Гротендик топологиясы – математикадағы категориялар теориясының бөлімі. Категориялар үшін ашық жиынтарды анықтайды, шев және когомологияны құруға көмектеседі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Категория теориясында, математиканың бір саласы, Гротендик топологиясы – C категориясындағы мұрағат, ол C объектілерін топологиялық кеңістіктің ашық жиындары сияқты қызмет етуге мүмкіндік береді. Гротендик топологиясын таңдаған категория сайт деп аталады. Гротендик топологиясы ашық жабу түсінігін аксиомалайды. Гротендик топологиясымен ұсынылған жабу түсінігін пайдалану арқылы категориядағы қаптамаларды және олардың когомологиясын анықтауға болады. Бұл алғаш рет Александр Гротендик алгебралық геометрия және алгебралық сандар теориясында схеманың этальды когомологиясын анықтау үшін жасады. Одан бері ол басқа когомология теорияларын анықтау үшін де қолданылды, мысалы, ℓ-адық когомология, жазық когомология және кристалдық когомология. Гротендик топологиясы көбінесе когомология теориясын анықтау үшін қолданылады, бірақ олар Джон Тейттің қатаң аналитикалық геометрия теориясы сияқты басқа да қолданымдар тапты. Кез келген топологиялық кеңістікке сайтты сәйкестендірудің табиғи тәсілі бар, ал Гротендиктің теориясы классикалық топологияның жалпыламасы ретінде қарастырылады. Бұл толыққанды дұрыс, өйткені сәйкес келетін сайтынан таза кеңістікті қалпына келтіруге болады. Алайда, бейтарап топологиялық кеңістік сияқты қарапайым мысалдар, барлық топологиялық кеңістіктерді Гротендик топологияларын қолдана отырып бейнелеуге болмайтынын көрсетеді. Керісінше, топологиялық кеңістіктерден туындамайтын Гротендик топологиялары бар. «Гротендик топологиясы» терминінің мағынасы өзгерді. Бұрын ол қазір Гротендик претопологиясы деп аталатын нәрсені білдірді, және кейбір авторлар әлі де осы ескі мағынаны қолданады. кейбір авторлар анықтаманы өзгертіп, жабулардың орнына сілемдерді пайдалануды ұсынды. Көп жағдайларда бұл үлкен айырмашылық тудырмайды, өйткені әрбір Гротендик претопологиясы бірегей Гротендик топологиясын анықтайды, бірақ әр түрлі претопологиялар бірдей топологияны бере алады.
In category theory, a branch of mathematics, a Grothendieck topology is a structure on a category C that makes the objects of C act like the open sets of a topological space. A category together with a choice of Grothendieck topology is called a site. Grothendieck topologies axiomatize the notion of an open cover. Using the notion of covering provided by a Grothendieck topology, it becomes possible to define sheaves on a category and their cohomology. This was first done in algebraic geometry and algebraic number theory by Alexander Grothendieck to define the étale cohomology of a scheme. It has been used to define other cohomology theories since then, such as ℓ adic cohomology, flat cohomology, and crystalline cohomology. While Grothendieck topologies are most often used to define cohomology theories, they have found other applications as well, such as to John Tate's theory of rigid analytic geometry. There is a natural way to associate a site to an ordinary topological space, and Grothendieck's theory is loosely regarded as a generalization of classical topology. Under meager point set hypotheses, namely sobriety, this is completely accurate—it is possible to recover a sober space from its associated site. However simple examples such as the indiscrete topological space show that not all topological spaces can be expressed using Grothendieck topologies. Conversely, there are Grothendieck topologies that do not come from topological spaces. The term "Grothendieck topology" has changed in meaning. In it meant what is now called a Grothendieck pretopology, and some authors still use this old meaning. modified the definition to use sieves rather than covers. Much of the time this does not make much difference, as each Grothendieck pretopology determines a unique Grothendieck topology, though quite different pretopologies can give the same topology.
