Топологиялық кеңістіктердегі шевтер: жергілікті деректерді қадағалау құралы

Шефтер – топологиялық кеңістіктердегі ашық жиындарға тіркелген мәліметтерді жүйелеуге арналған математикалық құрал. Шеф теориясы, анықтамалар мен қасиеттері.

13 мин оқу

100%

Дереккөз: Sheaf (mathematics) — Wikipedia

Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.

Мазмұны

Кіріспе

Топологиялық кеңістіктің ашық жиындарына тіркелген жергілікті анықталған деректерді қадағалау құралы – топологиялық кеңістіктердегі қаптамалар

Математикада қаптама (қаптамалар) – топологиялық кеңістіктің ашық жиындарына тіркелген және оларға қатысты жергілікті анықталған деректерді (мысалы, жиындарды, абельдік топтарды, сақиналарды) жүйелі түрде қадағалау құралы. Мысалы, әрбір ашық жиын үшін деректер сол ашық жиын бойынша анықталған үздіксіз функциялар сақинасы болуы мүмкін. Мұндай деректер кіші ашық жиындарға шектелуі мүмкін, сондай-ақ ашық жиынға берілген деректер бастапқы ашық жиынды қамтитын кіші ашық жиындардың жиынтықтарына берілген барлық үйлесімді деректер жинақтарына тең (интуитивті түрде, әрбір дерек оның құрамдас деректерінің қосындысы). Математиканың қаптамаларды зерттейтін саласы – қаптамалар теориясы деп аталады. Қаптамалар тұжырымдамалық тұрғыдан жалпы және абстракт объектілер ретінде түсініледі. Олардың дұрыс анықтамасы техникалық болып табылады. Олар, мысалы, ашық жиындарға берілген деректердің түріне байланысты жиындардың немесе сақиналардың қаптамалары ретінде нақты анықталады. Сонымен қатар, бір қаптамадан екіншісіне карталар (немесе морфизмдер) бар; қаптамалар (белгілі бір типтегі, мысалы, абельдік топтардың қаптамалары) олардың морфизмдерімен бірге белгілі бір топологиялық кеңістікте категорияны құрайды. Екінші жағынан, әрбір үздіксіз картаға тікелей бейне функторы (домендегі қаптамалар мен олардың морфизмдерін кодомендегі қаптамалар мен морфизмдерге жіберетін) және кері бейне функторы (кері бағытта жұмыс істейтін) байланыстырылады. Бұл функторлар және олардың кейбір түрлері қаптамалар теориясының маңызды бөлігі болып табылады. Жалпы табиғаты мен әмбебаптығына байланысты қаптамалар топологияда, әсіресе алгебралық және дифференциалдық геометрияда көптеген қолданысқа ие. Біріншіден, дифференциалданатын көпқырлы немесе схема сияқты геометриялық құрылымдар кеңістіктегі сақиналар қаптамасы түрінде берілуі мүмкін. Мұндай жағдайларда векторлық қаптамалар немесе бөлгіштер сияқты көптеген геометриялық құрылымдар табиғи түрде қаптамалар арқылы сипатталады. Екіншіден, қаптамалар өте жалпы кохомология теориясының негізін құрайды, ол сингулярлы кохомология сияқты «дәстүрлі» топологиялық кохомология теорияларын да қамтиды. Әсіресе алгебралық геометрияда және күрделі көпқырлылықтар теориясында қаптамалар кохомологиясы кеңістіктердің топологиялық және геометриялық қасиеттері арасындағы берік байланысты қамтамасыз етеді. Қаптамалар сонымен қатар дифференциалдық теңдеулер теориясына қолданылатын D-модульдер теориясының негізін құрайды. Сонымен қатар, қаптамалардың топологиялық кеңістіктерден асып түсетін, мысалы, Гротендик топологиясы сияқты жалпы жағдайларға таралуы математикалық логика мен сан теориясына қолданыс табуға мүмкіндік берді.

