Кіріспе
Математикадағы сақиналар жиыны
Математикада сақиналы кеңістік – топологиялық кеңістіктің ашық ішкі жиындарымен параметрленген (коммутативті) сақиналар жиыны, шектеулер рөлін атқаратын сақиналық гомоморфизмдермен бірге. Дәлірек айтқанда, бұл құрылымдық буып деп аталатын сақиналар буыппен жабдықталған топологиялық кеңістік. Бұл ашық ішкі жиындардағы үздіксіз (скалярлық мәнді) функциялар сақиналары түсінігінің абстракциясы. Сақиналы кеңістіктердің ішінде, әсіресе маңызды және ерекше болып табылатыны – жергілікті сақиналы кеңістік: бір нүктедегі сабақ пен функциялардың тұқымдарының сақинасы арасындағы сәйкестік орынды болатын сақиналы кеңістік. Сақиналы кеңістіктер талдауда, сондай-ақ күрделі алгебралық геометрияда және алгебралық геометрияның схемалық теориясында қолданылады. Ескерту: Сақиналы кеңістіктің анықтамасында көптеген жарияланымдар сақиналарды коммутативті сақиналармен шектейді, оның ішінде Хартшорн және Уикипедия. Алгебралық геометрия элементтері, керісінше, коммутативтілік туралы талап қоймайды, бірақ кітап көбінесе коммутативті жағдайды қарастырады.
In mathematics, a ringed space is a family of (commutative) rings parametrized by open subsets of a topological space together with ring homomorphisms that play roles of restrictions. Precisely, it is a topological space equipped with a sheaf of rings called a structure sheaf. It is an abstraction of the concept of the rings of continuous (scalar valued) functions on open subsets. Among ringed spaces, especially important and prominent is a locally ringed space: a ringed space in which the analogy between the stalk at a point and the ring of germs of functions at a point is valid. Ringed spaces appear in analysis as well as complex algebraic geometry and the scheme theory of algebraic geometry. Note: In the definition of a ringed space, most expositions tend to restrict the rings to be commutative rings, including Hartshorne and Wikipedia. Éléments de géométrie algébrique, on the other hand, does not impose the commutativity assumption, although the book mostly considers the commutative case.
Анықтамалар
Сақиналы кеңістік – бұл топтологиялық кеңістік, оған сақиналар шоғыры қосылған. Бұл шоғыр – кеңістіктің құрылымдық шоғыры деп аталады. Жергілікті сақиналы кеңістік – бұл сақиналы кеңістік, онда шоғырдың барлық сабақтары жергілікті сақиналар болып табылады (яғни, олардың бірегей максималдық идеалдары бар). Әрбір ашық жиын үшін сақинаның жергілікті болуы міндетті емес екенін ескеріңіз; шындығында, мұндай жағдай сирек кездеседі.
A locally ringed space is a ringed space such that all stalks of are local rings (i. e. they have unique maximal ideals). Note that it is not required that be a local ring for every open set ; in fact, this is almost never the case.
Мысалдар
Кездейсоқ топологиялық кеңістікті, ашық ішкі жиындардағы нақты мәнді (немесе кешенді мәнді) үздіксіз функциялардың шоғын алып, жергілікті сақиналы кеңістік ретінде қарастыруға болады. Бір нүктедегі сабақ сол нүктедегі үздіксіз функциялардың барлық туындыларының жиынтығы деп есептелуі мүмкін; бұл, сол нүктеде мәні нөлге тең болатын туындылардан тұратын бірегей максималды идеалға ие жергілікті сақина болып табылады. Егер кеңістік қандай да бір қосымша құрылымы бар манифольд болса, біз дифференциалданатын немесе голоморфты функциялардың шоғын да алуға болады. Бұл екеуі де жергілікті сақиналы кеңістіктерге әкеледі. Егер кеңістік Зариски топологиясын алып жүретін алгебралық сан алуандық болса, біз Зариски ашық жиынында анықталған және оның ішінде шексіздікке ұшырамайтын (жарылмастан) рационалды бейнелеулер сақинасын деп қабылдап, жергілікті сақиналы кеңістікті анықтауға болады. Осы мысалдың маңызды жалпылауы – кез келген коммутативтік сақинаның спектрі; бұл спектрлер де жергілікті сақиналы кеңістіктер болып табылады. Схемалар – коммутативтік сақиналардың спектрлерін "бірге тіркеу" арқылы алынған жергілікті сақиналы кеңістіктер.