Шолу
Андре Вейльдің атақты Вейльдік болжамдары, интегралды коэффициенттері бар теңдеулердің белгілі бір қасиеттерін, оларды анықтайтын алгебралық санның геометриялық қасиеттері ретінде түсіну қажет екенін ұсынды. Оның болжамдары алгебралық санның кохомология теориясы болуы керек екенін көрсетті, ол олардың анықтамалық теңдеулері туралы сандық теориялық ақпаратты береді. Бұл кохомология теориясы "Вейль кохомологиясы" деп аталды, бірақ Вейль қолда бар құралдармен оны құрастыра алмады. 1960-шы жылдардың басында Александр Гротендик алгебралық геометрияға эталь карталарын, аналитикалық геометриядағы жергілікті аналитикалық изоморфизмдердің алгебралық аналогтары ретінде енгізді. Ол топологиялық кеңістіктің негізгі тобының алгебралық аналогын анықтау үшін эталь жабындыларын пайдаланды. Біраз уақыттан кейін Жан-Пьер Серр эталь жабындыларының кейбір қасиеттері ашық енгізулерді еліктейтінін байқады, соның салдарынан кохомология функторын имитациялайтын құрылымдар жасау мүмкін болды. Гротендик Серрдің идеясын Вейль кохомологиясы деп күдіктенген кохомология теориясын анықтау үшін пайдалануға болатынын түсінді. Бұл кохомология теориясын анықтау үшін Гротендикке әдеттегі, топологиялық ашық жабын туралы түсінікті, оның орнына эталь жабындыларын пайдаланатын түсінікпен алмастыру қажет болды. Гротендик сондай-ақ жабындының анықтамасын абстрактілі түрде қалай формулирлеуге болатынын көрді; осыдан Гротендик топологиясының анықтамасы пайда болды.
André Weil's famous Weil conjectures proposed that certain properties of equations with integral coefficients should be understood as geometric properties of the algebraic variety that they define. His conjectures postulated that there should be a cohomology theory of algebraic varieties that gives number theoretic information about their defining equations. This cohomology theory was known as the "Weil cohomology", but using the tools he had available, Weil was unable to construct it. In the early 1960s, Alexander Grothendieck introduced étale maps into algebraic geometry as algebraic analogues of local analytic isomorphisms in analytic geometry. He used étale coverings to define an algebraic analogue of the fundamental group of a topological space. Soon Jean Pierre Serre noticed that some properties of étale coverings mimicked those of open immersions, and that consequently it was possible to make constructions that imitated the cohomology functor Grothendieck saw that it would be possible to use Serre's idea to define a cohomology theory that he suspected would be the Weil cohomology. To define this cohomology theory, Grothendieck needed to replace the usual, topological notion of an open covering with one that would use étale coverings instead. Grothendieck also saw how to phrase the definition of covering abstractly; this is where the definition of a Grothendieck topology comes from.
Мотивация
Бураның классикалық анықтамасы топологиялық кеңістікпен басталады. Бура ақпаратты ашық жиынтықтарға байланыстырады. Бұл ақпаратты абстрактілі түрде, нысандары – кеңістіктің ашық кіші жиынтықтары, ал морфизмдері – ашық жиынтықтардың кіріктіру карталары болатын категорияны қарастыру арқылы түйіндеуге болады. Мұндай карталарды, схемалар контексіндегідей, ашық кіріктірулер деп атаймыз. Содан кейін, кеңістіктегі прешеф – жиынтар санатына ковариантты функтор, ал бура – жабыстыру аксиомасын (бұл жерде бөлу аксиомасын қоса алғанда) қанағаттандыратын прешеф. Жабыстыру аксиомасы нүктелік жабу арқылы тұжырымдалады, яғни жабу орын алады, егер және тек қана егер . Осы анықтамада, Grothendieck топологиялары әрбір ашық жиынтықты ашық жиынтықтардың толық отбасымен алмастырады; осы мысалда, ол барлық ашық кіріктірулер отбасымен алмастырылады. Мұндай жиынтық – сілем деп аталады. Нүктелік жабу, жабу отбасы түсінігімен ауыстырылады; жоғарыдағы мысалда, барлық кіріктірулердің жиынтығы сілемдердің жабу отбасы болып табылады. Жабу отбасыларын аксиоматизациялауға болады, және бұл орындалғаннан кейін, ашық жиынтықтар мен нүктелік жабу кеңістіктің басқа қасиеттерін сипаттайтын басқа ұғымдармен алмастырылуы мүмкін.