In mathematics, a sheaf (: sheaves) is a tool for systematically tracking data (such as sets, abelian groups, rings) attached to the open sets of a topological space and defined locally with regard to them. For example, for each open set, the data could be the ring of continuous functions defined on that open set. Such data are well behaved in that they can be restricted to smaller open sets, and also the data assigned to an open set are equivalent to all collections of compatible data assigned to collections of smaller open sets covering the original open set (intuitively, every datum is the sum of its constituent data). The field of mathematics that studies sheaves is called sheaf theory. Sheaves are understood conceptually as general and abstract objects. Their correct definition is rather technical. They are specifically defined as sheaves of sets or as sheaves of rings, for example, depending on the type of data assigned to the open sets. There are also maps (or morphisms) from one sheaf to another; sheaves (of a specific type, such as sheaves of abelian groups) with their morphisms on a fixed topological space form a category. On the other hand, to each continuous map there is associated both a direct image functor, taking sheaves and their morphisms on the domain to sheaves and morphisms on the codomain, and an inverse image functor operating in the opposite direction. These functors, and certain variants of them, are essential parts of sheaf theory. Due to their general nature and versatility, sheaves have several applications in topology and especially in algebraic and differential geometry. First, geometric structures such as that of a differentiable manifold or a scheme can be expressed in terms of a sheaf of rings on the space. In such contexts, several geometric constructions such as vector bundles or divisors are naturally specified in terms of sheaves. Second, sheaves provide the framework for a very general cohomology theory, which encompasses also the "usual" topological cohomology theories such as singular cohomology. Especially in algebraic geometry and the theory of complex manifolds, sheaf cohomology provides a powerful link between topological and geometric properties of spaces. Sheaves also provide the basis for the theory of D modules, which provide applications to the theory of differential equations. In addition, generalisations of sheaves to more general settings than topological spaces, such as Grothendieck topology, have provided applications to mathematical logic and to number theory.

Анықтамалар мен мысалдар

Көптеген математикалық салаларда топологиялық кеңістікте анықталған бірнеше құрылымдар (мысалы, дифференциалданатын көптік) табиғи түрде локализациялануы немесе ашық ішкі жиынтарға шектелуі мүмкін: типтік мысалдарға үздіксіз нақты немесе кешенді мәнді функциялар, белгілі рет дифференциалданатын (нақты немесе кешенді мәнді) функциялар, шектелген нақты мәнді функциялар, векторлық өрістер және кеңістіктегі кез келген векторлық шоғырдың қималары жатады. Деректерді кішірек ашық ішкі жиынтарға шектеу мүмкіндігі прешевтер ұғымын тудырады. Шамамен айтқанда, шоғырлар – бұл жергілікті деректерді жаһандық деректерге біріктіруге болатын прешевтер.

Шалғыштардағы шабақтар

Өлшемдік көпқырлылықта бірнеше маңызды қабаттар бар, мысалы, рет үздіксіз дифференциалданатын функциялардың қабаты (мұндағы ). Оның белгілі бір ашық жиындардағы қималары — функциялар. -ке тең болғанда, бұл қабат құрылымдық қабат деп аталады және арнайы белгіленеді. Нөлдік емес функциялар да қабат құрайды, олар арнайы белгіленеді. Дәрежелі дифференциалдық формалар да қабат құрайды. Осы мысалдардың барлығында шектеу гомоморфизмдері функцияларды немесе формаларды шектеу арқылы беріледі. жіберуді компактты қолдауға ие функцияларға бағындау қабат емес, себебі, әдетте, кішірек ашық жиынға өту арқылы осы қасиетті сақтаудың жолы жоқ. Оның орнына, бұл қоса қабат, яғни дуал ұғым, онда шектеу карталары қабаттарға қарағанда кері бағытта жүреді. Дегенмен, осы векторлық кеңістіктердің дуалы таралымдар қабатын береді.

Күрделі аналитикалық кеңістік пен алгебралық геометриядан мотивациялық қаптамалар

Орамдардың тарихи тұрғыдан алғандағы негізгі себептерінің бірі — алгебралық геометриядан күрделі көптүрліліктерді, күрделі аналитикалық геометрияны және схемалар теориясын зерттеу болды. Себебі бұл жағдайлардың бәрінде де біз топологиялық кеңістікті құрылымдық ораммен бірге қарастырамыз, ол оған күрделі көптүрлілік, күрделі аналитикалық кеңістік немесе схема құрылымын береді. Топологиялық кеңістікті ораммен жабдықтауға қатысты осы көзқарас жергілікті сақиналы кеңістіктер теориясы үшін өте маңызды (төменде қараңыз).

