Введение

Численный метод оценки финансовых опционов
В финансах модель ценообразования биномиальных опционов (BOPM) представляет собой обобщенный численный метод оценки опционов. По сути, модель использует "дискретное время" (основанную на решетке) для моделирования изменения цены базового финансового инструмента во времени, решая задачи, для которых формула Блэка — Шоулза в замкнутой форме неприменима. Биномиальная модель была впервые предложена Уильямом Шарпом в книге "Инвестиции" 1978 года и формализована Коксом, Россом и Рубинштейном в 1979 году, а также Рендлеманом и Барттером в том же году. О применении биномиальных деревьев к производным инструментам с фиксированным доходом и процентным ставками см.

Использование модели

Подход модели ценообразования биномиальных опционов широко используется, поскольку он способен учитывать разнообразные условия, для которых другие модели сложно применимы. Это во многом обусловлено тем, что BOPM основывается на описании базового актива в течение определенного периода времени, а не в одной точке. Как следствие, он используется для оценки американских опционов, которые можно исполнить в любой момент заданного интервала, а также бермудских опционов, которые можно исполнить в конкретные моменты времени. Благодаря своей относительной простоте, модель легко реализуется в компьютерном программном обеспечении (включая таблицы). Хотя она вычислительно медленнее формулы Блэка-Шоулса, она более точна, особенно для опционов с более длительным сроком действия на активы, выплачивающие дивиденды. По этим причинам различные версии биномиальной модели широко применяются практиками на рынках опционов. Для опционов с несколькими источниками неопределенности (например, реальные опционы) и для опционов со сложными характеристиками (например, азиатские опционы), биномиальные методы становятся менее практичными из-за ряда трудностей, и вместо них обычно используются модели опционов Монте-Карло. При моделировании небольшого числа временных шагов, моделирование Монте-Карло может потребовать больше вычислительных ресурсов, чем BOPM (см. методы Монте-Карло в финансах). Однако, в худшем случае время работы BOPM составит O(2n), где n – количество временных шагов в моделировании. Моделирование Монте-Карло обычно имеет полиномиальную временную сложность и будет быстрее при большом количестве шагов моделирования. Моделирование Монте-Карло также менее подвержено ошибкам дискретизации, поскольку биномиальные методы используют дискретные единицы времени. Это становится особенно заметно при уменьшении размера дискретных единиц.

Шаг 1: Создание биномиального ценового дерева

Древо цен строится путем последовательного расчета от даты оценки до даты истечения. На каждом шаге предполагается, что цена базового актива изменится вверх или вниз на определенный коэффициент (u или d) на каждом шаге дерева (где, по определению, u > 1 и 0 < d < 1). Таким образом, если S – текущая цена, то в следующем периоде цена будет равна либо Su, либо Sd.

Коэффициенты повышения и понижения рассчитываются на основе волатильности базового актива, σ, и длительности шага, Δt, измеренной в годах (с использованием конвенции начисления дней для базового актива). Исходя из условия, что дисперсия логарифма цены равна σ²t, имеем:

Выше описан оригинальный метод Кокса, Росса и Рубинштейна (CRR); существуют и другие способы построения решетки, например, дерево «равновероятностей», см. Также, при рассмотрении в качестве численной процедуры, биномиальный метод CRR можно рассматривать как частный случай метода явных конечных разностей для уравнения Блэка — Шоулза; см. методы конечных разностей для оценки опционов.