If is a manifold with some extra structure, we can also take the sheaf of differentiable, or holomorphic functions. Both of these give rise to locally ringed spaces. If is an algebraic variety carrying the Zariski topology, we can define a locally ringed space by taking to be the ring of rational mappings defined on the Zariski open set that do not blow up (become infinite) within The important generalization of this example is that of the spectrum of any commutative ring; these spectra are also locally ringed spaces. Schemes are locally ringed spaces obtained by "gluing together" spectra of commutative rings.
Тангенттік кеңістіктер
Жергілікті сақиналы кеңістіктер тангенс кеңістіктерін мағыналы түрде анықтау үшін қажетті құрылымға ие. Құрылымдық шоғыры бар жергілікті сақиналы кеңістік болсын; біз нүктедегі тангенс кеңістігін анықтағымыз келеді. Нүктедегі жергілікті сақинаны (сабақты) алыңыз, оның максималды идеалы бар. Содан кейін ол өріс болады және бұл өріс үстіндегі векторлық кеңістік болады (котангенс кеңістігі). Тангенс кеңістігі осы векторлық кеңістіктің дуалы ретінде анықталады. Идеясы мынадай: нүктедегі тангенс векторы сол нүктедегі "функцияларды" қалай "дифференциалдауға" болатынын көрсетуі керек, яғни элементтерін. Енді нүктеде мәні нөлге тең функцияларды қалай дифференциалдауды білу жеткілікті, өйткені қалған функциялардың барлығы осылардан тек тұрақтымен ғана ерекшеленеді, ал тұрақтыларды қалай дифференциалдауды білеміз. Сондықтан бізге тек қарастыру жеткілікті. Әрі, егер екі функцияның мәні нүктеде нөлге тең болса, онда олардың көбейтіндісінің туындысы да нүктеде нөлге тең болады, көбейту ережесіне сәйкес. Демек, бізге тек элементтеріне "сандарды" тағайындау керек, және осы жұмысты дуальді кеңістік атқарады.
Құрылымның үстіндегі модульдер
Жергілікті шеңберлі кеңістік берілгенде, модульдердің белгілі бір жиынтығы қосымшаларда пайда болады, яғни модульдер. Оларды анықтау үшін, егер F(U) – F-тің кез келген ашық жиыны U үшін сақинадағы модуль болса және шектеулік карталар модульдік құрылыммен сәйкес келсе, онда F-ті модуль деп атаймыз. Бұл жағдайда, F-тің кез келген нүктедегі сабағы жергілікті сақинаның (сабақтың) үстіндегі модуль болады. Екі модульдің арасындағы морфизм – бұл модульдік құрылымдармен сәйкес келетін шеңберлік морфизм. Белгілі бір жергілікті шеңберлі кеңістіктегі модульдер санаты – абельдік санаты. Модульдер санатының маңызды кіші санаты – квазикогерентті шеңберлер санаты. Егер модульдер шеңбері еркін модульдер арасындағы картаның кокернеліне жергілікті түрде изоморфты болса, онда ол квазикогерентті деп аталады. Когерентті шеңбер – бұл жергілікті түрде шекті типтегі квазикогерентті шеңбер және оның кез келген ашық жиынында, шекті дәрежелі еркін модульден кез келген морфизмнің ядросы да шекті типтегі болады.
A morphism between two such modules is a morphism of sheaves that is compatible with the given module structures. The category of modules over a fixed locally ringed space is an abelian category. An important subcategory of the category of modules is the category of quasi coherent sheaves on A sheaf of modules is called quasi coherent if it is, locally, isomorphic to the cokernel of a map between free modules. A coherent sheaf is a quasi coherent sheaf that is, locally, of finite type and for every open subset of the kernel of any morphism from a free module of finite rank to is also of finite type.