Күрделі коллекторлардың техникалық қиындықтары

Қалталарды енгізудің негізгі тарихи себептерінің бірі – күрделі көптүрліліктердегі голоморфтық функцияларды қадағалауға мүмкіндік беретін құрылғыны жасау. Мысалы, тығыз күрделі көптүрлілікте (күрделі проекциялық кеңістік сияқты немесе гомогенді полиномның проекциялық кеңістіктегі нөлдік жиынында) тек тұрақты функциялар ғана голоморфтық функциялар болып табылады. Бұл екі тығыз күрделі көптүрлілік изоморфты емес болуы мүмкін, бірақ олардың ғаламдық голоморфтық функцияларының сақиналары, белгіленген, изоморфты болады. Бұл жағдай тегіс көптүрліліктермен салыстырғанда өзгеше, онда кез келген көптүрлілікті ішіне енгізуге болады, сондықтан оның тегіс функциялар сақинасы функцияларды шектеу арқылы алынады. Күрделі көптүрліліктегі голоморфтық функциялар сақинасын қарастырғанда туындайтын тағы бір қиындық – жеткілікті кішкентай ашық жиын үшін, голоморфтық функциялар изоморфты болады. Қалталар осы қиындықпен тікелей күресуге арналған құрал болып табылады, өйткені олар негізіндегі топологиялық кеңістіктің голоморфтық құрылымын кез келген ашық ішкі жиындарда қадағалауға мүмкіндік береді. Бұл топологиялық жағынан күрделірек болған сайын, сақина құрастыру арқылы өрнектеле алады. Ескеріңіз, кейде бұл қалта немесе жай деп белгіленеді, тіпті құрылымдық қалтаның байланыстырылған кеңістігін көрсету үшін деп белгіленеді.

Тездетуші тұтқалар

Күрделі субкөптүрлілікті қарастыру арқылы қаптардың тағы бір кең таралған мысалын құрастыруға болады. Оған сәйкес қап бар, ол ашық ішкі жиынды қабылдап, сол жиын бойынша голоморфтық функциялардың сақинасын береді. Мұндай формализм өте қуатты екені анықталды және қаптық когомология сияқты көптеген гомологиялық алгебраны дамытуға түрткі болды, себебі Серрдің қиылысу формуласынан бастап осы типтегі қаптарды қолданып қиылысу теориясын құруға болады.

Қалқанның сабақтары

Қаптаманың сабағы функцияның тұқымдарын жалпыластыра отырып, нүкте төңірегіндегі қаптаманың қасиеттерін қамтиды. Мұнда "төңірегінде" дегеніміз, түсінік бойынша, нүктенің кішірейе түсетін аймақтарын қарастыру. Әрине, ешбір аймақ жеткілікті кішкентай болмайды, сондықтан қандай да бір шекке қарау қажет. Нақтырақ айтқанда, сабақ берілген нүктені қамтитын барлық ашық жиынтықтар бойынша тікелей шек ретінде анықталады. Басқаша айтқанда, сабақтың бір элементе – белгілі бір нүктенің ашық аймағындағы қима, ал егер олардың шектеулері кішірек аймақта сәйкес келсе, онда екі қима тең деп есептеледі. Табиғи морфизм қиманы нүктенің тұқымына жібереді. Бұл тұқымның стандартты анықтамасын жалпылайды. Көп жағдайларда, қаптаманың сабағын білу қаптаманы басқару үшін жеткілікті. Мысалы, қаптамалардың морфизмі мономорфизм, эпиморфизм немесе изоморфизм болып табылатынын сабақтар арқылы тексеруге болады. Осы мағынада, қаптама сабақтарымен анықталады, олар жергілікті мәліметтер болып табылады. Керісінше, қаптамадағы жаһандық ақпарат, яғни жаһандық қималар, яғни бүкіл кеңістіктегі қималар, көбінесе аз ақпарат береді. Мысалы, компактты күрделі көптік үшін, голоморфтық функциялар қаптамасының жаһандық қималары тек бос жиын болады, өйткені Лиувилль теоремасы бойынша кез келген голоморфтық функция тұрақты. Қаптаманың қаптамаға ең жақын жуықтамасы деген идея келесідей жалпы қасиет арқылы нақтыланады: прешевтердің табиғи морфизмі бар, сондықтан кез келген қаптама және прешевтердің кез келген морфизмі үшін қаптамалардың бірегей морфизмі бар, сондықтан шын мәнінде қаптамалар санатынан прешевтер санатына енгізу функторына (немесе ұмыту функторына) сол жақтан қосымша функтор болып табылады және бұл қосымшаның бірлігі болып табылады. Осылайша, қаптамалар санаты прешевтердің Giraud кіші санатына айналады. Осы категориалық жағдай қаптама морфизмінің кокернелін немесе қаптамалардың тензорлық көбейтіндісін құруда қаптамалау функторының пайда болу себебін түсіндіреді, бірақ ядро үшін емес.

