Кіріспе
Скалярлардың шектеуі
Математикада скалярлардың шектеуі (сонымен қатар "Вейль шектеуі" деп аталады) – кез келген шекті L/k өріс кеңейтілгені үшін және L өрісінде анықталған кез келген алгебралық X сортына, k өрісінде анықталған ResL/kX деген жаңа сорт туындататын функтор. Бұл үлкен өрістердегі сорттар туралы мәселелерді кішірек өрістердегі күрделі сорттар туралы мәселелерге келтіруге көмектеседі.
In mathematics, restriction of scalars (also known as "Weil restriction") is a functor which, for any finite extension of fields L/k and any algebraic variety X over L, produces another variety ResL/kX, defined over k. It is useful for reducing questions about varieties over large fields to questions about more complicated varieties over smaller fields.
Анықтама
L/k – өрістердің шекті кеңейтімі, ал X – L-ге қатысты анықталған алгебралық сан алуандық. k-схемаларынан жиындарға дейінгі функтор келесі арқылы анықталады:
(Атап айтқанда, X-тің k-рационалдық нүктелері, X-тің L-рационалдық нүктелерімен сәйкес келеді.) Бұл функторды көрсететін алгебралық сан алуандық скалярларды шектеу деп аталады және егер ол бар болса, бірегей изоморфизмге дейін анықталған болады. Жинақтардың шоғырлары тұрғысынан қарағанда, скалярларды шектеу – бұл морфизм бойынша итеру және схемалардың талшықтық көбейтіндісіне оң жақтағы қосымша, сондықтан жоғарыдағы анықтаманы әлдеқайда жалпы түрде қайта формулиреуге болады. Атап айтқанда, өрістердің кеңейтімін сақиналы топостардың кез келген морфизмімен алмастыруға болады, ал X-ке қатысты болжамдарды, мысалы, үймелерге дейін жеңілдетуге болады. Бұл скалярларды шектеудің мінез-құлқына бақылауды азайтумен байланысты.
Баламалы анықтама
Бұл схемалардың морфизмі болсын. Егер схеманың үстіндегі схемалар санатының дуалы , контравариант функторы өкілдікке ие болса, онда біз сәйкес схеманы , сондай-ақ деп белгілейміз, оны схемаға қатысты Вейл шектеуі деп атаймыз.
is representable, then we call the corresponding scheme, which we also denote with , the Weil restriction of with respect to
Where denotes the dual of the category of schemes over a fixed scheme .
Қасиеттері
Кез келген шекті өрістер үшін скалярларды шектеу квазипроективті алгебралық сорттарды квазипроективті алгебралық сорттарға жібереді. Нәтижедегі сорттың өлшемі өріс кеңейтуінің дәрежесіне көбейтіледі. Тиісті шарттар орындалғанда (мысалы, тегіс, жабық, шекті түрде берілген), алгебралық кеңістіктердің кез келген морфизмі алгебралық стектерді алгебралық стектерге жіберетін скалярларды шектеу функторын тудырады, Артин, Делинь-Мамфорд және өкілдікке ие болу сияқты қасиеттерді сақтай отырып.
Вейльдік шектеулер мен Гринбергтік трансформация
Скалярларды шектеу Гринберг түрлендіруіне ұқсас, бірақ оны кеңейтпейді, себебі коммутативтік алгебрадағы Витт векторларының сақинасы, әдетте, A алгебрасы болып табылмайды.