Кіріспе
Қаржы опцияларын бағалаудың сандық әдісі. Қаржы саласында биномиалды опциялар бағасын белгілеу моделі (BOPM) опцияларды бағалау үшін қолданылатын жалпылама сандық әдіс болып табылады. Модель негізінен, негізгі қаржы құралының уақыт өте келе өзгеретін бағасын модельдеу үшін "дискретті уақыт" (тор негізіндегі) модельді пайдаланады, бұл жағдайда Black-Scholes формуласының жабық түрі қолданылмайтын жағдайларды шешеді. Биномиалды модельді алғаш рет 1978 жылы Уильям Шарп "Инвестициялар" еңбегінде ұсынды, ал 1979 жылы Кокс, Росс және Рубинштейн, сондай-ақ сол жылы Рендлман мен Бартер оны формалдап дамытты. Түсімділік және пайыздық мөлшерлемелік туындыларға қолданылатын биномдық ағаштар туралы ақпарат алу үшін қараңыз.
In finance, the binomial options pricing model (BOPM) provides a generalizable numerical method for the valuation of options. Essentially, the model uses a "discrete time" (lattice based) model of the varying price over time of the underlying financial instrument, addressing cases where the closed form Black–Scholes formula is wanting. The binomial model was first proposed by William Sharpe in the 1978 edition of Investments , and formalized by Cox, Ross and Rubinstein in 1979 and by Rendleman and Bartter in that same year. For binomial trees as applied to fixed income and interest rate derivatives see .
Үлгі қолданылуы
Биномиалдық опциялар бағасын белгілеу моделі кеңінен қолданылады, себебі ол басқа модельдердің оңай қолдануы қиын жағдайлардың көптеуін шеше алады. Бұл, негізінен, BOPM бір ғана сәт емес, белгілі бір уақыт аралығындағы негізгі құралдың сипаттамасына негізделгендіктен туындайды. Осының салдарынан, ол белгілі бір кезеңде кез келген уақытта жүзеге асырылатын американдық опцияларды, сондай-ақ белгілі бір уақыттарда ғана жүзеге асырылатын бермудалық опцияларды бағалау үшін қолданылады. Модель салыстырмалы түрде қарапайым болғандықтан, компьютерлік бағдарламалық құралдарда (электрондық кестелерді қоса алғанда) оңай жүзеге асырылады. Black-Scholes формуласынан есептеу уақыты бойынша баяу болғанымен, ол, әсіресе дивиденд төлейтін бағалы қағаздарға жасалған ұзақ мерзімді опциялар үшін, дәлірек нәтиже береді. Осы себептерге байланысты, биномиалдық модельдің түрлі нұсқаларын опциялық нарықтағы мамандар кеңінен пайдаланады. Бірнеше белгісіздік көзі бар опциялар үшін (мысалы, нақты опциялар) және күрделі ерекшеліктері бар опциялар үшін (мысалы, азиялық опциялар) биномиалдық әдістер бірқатар қиындықтарға байланысты тиімсіз, ал олардың орнына Монте-Карло опциялық модельдері жиі қолданылады. Уақыт қадамдарының аз санын модельдеу кезінде Монте-Карло модельдеуі BOPM-ге қарағанда көбірек есептеу уақытын қажет етеді (қаржыдағы Монте-Карло әдістерімен салыстырыңыз). Дегенмен, BOPM-нің ең нашар жағдайдағы орындалу уақыты O(2n) болады, мұнда n – модельдеудегі уақыт қадамдарының саны. Монте-Карло модельдеуі әдетте полиномиалдық уақыт күрделілігіне ие және үлкен саны модельдеу қадамдары үшін жылдамырақ болады. Монте-Карло модельдеуі дискретті уақыт бірліктерін пайдаланатындықтан, үлгі алу қатесіне де аз бейім. Бұл дискретті бірліктер неғұрлым кіші болса, соғұрлым дұрыс болады.
1-қадам: Биномиалдық баға ағашын құру
Бағалар ағашы бағалау күнінен бастап мерзімі бітуге дейін алға қарай есептеу арқылы құрастырылады. Әр қадамда, негізгі актив ағаштың әрбір қадамында белгілі бір коэффициентпен (немесе ) жоғары немесе төмен қарай қозғалады деп есептеледі (мұнда, анықтама бойынша, және ). Егер ағымдағы баға болса, келесі кезеңде баға немесе болады. Жоғары және төмен коэффициенттер негізгі құбылмалылықты , және қадамның ұзақтығын , жылдармен өлшенетін (негізгі активтің күн санау әдісін қолдана отырып) пайдалану арқылы есептеледі. Бағаның логарифмінің дисперсиясы тең болғандықтан:
The up and down factors are calculated using the underlying volatility, , and the time duration of a step, , measured in years (using the day count convention of the underlying instrument). From the condition that the variance of the log of the price is , we have:
Жоғарыда көрсетілгені Кокс, Росс және Рубинштейн (CRR) әдісі; тор құрудың басқа да әртүрлі техникалары бар, мысалы, "тең мүмкіндіктер" ағашы, қараңыз. Сонымен қатар, сандық процедура ретінде талданғанда, CRR биномдық әдісі Black-Scholes дифференциалдық теңдеуі үшін нақты шекті айырма әдісінің ерекше жағдайы ретінде қарастырылуы мүмкін; опция бағасын анықтау үшін шекті айырма әдістерін қараңыз.