The stalk of a sheaf captures the properties of a sheaf "around" a point , generalizing the germs of functions. Here, "around" means that, conceptually speaking, one looks at smaller and smaller neighborhoods of the point. Of course, no single neighborhood will be small enough, which requires considering a limit of some sort. More precisely, the stalk is defined by

the direct limit being over all open subsets of containing the given point In other words, an element of the stalk is given by a section over some open neighborhood of , and two such sections are considered equivalent if their restrictions agree on a smaller neighborhood. The natural morphism takes a section in to its germ at This generalises the usual definition of a germ. In many situations, knowing the stalks of a sheaf is enough to control the sheaf itself. For example, whether or not a morphism of sheaves is a monomorphism, epimorphism, or isomorphism can be tested on the stalks. In this sense, a sheaf is determined by its stalks, which are a local data. By contrast, the global information present in a sheaf, i. e., the global sections, i. e., the sections on the whole space , typically carry less information. For example, for a compact complex manifold , the global sections of the sheaf of holomorphic functions are just , since any holomorphic function

is constant by Liouville's theorem. The idea that the sheaf is the best possible approximation to by a sheaf is made precise using the following universal property: there is a natural morphism of presheaves so that for any sheaf and any morphism of presheaves , there is a unique morphism of sheaves such that In fact is the left adjoint functor to the inclusion functor (or forgetful functor) from the category of sheaves to the category of presheaves, and is the unit of the adjunction. In this way, the category of sheaves turns into a Giraud subcategory of presheaves. This categorical situation is the reason why the sheafification functor appears in constructing cokernels of sheaf morphisms or tensor products of sheaves, but not for kernels, say.

Негізгі функционалдылық

Деректер (алдын ала) шоғының базалық кеңістіктің ашық ішкі жиындарына тәуелді болғандықтан, әртүрлі топологиялық кеңістіктердегі шоғылар бір-бірімен байланысты емес, себебі олардың арасында морфизмдер болмайды. Дегенмен, екі топологиялық кеңістік арасындағы үздіксіз бейнелеу берілген жағдайда, итеру және кері тарту шоғыларды бір кеңістіктен екіншісіне және керісінше байланыстырады.

Кері сурет

Кері тартылу немесе кері бейне кері бағытта жүреді: ол пакетті шығарады , пакеттен шығарылады егер ашық кіші жиынтықтың кіріктірілуі болса, онда кері бейне тек шектеу болып табылады, яғни ол берілген болса А пакетіндегі ашық үшін. (кейбір кеңістікте) Пакет егер кейбір ашық кіші жиынтықтар арқылы егер барлық осы ашық кіші жиынтықтардағы шектеу тұрақты болса, жергілікті тұрақты деп аталады. Көптеген топологиялық кеңістіктерде мұндай пакеттер негізгі топтың өрнектеуіне тең. Жалпы карталар үшін анықтамасы күрделірек; ол кері бейне функторында толық сипатталған. Сабақ – бұл табиғи тепе-теңдікті ескере отырып, кері тартылудың маңызды ерекше жағдайы, мұнда жоғарыда көрсетілгендей: Жалпы алғанда, сабақтар қанағаттандырады .

Модульдер саптары мен саптары

Бірнеше геометриялық пәндерде, соның ішінде алгебралық геометрия мен дифференциалдық геометрияда, кеңістіктерге табиғи сақиналар жиыны қоса беріледі, олар көбінесе құрылымдық сақина деп аталады және жазылады. Мұндай жұп сақиналанған кеңістік деп аталады. Көптеген кеңістік түрлерін белгілі бір сақиналанған кеңістік түрлері ретінде анықтауға болады. Көбінесе құрылымдық жиынның барлық сабақтары жергілікті сақиналар болып табылады, мұндай жағдайда жұп жергілікті сақиналанған кеңістік деп аталады. Мысалы, өлшемді көпқырлылық – бұл жергілікті сақиналанған кеңістік, оның құрылымдық жиыны ашық ішкі жиындардағы функциялардан тұрады. Жергілікті сақиналанған кеңістік болу қасиеті, сол функцияның белгілі бір нүктеде нөлге тең болмауы, жеткілікті түрде кішкентай ашық маңдайда да нөлге тең болмайтынымен байланысты. Кейбір авторлар нақты (немесе кешенді) көпқырлылықты жергілікті сақиналанған кеңістік ретінде анықтайды. Сол сияқты, алгебралық геометриядағы кеңістіктердің негізгі ұғымы болып табылатын схемалар – бұл сақина спектріне жергілікті изоморфты жергілікті сақиналанған кеңістіктер. Сақиналанған кеңістік берілгенде, модульдер жиыны – бұл , әрбір ашық жиын үшін модуль және ашық жиындардың кіріктірілуі үшін шектеулік картасы шектеулік картасымен үйлесімді: кез келген және кез келген үшін fs шектеуі – бұл шектеуінің көбейтіндісі. Ең маңызды геометриялық объектілер модульдер жиындары болып табылады. Мысалы, векторлық жиындар мен жергілікті бос модульдер жиындары арасында бір-бірге сәйкестік бар. Бұл парадигма нақты векторлық жиындарға, кешенді векторлық жиындарға немесе алгебралық геометриядағы векторлық жиындарға (онда тиісінше тегіс функциялар, голоморфтық функциялар немесе реттелген функциялар болады) қолданылады. Дифференциалдық теңдеулердің шешімдерінің жиындары – бұл модульдер, яғни дифференциалдық операторлар жиыны үстіндегі модульдер. Кез келген топологиялық кеңістікте тұрақты жиын үстіндегі модульдер жоғарыдағы мағынадағы абельдік топтар жиындарымен бірдей. Модульдер жиындары мен сақиналар жиындары үшін кері бейнелік функтордың басқа түрі бар. Бұл функтор әдетте деп белгіленеді және кері бейнелік функтордан өзгеше. Кері бейнелік функторды қараңыз.

