Кіріспе

Сақинаның алғашқы идеалдар жиынтығы. Гомотопия теориясындағы сақина спектрінің ұғымы. Коммутативтік алгебрада, R коммутативтік сақинаның алғашқы спектрі (немесе жай ғана спектрі) – R-дың барлық алғашқы идеалдарының жиынтығы, және әдетте символымен белгіленеді; алгебралық геометрияда ол сақиналардың шоғымен жабдықталған топологиялық кеңістік болып табылады.

Зариски топологиясы

R-дің кез келген идеалы I үшін, I-ді қамтитын алғашқы идеалдар жиыны деп анықтаймыз. Біз жиынтықтағы жабық жиындар жиынын анықтап, осы жиынға топологиялық құрылым бере аламыз. Бұл топология Зариски топологиясы деп аталады. Зариски топологиясының негізін келесідей құрастыруға болады. f ∈ R үшін, Df-ды f-ты қамтамайтын R-дің алғашқы идеалдарының жиыны деп анықтаймыз. Содан кейін әр Df – бұл ашық ішкі жиыны, ал Зариски топологиясының негізі болып табылады. Бұл кеңістік компактты, бірақ дерлік ешқашан Хаусдорф кеңістігі емес: шындығында, R-дегі максималды идеалдар осы топологиядағы жабық нүктелерге дәл сәйкес келеді. Осыған байланысты, жалпы жағдайда T1 кеңістігі емес. Дегенмен, әрқашан Колмогоров кеңістігі (T0 аксиомасын қанағаттандырады); сонымен қатар, ол спектральдық кеңістік болып табылады.

Қалқандар мен схемалар

Зариски топологиясымен берілген кеңістікте, құрылымдық шоғыр R-дің f-тің дәрежелеріне қатысты локализациясы арқылы ерекшеленген ашық ішкі жиындарда анықталады. Бұл B-шоғырды анықтайтынын, демек шоғырды анықтайтынын көрсетуге болады. Ерекшеленген ашық ішкі жиындар Зариски топологиясының базасын құрайды, сондықтан кез келген ашық жиын U, ашық жиындардың бірітіндісі ретінде жазылса, онда біз оны былай анықтаймыз: , мұнда – табиғи сақина гомоморфизмдеріне қатысты кері шек. Бұл прешоғыр шоғыр екенін тексеруге болады, сондықтан – сақиналанған кеңістік. Осы формадағы кез келген сақиналанған кеңістік аффиндік схема деп аталады. Жалпы схемалар аффиндік схемаларды біріктіру арқылы алынады. Сол сияқты, R сақинасының M модулі үшін, модульдің локализациясын пайдаланып, ашық ішкі жиындарда шоғырды анықтауға болады. Жоғарыда айтылғандай, бұл құрылым барлық ашық ішкі жиындардағы прешоғырға дейін кеңейтіледі және желімдеу аксиомасын қанағаттандырады. Мұндай формадағы шоғыр квазикогерентті шоғыр деп аталады. Егер P – нүкте болса, яғни, жай идеал болса, онда P нүктесіндегі құрылымдық шоғырдың сабағы R-дің P идеалына қатысты локализациясына тең, және бұл жергілікті сақина болады. Осыдан келіп, – жергілікті сақиналанған кеңістік. Егер R – K бөлшектер өрісі бар интегралды домен болса, онда сақинаны келесідей нақтырақ сипаттауға болады. Егер K-дегі f элементі P нүктесінде тұрақты болса, яғни оны 1=f = a/b түрінде көрсетуге болады, мұнда b P-ге жатпайды, десек болады. Бұл алгебралық геометриядағы тұрақты функция ұғымымен сәйкес келеді. Осы анықтаманы пайдаланып, біз U-дағы барлық P нүктелерінде тұрақты K элементтерінің жиынтығын дәл сипаттай аламыз.

Функционалдық көзқарас

Категориялар теориясының тілін қолдану және ол функтор екенін байқау пайдалы. Кез келген сақина гомоморфизмі үздіксіз бейнелеуді тудырады (өйткені кез келген жай идеалдың кері бейнесі жай идеал болып табылады). Осылайша, оны коммутативті сақиналар категориясынан топологиялық кеңістіктер категориясына дейінгі ковариантты функтор ретінде қарастыруға болады. Әрі, кез келген жай сан үшін гомоморфизм жергілікті сақиналардың гомоморфизмдеріне дейін төмендейді. Осылайша, ол тіпті коммутативті сақиналар категориясынан жергілікті сақиналы кеңістіктер категориясына дейінгі ковариантты функторды анықтайды. Шындығында, бұл мұндай функтордың әмбебап түрі болып табылады, сондықтан оны табиғи изоморфизмге дейін функторды анықтау үшін қолдануға болады. Бұл функтор коммутативті сақиналар категориясы мен аффиндік схемалар категориясы арасындағы ковариантты теңдестік береді; осы категориялардың әрқайсысы көбінесе біріншісінің қарама-қарсы категориясы ретінде қарастырылады.

