Введение
Пучок колец в математике
В математике кольцевое пространство — это семейство (коммутативных) колец, параметризованное открытыми подмножествами топологического пространства, вместе с гомоморфизмами колец, выполняющими роль ограничений. Точнее, это топологическое пространство, снабжённое пучком колец, называемым пучком структуры. Это абстракция понятия колец непрерывных (скалярнозначных) функций на открытых подмножествах. Среди кольцевых пространств особое значение имеет локально кольцевое пространство: кольцевое пространство, в котором справедлива аналогия между ростком в точке и кольцом зародышей функций в этой точке. Кольцевые пространства возникают в анализе, а также в комплексной алгебраической геометрии и теории схем алгебраической геометрии. Примечание: В определении кольцевого пространства большинство изложений, включая работы Хартсхорна и Википедию, обычно ограничивают кольца коммутативными кольцами. С другой стороны, в «Éléments de géométrie algébrique» предположение о коммутативности не накладывается, хотя в книге в основном рассматривается коммутативный случай.
In mathematics, a ringed space is a family of (commutative) rings parametrized by open subsets of a topological space together with ring homomorphisms that play roles of restrictions. Precisely, it is a topological space equipped with a sheaf of rings called a structure sheaf. It is an abstraction of the concept of the rings of continuous (scalar valued) functions on open subsets. Among ringed spaces, especially important and prominent is a locally ringed space: a ringed space in which the analogy between the stalk at a point and the ring of germs of functions at a point is valid. Ringed spaces appear in analysis as well as complex algebraic geometry and the scheme theory of algebraic geometry. Note: In the definition of a ringed space, most expositions tend to restrict the rings to be commutative rings, including Hartshorne and Wikipedia. Éléments de géométrie algébrique, on the other hand, does not impose the commutativity assumption, although the book mostly considers the commutative case.
Определения
Кольцевое пространство — это топологическое пространство вместе с пучком колец на нём. Этот пучок называется структурой кольцевого пространства. Локально кольцевое пространство — это кольцевое пространство, такое, что все слои пучка являются локальными кольцами (то есть они имеют единственный максимальный идеал). Следует отметить, что не требуется, чтобы само кольцо было локальным для каждого открытого множества; на самом деле, это почти никогда не бывает.
A locally ringed space is a ringed space such that all stalks of are local rings (i. e. they have unique maximal ideals). Note that it is not required that be a local ring for every open set ; in fact, this is almost never the case.
Примеры
Любое топологическое пространство можно рассматривать как локально кольцевое пространство, принимая за сноп непрерывных функций с действительными (или комплексными) значениями на открытых подмножествах. Стебель в точке можно рассматривать как множество всех зародышей непрерывных функций в этой точке; это локальное кольцо с единственным максимальным идеалом, состоящим из тех зародышей, значение которых в этой точке равно нулю. Если X – многообразие с некоторой дополнительной структурой, мы также можем взять сноп дифференцируемых или голоморфных функций. Оба этих подхода приводят к локально кольцевым пространствам. Если X – алгебраическое многообразие, наделенное топологией Зариски, мы можем определить локально кольцевое пространство, принимая за сноп кольцо рациональных отображений, определенных на открытом множестве Зариски, которые не становятся бесконечными на X. Важным обобщением этого примера является спектр любого коммутативного кольца; эти спектры также являются локально кольцевыми пространствами. Схемы – это локально кольцевые пространства, полученные путем "склеивания" спектров коммутативных колец.
If is a manifold with some extra structure, we can also take the sheaf of differentiable, or holomorphic functions. Both of these give rise to locally ringed spaces. If is an algebraic variety carrying the Zariski topology, we can define a locally ringed space by taking to be the ring of rational mappings defined on the Zariski open set that do not blow up (become infinite) within The important generalization of this example is that of the spectrum of any commutative ring; these spectra are also locally ringed spaces. Schemes are locally ringed spaces obtained by "gluing together" spectra of commutative rings.
Тангентные пространства
Локально кольцевые пространства обладают достаточной структурой, чтобы позволить осмысленное определение касательных пространств. Пусть – локально кольцевое пространство со структурой снопа ; мы хотим определить тангентное пространство в точке . Возьмем локальное кольцо (стебель) в точке , с максимальным идеалом . Тогда – поле, а – векторное пространство над этим полем (котангентное пространство). Тангентное пространство определяется как двойственное к этому векторному пространству. Идея следующая: тангенциальный вектор в точке должен указывать, как "дифференцировать" "функции" в точке , то есть элементы . Достаточно знать, как дифференцировать функции, значение которых в точке равно нулю, поскольку все остальные функции отличаются от них только на константу, а константы мы умеем дифференцировать. Таким образом, нам нужно рассмотреть только . Более того, если даны две функции, принимающие значение ноль в точке , то их произведение имеет производную 0 в этой точке, согласно правилу произведения. Следовательно, нам нужно только знать, как сопоставлять "числа" элементам , а это и делает двойственное пространство.
Модули над конструкцией
При заданном локально кольцевом пространстве, в приложениях возникают определенные пучки модулей на этом пространстве, называемые модулями. Чтобы их определить, рассмотрим пучок F абелевых групп на . Если F(U) является модулем над кольцом для каждого открытого множества U в , и карты ограничений совместимы со структурой модуля, то мы называем F -модулем. В этом случае стебель F в точке x будет модулем над локальным кольцом (стебель) в x, для каждой точки x. Морфизм между двумя такими -модулями — это морфизм пучков, совместимый с заданными структурами модуля. Категория -модулей над фиксированным локально кольцевым пространством является абелевой категорией. Важной подкатегорией категории -модулей является категория квазикогерентных пучков на . Пучок -модулей называется квазикогерентным, если он локально изоморфен коядру отображения между свободными -модулями. Когерентный пучок — это квазикогерентный пучок, который локально конечного типа, и для каждого открытого подмножества ядра любого морфизма из свободного модуля конечного ранга в также конечного типа.
A morphism between two such modules is a morphism of sheaves that is compatible with the given module structures. The category of modules over a fixed locally ringed space is an abelian category. An important subcategory of the category of modules is the category of quasi coherent sheaves on A sheaf of modules is called quasi coherent if it is, locally, isomorphic to the cokernel of a map between free modules. A coherent sheaf is a quasi coherent sheaf that is, locally, of finite type and for every open subset of the kernel of any morphism from a free module of finite rank to is also of finite type.