In several geometrical disciplines, including algebraic geometry and differential geometry, the spaces come along with a natural sheaf of rings, often called the structure sheaf and denoted by Such a pair is called a ringed space. Many types of spaces can be defined as certain types of ringed spaces. Commonly, all the stalks of the structure sheaf are local rings, in which case the pair is called a locally ringed space. For example, an dimensional manifold is a locally ringed space whose structure sheaf consists of functions on the open subsets of The property of being a locally ringed space translates into the fact that such a function, which is nonzero at a point , is also non zero on a sufficiently small open neighborhood of Some authors actually define real (or complex) manifolds to be locally ringed spaces that are locally isomorphic to the pair consisting of an open subset of (respectively ) together with the sheaf of (respectively holomorphic) functions. Similarly, schemes, the foundational notion of spaces in algebraic geometry, are locally ringed spaces that are locally isomorphic to the spectrum of a ring. Given a ringed space, a sheaf of modules is a sheaf such that on every open set of , is an module and for every inclusion of open sets , the restriction map is compatible with the restriction map : the restriction of fs is the restriction of times that of for any in and in
Most important geometric objects are sheaves of modules. For example, there is a one to one correspondence between vector bundles and locally free sheaves of modules. This paradigm applies to real vector bundles, complex vector bundles, or vector bundles in algebraic geometry (where consists of smooth functions, holomorphic functions, or regular functions, respectively). Sheaves of solutions to differential equations are modules, that is, modules over the sheaf of differential operators. On any topological space, modules over the constant sheaf are the same as sheaves of abelian groups in the sense above. There is a different inverse image functor for sheaves of modules over sheaves of rings. This functor is usually denoted and it is distinct from See inverse image functor.

Модульдер қаптамаларының шектілік шарттары

Модульдің коммутативті сақиналардағы шектілік шарттары модульдердің қаптамалары үшін ұқсас шектілік шарттарға әкеледі: егер, кез келген нүктесі үшін , ашық көршілесі болса, табиғи сан (мүмкін ,ға байланысты) және қаптамалардың сюръективті морфизмі (тиісті түрде, сондай-ақ табиғи сан , және толық реттілік .) Когерентті модуль ұғымына сәйкес, егер ол шекті типте болса, онда оны когерентті қаптама деп атайды, және кез келген ашық жиын мен қаптамалардың кез келген морфизмі үшін (міндетті түрде сюръективті емес), морфизмнің ядросы шекті типте болса. Егер ол өзінің үстінен модуль ретінде когерентті болса, онда ол когерентті болады. Модульдердегідей, когеренттілік, әдетте, шекті ұсынудан қатаң түрде күшті шарт болып табылады. Ока когеренттілік теоремасы бойынша, күрделі көптіктегі голоморфтық функциялардың қаптамасы когерентті болып табылады.