Алгебралық геометриядан мотивация

Үлгіге сүйене отырып, алгебралық геометрияда алгебралық жиынтықтарды, яғни Kn-нің (мұнда K – алгебралық жабық өріс) кіші жиынтықтарын зерттейді, олар n айнымалыдағы көпмүшелер жиынтығының ортақ нөлдері ретінде анықталады. Егер A осындай алгебралық жиын болса, онда A → K полиномиалдық функцияларының барлық коммутативтік сақинасы R қарастырылады. R-дің максималдық идеалдары A нүктелеріне сәйкес келеді (өйткені K алгебралық жабық), ал R-дің жай идеалдары A-ның кіші әртүрліліктеріне сәйкес келеді (алгебралық жиын егер оны екі нақты алгебралық кіші жиынның біріндісі ретінде жазу мүмкін болмаса, азайтылмайтын немесе әртүрлілік деп аталады). Сондықтан R спектрі A нүктелерінен және A-ның барлық кіші әртүрліліктерінің элементтерінен тұрады. A нүктелері спектрде жабық, ал кіші әртүрліліктерге сәйкес келетін элементтердің жабылуы барлық нүктелері мен кіші әртүрліліктерінен құралады. Егер A нүктелерін ғана қарастырсақ, яғни R-дегі максималдық идеалдарды, онда жоғарыда анықталған Зариски топологиясы алгебралық жиынтықтардағы Зариски топологиясымен сәйкес келеді (мұнда алгебралық кіші жиынтықтар жабық жиынтықтар болып табылады). Нақтырақ айтқанда, R-дегі максималдық идеалдар, яғни Зариски топологиясымен бірге, A-ға да Зариски топологиясымен гомеоморфты болады. Осылайша, топологиялық кеңістікті A топологиялық кеңістігінің «толықтыруы» ретінде қарастыруға болады: A-ның әрбір кіші әртүрлілігі үшін қосымша жабық емес бір нүкте енгізіледі және бұл нүкте сәйкес кіші әртүрлілік туралы «ақпаратты сақтайды». Бұл нүкені кіші әртүрлілік үшін жалпы нүкте деп қарастыруға болады. Сонымен қатар, және A-дағы полиномиалдық функциялардың шоғы негізінен бірдей. Зариски топологиясымен алгебралық жиынтықтардың орнына полиномиалдық сақиналардың спектрлерін зерттеу арқылы алгебралық геометрия ұғымдарын алгебралық жабық емес өрістерге және одан әрі дамытуға болады, соңында схемалар тіліне жетеді.

Мысалдар

Бүкіл сандар спектрі: Аффиналы схема – аффиналы схемалар санатындағы соңғы объект, себебі коммутативті сақиналар санатындағы бастапқы объект болып табылады. : Аффиналы схема. Сұлбалық теориялық аналогы: нүктенің бағалау морфизмі арқылы анықталады. Бұл негізгі байқау бізге басқа аффиналы схемаларға түсінік беруге мүмкіндік береді. Крос: топологиялық тұрғыдан екі кешенді жазықтықтың бір нүктеде қиылысуына ұқсайды, бірақ көбінесе бұл ретінде бейнеленеді, себебі -ға жақсы анықталған морфизмдер нүктелермен байланысты бағалау морфизмдері ғана болып табылады. Бульдік сақинаның (мысалы, қуат жиыны сақинасының) жай спектрі – үйлесімсіз, толық ажыратылған және Хаусдорф кеңістігі (яғни, Стоун кеңістігі). (М. Хохстер) Топологиялық кеңістік коммутативті сақинаның (яғни, спектрлік кеңістік) жай спектріне гомеоморфты, егер және тек қана егер ол тығыз, квази-бөлінген және адал болса.

Қауымдастығы жоқ мысалдар

Міне, аффиналық емес схемалардың бірнеше мысалдары. Олар аффиналық схемаларды біріктіру арқылы құрастырылады. Дала үстіндегі проективті кеңістік. Бұл кез келген негізгі сақинаға оңай жалпылауға болады, Proj құрылымын қараңыз (іс жүзінде, біз кез келген негізгі схема үшін проективті кеңістікті анықтай аламыз). -тің проективті кеңістігі аффиналық емес, себебі -нің жаһандық қимасы – бастапқы нүктесі алынған аффиналық жазықтық. -нің ішінде ерекшеленген ашық аффиналық кіші-схемалар бар. Олардың біріктірілісі – бастапқы нүктесі алынған аффиналық жазықтық. -нің жаһандық қималары – -дағы бір полиномға шектелетін полиномдар жұбы, олардың саны -қа тең екенін көрсетуге болады, -нің жаһандық қимасы аффиналық емес, мысалы: .