The classical definition of a sheaf begins with a topological space A sheaf associates information to the open sets of This information can be phrased abstractly by letting be the category whose objects are the open subsets of and whose morphisms are the inclusion maps of open sets and of We will call such maps open immersions, just as in the context of schemes. Then a presheaf on is a contravariant functor from to the category of sets, and a sheaf is a presheaf that satisfies the gluing axiom (here including the separation axiom). The gluing axiom is phrased in terms of pointwise covering, i. e., covers if and only if In this definition, is an open subset of Grothendieck topologies replace each with an entire family of open subsets; in this example, is replaced by the family of all open immersions Such a collection is called a sieve. Pointwise covering is replaced by the notion of a covering family; in the above example, the set of all as varies is a covering family of Sieves and covering families can be axiomatized, and once this is done open sets and pointwise covering can be replaced by other notions that describe other properties of the space .
Сипалар
Гротендик топологиясында U ашық жиынтықтарының кіріктіру бойынша тұрақты жиынының түсінігі сита түсінігімен алмастырылады. Егер c – C-дегі кез келген берілген объект болса, онда c-дегі сита Hom(−, c) функторының субфункторы болып табылады; (бұл c-ге қолданылатын Йонеда енгізілуі). O(X) жағдайында, ашық жиынтық U-дегі S ситасы U-дің кіріктіру бойынша тұрақты ашық қосалқы жиынтықтарының жиынын таңдайды. Нақтырақ айтқанда, кез келген ашық V ⊆ U үшін, S(V) – Hom(V, U) жиынының ішкі жиыны болады, онда тек бір элемент бар – ашық енгізілу V → U. Содан кейін V, егер және тек қана S(V) бос емес болса, S арқылы «таңдалған» деп есептеледі. Егер W жиыны V жиынының ішкі жиыны болса, онда W → V кіріктіруімен құрастырылатын S(V) → S(W) морфизмі болады. Егер S(V) бос емес болса, онда S(W) да бос емес болады. Егер S – X-тегі сита болса, ал f: Y → X – морфизм болса, онда f-тің сол жақтан құрастырылуы Y-де сита береді, бұл f бойынша S-тің кері тартылуы деп аталады және fS деп белгіленеді. Ол S ×Hom(−, X) Hom(−, Y) талшықты көбейтіндісі және Hom(−, Y) ішіне табиғи енгізілу ретінде анықталады. Нақтырақ айтқанда, C-дің әрбір Z объекты үшін fS(Z) = { g: Z → Y | fg ∈ S(Z) }, ал fS морфизмдердегі әрекетін Hom(−, Y) субфункторы ретінде мұралайды. Классикалық мысалда, W → U кіріктіруі бойынша U-дің {Vi} ішкі жиындары жиыны {Vi ∩ W} жиыны болып табылады.
In a Grothendieck topology, the notion of a collection of open subsets of U stable under inclusion is replaced by the notion of a sieve. If c is any given object in C, a sieve on c is a subfunctor of the functor Hom(−, c); (this is the Yoneda embedding applied to c). In the case of O(X), a sieve S on an open set U selects a collection of open subsets of U that is stable under inclusion. More precisely, consider that for any open subset V of U, S(V) will be a subset of Hom(V, U), which has only one element, the open immersion V → U. Then V will be considered "selected" by S if and only if S(V) is nonempty. If W is a subset of V, then there is a morphism S(V) → S(W) given by composition with the inclusion W → V. If S(V) is non empty, it follows that S(W) is also non empty. If S is a sieve on X, and f: Y → X is a morphism, then left composition by f gives a sieve on Y called the pullback of S along f, denoted by fS. It is defined as the fibered product S ×Hom(−, X) Hom(−, Y) together with its natural embedding in Hom(−, Y). More concretely, for each object Z of C, fS(Z) = { g: Z → Y | fg S(Z) }, and fS inherits its action on morphisms by being a subfunctor of Hom(−, Y). In the classical example, the pullback of a collection {Vi} of subsets of U along an inclusion W → U is the collection {Vi∩W}.