Қаптың этальді кеңістігі

Жоғарыда келтірілген мысалда кейбір қаптамалар табиғи түрде қималар қаптамасы ретінде пайда болатыны айтылды. Шын мәнінде, жиынтықтардың барлық қаптамасын топологиялық кеңістіктің қималары қаптамасы ретінде бейнелеуге болады. Бұл кеңістік француз сөзі "étalé" сөзінен алынған, яғни шамамен "жайып тастау" дегенді білдіреді. Егер - үстіндегі қаптама болса, онда (кейде эталь кеңістігі деп аталады) эталь кеңістігі – жергілікті гомеоморфизммен бірге топологиялық кеңістік болады, сондықтан - қималарының қаптамасы. Кеңістік әдетте өте ерекше, тіпті қаптама табиғи топологиялық жағдайдан туындаса да, нақты топологиялық түсіндірме болмауы мүмкін. Мысалы, егер - үздіксіз функцияның қималарының қаптамасы болса, онда жергілікті гомеоморфизм болады және тек сонда ғана. Эталь кеңістігі үстіндегі тұяқтарынан құралады. Жиын ретінде, бұл олардың ажыратылған одағы және - үстіндегі тұяғында мәнді алатын анық бейнелеу. -ның топологиясы төмендегідей анықталады. Әр элемент және әр үшін, біз жеріндегі түйірін аламыз, оны немесе деп белгілейміз. Бұл түйірлер кез келген және үшін, осы нүктелердің (барлығы үшін) бірігуі ашық деп жарияланады. Тұяқтар арасындағы екі морфизм проекция бейнелеулерімен үйлесімді тиісті эталь кеңістіктерінің үздіксіз бейнелеуін анықтайды (әрбір түйіршік бір нүктедегі түйіршікке бейнеленеді деген мағынада). Бұл құрылымды функторға айналдырады. Жоғарыда көрсетілген құрылым жиынтықтардың қаптамалары санаты мен эталь кеңістіктер санаты арасындағы категориялардың теңдестігін анықтайды. Эталь кеңістігінің құрылымын преқаптамаға да қолдануға болады, бұл жағдайда эталь кеңістігінің қималары қаптамасы берілген преқаптамаға байланысты қаптаманы қалпына келтіреді. Бұл құрылым барлық қаптамаларды топологиялық кеңістіктердің белгілі бір санаттарында бейнеленетін функторларға айналдырады. Жоғарыда айтылғандай, - үстіндегі қаптама болсын, - оның эталь кеңістігі болсын, ал - табиғи проекция болсын. үстіндегі топологиялық кеңістіктердің категориясын қарастырайық, яғни кеңістіктеріне бекітілген үздіксіз бейнелеулермен бірге топологиялық кеңістіктер категориясы. Осы категорияның әрбір объекісі үздіксіз бейнелеу болып табылады, ал морфизм – екі бейнелеумен сәйкес келетін үздіксіз бейнелеу. объектісіне функтор жібереді. Мысалы, егер - ашық ішкі жиынтықтың қосылуы болса, онда және нүктенің қосылуы үшін, онда - жеріндегі тұяқ. Табиғи изоморфизм бар, ол (эталь кеңістігі үшін) функторды бейнелейді, сондықтан проекция бейнелеуі – жабысу бейнелеуі. Алгебралық геометрияда жабысу бейнелеуінің табиғи аналогы эталь морфизмі деп аталады. "Étalé" сөзінің ұқсастығына қарамастан, француз тілінде étale сөзінің басқа мағынасы бар. Оны схемаға және схемалардың морфизміне айналдыруға болады, бұл бірдей әмбебап қасиетті сақтайды, бірақ жалпы алғанда эталь морфизмі емес, өйткені ол шекті емес. Алайда, ол формальды түрде эталь. Эталь кеңістіктері бойынша қаптамалардың анықтамасы мақалада келтірілген анықтамадан ескі. Бұл әлі де математикалық талдау сияқты математиканың кейбір салаларында кең таралған.

In the examples above it was noted that some sheaves occur naturally as sheaves of sections. In fact, all sheaves of sets can be represented as sheaves of sections of a topological space called the étalé space, from the French word étalé etale, meaning roughly "spread out". If is a sheaf over , then the étalé space (sometimes called the étale space) of is a topological space together with a local homeomorphism such that the sheaf of sections of is The space is usually very strange, and even if the sheaf arises from a natural topological situation, may not have any clear topological interpretation. For example, if is the sheaf of sections of a continuous function , then if and only if is a local homeomorphism. The étalé space is constructed from the stalks of over As a set, it is their disjoint union and is the obvious map that takes the value on the stalk of over The topology of is defined as follows. For each element and each , we get a germ of at , denoted or These germs determine points of For any and , the union of these points (for all ) is declared to be open in Notice that each stalk has the discrete topology as subspace topology. Two morphisms between sheaves determine a continuous map of the corresponding étalé spaces that is compatible with the projection maps (in the sense that every germ is mapped to a germ over the same point). This makes the construction into a functor. The construction above determines an equivalence of categories between the category of sheaves of sets on and the category of étalé spaces over The construction of an étalé space can also be applied to a presheaf, in which case the sheaf of sections of the étalé space recovers the sheaf associated to the given presheaf. This construction makes all sheaves into representable functors on certain categories of topological spaces. As above, let be a sheaf on , let be its étalé space, and let be the natural projection. Consider the overcategory of topological spaces over , that is, the category of topological spaces together with fixed continuous maps to Every object of this category is a continuous map , and a morphism from to is a continuous map that commutes with the two maps to There is a functorsending an object to For example, if is the inclusion of an open subset, thenand for the inclusion of a point , thenis the stalk of at There is a natural isomorphism,which shows that (for the étalé space) represents the functor
is constructed so that the projection map is a covering map. In algebraic geometry, the natural analog of a covering map is called an étale morphism. Despite its similarity to "étalé", the word étale etal has a different meaning in French. It is possible to turn into a scheme and into a morphism of schemes in such a way that retains the same universal property, but is not in general an étale morphism because it is not quasi finite. It is, however, formally étale. The definition of sheaves by étalé spaces is older than the definition given earlier in the article. It is still common in some areas of mathematics such as mathematical analysis.