Негізгі спектрдегі Зарискиге жатпайтын топологиялар

Кейбір авторлар (әсіресе М. Хохстер) негізгі спектрлерде Зариски топологиясынан өзге топологияларды қарастырады. Біріншіден, құрастырылатын топология ұғымы бар: А сақинасы берілген болса, түріндегі кіші жиынтықтар топологиялық кеңістіктегі жабық жиынтықтардың аксиомаларын қанағаттандырады. Бұл топология құрастырылатын топология деп аталады. Хохстер еңбектерінде ол негізгі спектрдегі «жапсырма топологиясы» деп аталатын нәрсені қарастырады. Анықтама бойынша, жапсырма топологиясы – және түріндегі жиынтықтар жабық болатын ең кіші топология.

Жалпы немесе салыстырмалы Spec

Функтордың салыстырмалы нұсқасы бар, ол global немесе relative деп аталады. Егер схема болса, онда relative деп белгіленеді немесе егер контексттен анық болса, онда relative Spec деп белгіленеді немесе . Схема және алгебраларының квази-когерентті шоғы үшін, әрбір ашық аффин үшін изоморфизм бар, және ашық аффиндер үшін, енгізу шектеу картасымен туындайды. Яғни, сақина гомоморфизмдері спектрлердің кері карталарын туындайды, алгебра шоғының шектеу карталары шоқтың Spec-ін құрайтын спектрлердің енгізу карталарын туындайды. Global Spec, қарапайым Spec сияқты, жалпыға бірдей қасиетке ие. Нақтырақ айтқанда, Spec және глобалды қима функторы коммутативті сақиналар мен схемалар категориясы арасындағы ковариантты оң жақтағы жалғаулар болса, global Spec және құрылымдық карта үшін тікелей бейне функторы коммутативті алгебралар мен схемалар категориясы арасындағы ковариантты оң жақтағы жалғаулар болып табылады. Формуламен көрсетсек:

мұнда схемалардың морфизмі.

Өкілдік теориясының көзқарасы

Өкілдік теориясы тұрғысынан алғанда, I негізгі идеалы R/I модуліне сәйкес келеді, ал сақинаның спектрі R-дің қысқартылмайтын циклдік өкілдіктеріне сәйкес келеді, ал жалпырақ субварианттар циклдік болуы міндетті емес, ықтимал қысқартылатын өкілдіктерге сәйкес келеді. Естеріңізге сала кетейік, топтың өкілдік теориясы – оның топтық алгебрасы бойынша модульдерді зерттеу. Полиномиялық сақинаны немесе негізсіз қарастырғанда өкілдік теориясымен байланыс анық көрінеді. Соңғы жазбада көрсетілгендей, полиномиялық сақина – векторлық кеңістіктегі топтық алгебра, ал оны жазу векторлық кеңістіктің негізін таңдауға сәйкес келеді. Онда идеал I, немесе эквивалентті түрде модуль R, R модулі ретінде 1 элементпен туындатылатын R-дің циклдік өкілдігі болып табылады (циклдік – 1 өлшемді өкілдіктерді жалпылау). Егер өріс алгебралық жабық болса (мысалы, комплекс сандар), онда әрбір максималды идеал Nullstellensatz бойынша n кеңістіктегі бір нүктеге сәйкес келеді (яғни, нүктеге сәйкес келетін максималды идеал). Бұл өкілдіктер содан кейін ковектордың берген екілік кеңістігімен параметрленеді, әрбір элементті сәйкес келетінге жіберіп. Осылайша, (K-сызықтық түрлендірулер) өкілдігі n санның жиынтығымен немесе эквивалентті ковектормен беріледі. Демек, n кеңістіктегі нүктелер, R-дің 1 өлшемді өкілдіктеріне тура сәйкес келеді, ал нүктелердің шекті жиынтығы – шекті өлшемді өкілдіктерге сәйкес келеді (олар қысқартылатын, геометриялық тұрғыдан одаққа, ал алгебралық тұрғыдан негізгі идеал емеске сәйкес келеді). Максималды емес идеалдар шексіз өлшемді өкілдіктерге сәйкес келеді.

Жалпылау

Операторлар теориясында спектр сақиналардан C* алгебраларға жалпыланады, нәтижесінде C* алгебраның спектрі түсінігі пайда болады. Ерекше айта кетелік, Хаусдорф кеңістігі үшін скалярлар алгебрасы (кеңістіктегі шектелген үздіксіз функциялар, бұл тұрақты функцияларға ұқсас) коммутативті C* алгебрасы болып табылады, ал кеңістік скалярлар алгебрасынан топологиялық кеңістік ретінде қалпына келтіріледі, тіпті функционалды түрде; осының мәні Банах-Стоун теоремасында жатыр. Шындығында, кез келген коммутативті C* алгебрасын осылай Хаусдорф кеңістігінің скалярлар алгебрасы ретінде жүзеге асыруға болады, бұл сақина мен оның спектрі арасындағы дәл сол сәйкестікті қамтамасыз етеді. Коммутативті емес C* алгебраларына жалпылау коммутативті емес топологияны тудырады.