weil suggested that the conjectures would follow from the existence of a suitable "Weil cohomology theory" for varieties over finite fields, similar to the usual cohomology with rational coefficients for complex varieties. His idea was that if F is the Frobenius automorphism over the finite field, then the number of points of the variety X over the field of order q^(m) is the number of fixed points of F^(m) (acting on all points of the variety X defined over the algebraic closure). In algebraic topology the number of fixed points of an automorphism can be worked out using the Lefschetz fixed point theorem, given as an alternating sum of traces on the cohomology groups. So if there were similar cohomology groups for varieties over finite fields, then the zeta function could be expressed in terms of them. The first problem with this is that the coefficient field for a Weil cohomology theory cannot be the rational numbers. To see this consider the case of a supersingular elliptic curve over a finite field of characteristic p. The endomorphism ring of this is an order in a quaternion algebra over the rationals, and should act on the first cohomology group, which should be a 2 dimensional vector space over the coefficient field by analogy with the case of a complex elliptic curve. However a quaternion algebra over the rationals cannot act on a 2 dimensional vector space over the rationals. The same argument eliminates the possibility of the coefficient field being the reals or the p adic numbers, because the quaternion algebra is still a division algebra over these fields. However it does not eliminate the possibility that the coefficient field is the field of ℓ adic numbers for some prime ℓ ≠ p, because over these fields the division algebra splits and becomes a matrix algebra, which can act on a 2 dimensional vector space. Grothendieck and Michael Artin managed to construct suitable cohomology theories over the field of ℓ adic numbers for each prime ℓ ≠ p, called ℓ adic cohomology.

Использование карандашей Лефшеца

Гротендик выразил дзета-функцию в терминах следа Фробениуса на ℓ-адических когомологических группах, поэтому гипотезы Вейля для d-мерного многообразия V над конечным полем с q элементами сводятся к доказательству того, что собственные значения α Фробениуса, действующего на i-ю ℓ-адическую когомологическую группу Hi(V) многообразия V, имеют абсолютную величину, равную qi/2 (для вложения алгебраических элементов Qℓ в комплексные числа). После прорыва V и расширения базового поля можно считать, что многообразие V имеет морфизм на проективную прямую P1 с конечным числом сингулярных волокон с очень умеренными (квадратичными) сингулярностями. Теория монодромии карандашей Лефшеца, введенная для комплексных многообразий (и обычной когомологии) и расширенная до ℓ-адической когомологии, связывает когомологию V с когомологией его волокон. Эта связь зависит от пространства Ex исчезающих циклов, подпространства когомологии Hd−1(Vx) несингулярного волокна Vx, порожденного классами, которые обращаются в нуль на сингулярных волокнах. Спектральная последовательность Лерая связывает среднюю когомологическую группу V с когомологией волокна и основания. Наиболее сложной частью является, по сути, группа H1(P1, j*E) = H(U,E), где U – множество точек проективной прямой с несингулярными волокнами, j – включение U в проективную прямую, а E – пучок, волокна которого являются пространствами Ex исчезающих циклов.