Қаптаманың кохомологиясын есептеу

Әсіресе, коллекторлардағы қаптамалар контекстінде, қаптама кохомологиясын жұмсақ қаптамалар, ұсақ қаптамалар және салбыраған қаптамалар (француз тіліндегі flasque сөзінен туындаған фласк қаптамалары деп те аталады) арқылы есептеу жиі мүмкін. Мысалы, бірлікке бөлу аргументі, коллектордағы тегіс функциялардың қаптамасы жұмсақ екенін көрсетеді. Жұмсақ қаптамалар үшін жоғарғы кохомология топтары жоғалады, бұл басқа қаптамалардың кохомологиясын есептеуге мүмкіндік береді. Мысалы, де Рам кешені кез келген тегіс коллектордағы тұрақты қаптаманың шешімі болып табылады, сондықтан қаптаманың кохомологиясы оның де Рам кохомологиясына тең. Басқа тәсіл – Чех кохомологиясы. Чех кохомологиясы қаптамалар үшін жасалған алғашқы кохомология теориясы және ол нақты есептеулерге, мысалы, күрделі проективті кеңістіктің үйлесімді қаптама кохомологиясын есептеуге өте қолайлы. Ол кеңістіктің ашық ішкі жиындарындағы қималарды кеңістіктегі кохомология кластарымен байланыстырады. Көп жағдайда Чех кохомологиясы туынды функтор кохомологиясымен бірдей кохомология топтарын есептейді. Дегенмен, кейбір патологиялық кеңістіктер үшін Чех кохомологиясы дұрыс нөлдік кохомология тобын, бірақ дұрыс емес жоғарғы кохомология топтарын береді. Бұл мәселені шешу үшін Жан-Луи Вердье гиперқаптамаларды енгізді. Гиперқаптамалар жоғарғы кохомология топтарын ғана емес, сонымен қатар жоғарыда аталған ашық ішкі жиынды басқа кеңістіктен шығатын белгілі бір морфизмдермен алмастыруға мүмкіндік береді. Бұл икемділік кейбір қолдануларда қажет, мысалы, Пьер Делиньдің аралас Ходж құрылымдарын құруда. Көптеген басқа үйлесімді қаптама кохомология топтары белгілі кохомологиясы бар кеңістікке кеңістікті ендіру арқылы табылады, мысалы, немесе кейбір салмақты проективті кеңістік. Осылайша, осы қоршаған кеңістіктердегі белгілі қаптама кохомология топтары қаптамалармен байланысты болуы мүмкін, мысалы, проективті жазықтық қисықтарының үйлесімді қаптама кохомологиясын есептеу оңай. Бұл кеңістіктегі маңызды теорема – Делинь дәлелдеген Ходж ыдырауы, ол қаптама кохомология топтарымен байланысты спектрлік тізбекті пайдаланады. Негізінде, беттегі терминмен қаптама кохомологиясы тегіс проективті сорттың , дегенге тең, яғни Бұл кохомология топтарының канондық Ходж құрылымын береді. Кейінірек бұл кохомология топтарын Гриффитс қалдықтарын пайдалану арқылы оңай есептеуге болады. Якобтық идеалға қараңыз. Мұндай теоремалар алгебралық сорттардың кохомологиясы туралы ең терең теоремалардың біріне, ыдырау теоремасына, және аралас Ходж модульдеріне жол ашады. Кейбір кохомология топтарын есептеудің тағы бір таза тәсілі – Борель-Ботт-Вейл теоремасы, ол Лай топтарының ирредуктибелдік бейнелері бар флаг-көптұқымдылардағы кейбір түзу қаптамалардың кохомология топтарын анықтайды. Бұл теореманы, мысалы, проективті кеңістік және Грассман көптұқымдылықтарындағы барлық түзу қаптамалардың кохомология топтарын оңай есептеу үшін қолдануға болады. Көп жағдайда қаптамалар үшін Пуанкаре дуалдығын жалпылайтын дуалдық теория бар. Гротендик және Вердье дуалдығына қараңыз.