Гротендик топологиясы
Grothendieck топологиясы J — C санатындағы әрбір объекті c үшін, c-нің ерекшеленген сырғаларының жиынтығы, J(c) арқылы белгіленеді және c-нің қаптама сырғалары деп аталады. Бұл таңдау төменде келтірілген белгілі бір аксиомаларға бағынады. Алдыңғы мысалды жалғастыра отырып, O(X)-дегі U ашық жиынындағы S сырғасы, егер және тек қана егер S(V) бос емес барлық V ашық жиындарының бірігуі U-ға тең болса, қаптама сырғасы болады; яғни, егер және тек қана егер S бізге классикалық мағынада U-ді жабатын ашық жиындар жиынтығын берсе.
A Grothendieck topology J on a category C is a collection, for each object c of C, of distinguished sieves on c, denoted by J(c) and called covering sieves of c. This selection will be subject to certain axioms, stated below. Continuing the previous example, a sieve S on an open set U in O(X) will be a covering sieve if and only if the union of all the open sets V for which S(V) is nonempty equals U; in other words, if and only if S gives us a collection of open sets that cover U in the classical sense.
Дискретті және дискретті емес топологиялар
C кез келген санат болсын. Дискретті топологияны анықтау үшін, барлық сырғаларды жабатын сырғалар деп жариялаймыз. Егер C-де барлық талшықты көбейтінділер болса, бұл барлық отбасыларды жабатын отбасылар деп жариялаумен бірдей. Индискретті топологияны анықтау үшін, сонымен қатар ірі немесе хаотикалық топология деп аталатын, біз тек Hom(−, X) түріндегі сырғаларды ғана жабатын сырғалар деп жариялаймыз. Индискретті топология тек изоморфизмдерді жабатын отбасылар ретінде қамтитын претопология арқылы туындайды. Индискретті сайттағы шоғыр, алдын ала шоғырмен бірдей.
Let C be any category. To define the discrete topology, we declare all sieves to be covering sieves. If C has all fibered products, this is equivalent to declaring all families to be covering families. To define the indiscrete topology, also known as the coarse or chaotic topology, we declare only the sieves of the form Hom(−, X) to be covering sieves. The indiscrete topology is generated by the pretopology that has only isomorphisms for covering families. A sheaf on the indiscrete site is the same thing as a presheaf.
Каноникалық топология
C кез келген санат болсын. Йонеда енгізуі C-нің әрбір X объектісі үшін Hom(−, X) функторын береді. Каноникалық топология – бұл ең ірі (нақты) топология, онда әрбір өкілдік прешеф, яғни Hom(−, X) түріндегі прешеф, шеф болады. Осы сайт үшін жабу сырғасы немесе жабу отбасы қатаң түрде әмбебап эпиморфты деп аталады, себебі ол колимит конусының қабырғаларынан тұрады (оның құраушы морфизмдер домендеріндегі толық диаграмма бойынша) және бұл колимиттер C-дегі морфизмдер бойынша кері тартылуларға қатысты тұрақты. Каноникалық топологиядан гөрі нашаррақ топология, яғни әрбір жабу сырғасы қатаң түрде әмбебап эпиморфты болатын топология, субканоникалық деп аталады. Субканоникалық сайттар – бұл Hom(−, X) түріндегі әрбір прешеф шеф болатын сайттар. Көбінесе практикада кездесетін сайттар субканоникалық болып табылады.
Let C be any category. The Yoneda embedding gives a functor Hom(−, X) for each object X of C. The canonical topology is the biggest (finest) topology such that every representable presheaf, i. e. presheaf of the form Hom(−, X), is a sheaf. A covering sieve or covering family for this site is said to be strictly universally epimorphic because it consists of the legs of a colimit cone (under the full diagram on the domains of its constituent morphisms) and these colimits are stable under pullbacks along morphisms in C. A topology that is less fine than the canonical topology, that is, for which every covering sieve is strictly universally epimorphic, is called subcanonical. Subcanonical sites are exactly the sites for which every presheaf of the form Hom(−, X) is a sheaf. Most sites encountered in practice are subcanonical.