Второе доказательство Делинье

обнаружил и доказал обобщение гипотез Вейля, ограничивающее веса прямого образа пучка. На практике именно это обобщение, а не оригинальные гипотезы Вейля, чаще всего используется в приложениях, таких как жесткая теорема Лефшеца. Большая часть второго доказательства представляет собой перестановку идей его первого доказательства. Основная дополнительная идея, необходимая, — это аргумент, тесно связанный с теоремой Жака Адамара и Шарля Жана де ла Валле Пуссена, использованный Делинем для доказательства того, что различные L-ряды не имеют нулей с действительной частью 1. Конструируемый пучок на многообразии над конечным полем называется чистым веса β, если для всех точек x собственные значения Фробениуса в x имеют абсолютную величину N(x)β/2, и называется смешанным веса ≤ β, если его можно представить как последовательные расширения чистыми пучками с весами ≤ β. Теорема Делиня утверждает, что если f — морфизм схем конечного типа над конечным полем, то Rif! отображает смешанные пучки веса ≤ β в смешанные пучки веса ≤ β + i. Оригинальные гипотезы Вейля следуют из выбора f в качестве морфизма из гладкого проективного многообразия в точку и рассмотрения постоянного пучка Qℓ на этом многообразии. Это дает верхнюю границу для абсолютных величин собственных значений Фробениуса, а двойственность Пуанкаре показывает, что это также нижняя граница. В общем случае Rif! не отображает чистые пучки в чистые пучки. Однако это происходит, когда выполняется подходящая форма двойственности Пуанкаре, например, если f гладкий и проецирующий, или если работа ведется с перверсивными пучками, а не с пучками, как в. Вдохновленный работами по теории Морса, нашел другое доказательство, используя ℓ-адическое преобразование Фурье Делиня, что позволило ему упростить доказательство Делиня, избежав использования метода Адамара и де ла Валле Пуссена. Его доказательство обобщает классический расчет абсолютной величины гауссовых сумм, используя тот факт, что норма преобразования Фурье имеет простое соотношение с нормой исходной функции. использовали доказательство Лаумона в качестве основы для своего изложения теоремы Делиня. предложил дальнейшее упрощение доказательства Лаумона, используя монодромию в духе первого доказательства Делиня. предложил другое доказательство с использованием преобразования Фурье, заменив этальную когомологию жесткой когомологией.

found and proved a generalization of the Weil conjectures, bounding the weights of the pushforward of a sheaf. In practice it is this generalization rather than the original Weil conjectures that is mostly used in applications, such as the hard Lefschetz theorem. Much of the second proof is a rearrangement of the ideas of his first proof. The main extra idea needed is an argument closely related to the theorem of Jacques Hadamard and Charles Jean de la Vallée Poussin, used by Deligne to show that various L series do not have zeros with real part 1. A constructible sheaf on a variety over a finite field is called pure of weight β if for all points x the eigenvalues of the Frobenius at x all have absolute value N(x)β/2, and is called mixed of weight ≤ β if it can be written as repeated extensions by pure sheaves with weights ≤ β.

Deligne's theorem states that if f is a morphism of schemes of finite type over a finite field, then Rif! takes mixed sheaves of weight ≤ β to mixed sheaves of weight ≤ β + i. The original Weil conjectures follow by taking f to be a morphism from a smooth projective variety to a point and considering the constant sheaf Qℓ on the variety. This gives an upper bound on the absolute values of the eigenvalues of Frobenius, and Poincaré duality then shows that this is also a lower bound. In general Rif! does not take pure sheaves to pure sheaves. However it does when a suitable form of Poincaré duality holds, for example if f is smooth and proper, or if one works with perverse sheaves rather than sheaves as in
Inspired by the work of on Morse theory, found another proof, using Deligne's ℓ adic Fourier transform, which allowed him to simplify Deligne's proof by avoiding the use of the method of Hadamard and de la Vallée Poussin. His proof generalizes the classical calculation of the absolute value of Gauss sums using the fact that the norm of a Fourier transform has a simple relation to the norm of the original function. used Laumon's proof as the basis for their exposition of Deligne's theorem. gave a further simplification of Laumon's proof, using monodromy in the spirit of Deligne's first proof. gave another proof using the Fourier transform, replacing etale cohomology with rigid cohomology.

Приложения

смог доказать сложную теорему Лефшеца над конечными полями, используя своё второе доказательство гипотез Вейля. Ранее показал, что гипотеза Рамануджана — Петерссона вытекает из гипотез Вейля. Использовал гипотезы Вейля для доказательства оценок экспоненциальных сумм. Смогли доказать стандартную гипотезу Куннета над конечными полями, используя доказательство Делиня гипотез Вейля.