Especially in the context of sheaves on manifolds, sheaf cohomology can often be computed using resolutions by soft sheaves, fine sheaves, and flabby sheaves (also known as flasque sheaves from the French flasque meaning flabby). For example, a partition of unity argument shows that the sheaf of smooth functions on a manifold is soft. The higher cohomology groups for vanish for soft sheaves, which gives a way of computing cohomology of other sheaves. For example, the de Rham complex is a resolution of the constant sheaf on any smooth manifold, so the sheaf cohomology of is equal to its de Rham cohomology. A different approach is by Čech cohomology. Čech cohomology was the first cohomology theory developed for sheaves and it is well suited to concrete calculations, such as computing the coherent sheaf cohomology of complex projective space It relates sections on open subsets of the space to cohomology classes on the space. In most cases, Čech cohomology computes the same cohomology groups as the derived functor cohomology. However, for some pathological spaces, Čech cohomology will give the correct but incorrect higher cohomology groups. To get around this, Jean Louis Verdier developed hypercoverings. Hypercoverings not only give the correct higher cohomology groups but also allow the open subsets mentioned above to be replaced by certain morphisms from another space. This flexibility is necessary in some applications, such as the construction of Pierre Deligne's mixed Hodge structures. Many other coherent sheaf cohomology groups are found using an embedding of a space into a space with known cohomology, such as , or some weighted projective space. In this way, the known sheaf cohomology groups on these ambient spaces can be related to the sheaves , giving For example, computing the coherent sheaf cohomology of projective plane curves is easily found. One big theorem in this space is the Hodge decomposition found using a spectral sequence associated to sheaf cohomology groups, proved by Deligne. Essentially, the page with termsthe sheaf cohomology of a smooth projective variety , degenerates, meaning This gives the canonical Hodge structure on the cohomology groups It was later found these cohomology groups can be easily explicitly computed using Griffiths residues. See Jacobian ideal. These kinds of theorems lead to one of the deepest theorems about the cohomology of algebraic varieties, the decomposition theorem, paving the path for Mixed Hodge modules. Another clean approach to the computation of some cohomology groups is the Borel–Bott–Weil theorem, which identifies the cohomology groups of some line bundles on flag manifolds with irreducible representations of Lie groups. This theorem can be used, for example, to easily compute the cohomology groups of all line bundles on projective space and grassmann manifolds. In many cases there is a duality theory for sheaves that generalizes Poincaré duality. See Grothendieck duality and Verdier duality.

Когерентті орамдардың туынды санаттары және Гротендик тобы

Шешілген шошалардың туынды категорияларының тағы бір маңызды қолданылуы – схемадағы үйлесімді шошалардың туынды категориясы, ол деп белгіленеді. Бұл, Grothendieck қиылысу теориясын туынды категориялар мен K теориясын қолдана отырып дамытқанда пайдаланған. Кіші схемалардың қиылысу көбейтіндісі K теориясында былай бейнеленеді, мұнда олардың құрылымдық шошаларымен берілген модульдермен анықталған үйлесімді шошалар бар.

Сайттар мен топои

Андре Вейлдің Вейл болжамдары, шекті өрістердегі алгебралық сорттар үшін Риман гипотезасының аналогын беретін кохомология теориясының бар екенін көрсетті. Кешенді көптүрлінің кохомологиясы, еуропалық топологиядағы жергілікті тұрақты шоғырдың буралы кохомологиясы ретінде анықталуы мүмкін, бұл оң мінездемедегі Вейл кохомологиялық теориясын тұрақты шоғырдың буралы кохомологиясы ретінде анықтауға ұсыныс жасайды. Бірақ мұндай сорттағы жалғыз классикалық топология – Зариски топологиясы, ал Зариски топологиясында ашық жиынтар өте аз, сондықтан азайтылмайтын сорттағы кез келген Зариски тұрақты шоғырының кохомологиясы жоғалады (нөлдік дәрежеден басқа). Александр Гротендик бұл мәселені Гротендик топологиясын енгізу арқылы шешті, ол жабу ұғымын аксиоматизациялайды. Гротендиктің түсінігі бойынша, шоғырдың анықтамасы топологиялық кеңістіктің жеке нүктелеріне емес, ашық жиынтықтарына ғана байланысты. Ол жабу ұғымын аксиоматизациялағаннан кейін, ашық жиынтықтарды басқа объектілермен алмастыруға болады. Прешоғыр осы объектілердің әрқайсысын бұрынғыдай деректерге жібереді, ал шоғыр – жаңа жабу ұғымына қатысты желімдеу аксиомасын қанағаттандыратын прешоғыр. Бұл Гротендикке этальдік кохомологияны және ℓ-адық кохомологияны анықтауға мүмкіндік берді, олар кейін Вейл болжамдарын дәлелдеу үшін қолданылды. Гротендик топологиясы бар санат сайт деп аталады. Сайттағы шоғырлар санаты топос немесе Гротендик топосы деп аталады. Топос ұғымын Уильям Ловер және Майлз Тирни математикалық логикамен байланысы бар элементарлық топосты анықтау үшін кейін абстракциялады.