Математикалық қаржыдағы гректер: опция бағаларының сезімталдығын өлшеу

Кіріспе

Математикалық қаржыдағы модель параметрлері

Математикалық қаржыда "гректер" – бұл опция сияқты туынды құралдың бағасының, құрал немесе қаржы құралдары портфелінің құнына әсер ететін бір немесе бірнеше негізгі параметрлердің өзгеруіне сезімталдығын көрсететін шамалар (есептеудегі жеке туындылар, бірінші реттік немесе жоғары реттік). Бұл атау осы сезімталдықтардың көпшілігі грек әріптерімен белгіленгендіктен пайда болған (кейбір басқа қаржы өлшемдері сияқты). Олар жиынтығында тәуекелге сезімталдық, тәуекел өлшемдері немесе қорғау параметрлері деп те аталады.

Гректердің қолданылуы

Бастапқы параметр Опция параметрі Спот бағасы S Ұдайы ауытқу Уақыт өтуі Құны (V) Дельта Вега Тета Дельта Гамма Ванна Шарм Вега Ванна Вомма Вета Тета Шарм Вета Гамма Жылдамдық Зомма Түс Вомма Ультима Гректердің анықтамасы – опция бағасы мен тәуекелінің (бірінші қатарда) негізгі параметрге (бірінші бағанда) сезімталдығы. Бірінші ретті гректер көк түсті, екінші ретті гректер жасыл түсті, ал үшінші ретті гректер сары түсті. Ванна, шарм және вета екі рет келтірілген, себебі Шварц теоремасы бойынша жартылай туындылар тең. Rho, lambda, epsilon және vera қалғандарына қарағанда маңызды емес болғандықтан, олар алынып тасталған. Кестеде үш орын бос, себебі тиісті шамалар қаржы әдебиетінде әлі анықталмаған. Гректер – тәуекелді басқарудағы маңызды құралдар. Әр грек портфель құнының белгілі бір негізгі параметрдің шағын өзгерісіне сезімталдығын өлшейді, сондықтан құрамдас тәуекелдерді жеке қарастырып, портфельді қажетті деңгейде теңгерімдеуге болады; мысалы, дельта хеджирлеуді қараңыз. Black-Scholes моделіндегі (бірқатар қаржы нарықтарының салыстырмалы түрде қарапайым, идеалданған моделі) гректерді есептеу салыстырмалы түрде оңай – қаржы модельдерінің қалаулы қасиеті, және олар деривативтер трейдерлері үшін, әсіресе портфельдерін нарық жағдайларының қолайсыз өзгеруінен қорғауға тырысатындар үшін өте пайдалы. Осы себепті, хеджирлеу үшін ерекше пайдалы гректер – дельта, тета және вега – спот бағасы, уақыт және ұдайы ауытқу параметрлерінің өзгеруін өлшеу үшін жақсы анықталған. Rho (тәуекелсіз пайыздық ставкаға қатысты ішінара туынды) Black-Scholes моделінің негізгі кірісі болғанымен, тәуекелсіз пайыздық ставкадағы өзгерістерге байланысты қысқа мерзімді опцияның құнына тигізетін жалпы әсер әдетте мардымсыз болады, сондықтан тәуекелсіз пайыздық ставкаға қатысты жоғары ретті туындылар жиі кездеспейді. Гректердің ең көп қолданылатындары – бірінші ретті туындылар: дельта, вега, тета және ро; сондай-ақ гамма, құн функциясының екінші ретті туындысы. Бұл тізімдегі қалған сезімталдықтардың көптерін атауға қолданылатын ортақ терминдер бар, бірақ бұл тізім толық емес. Нарықтағы қатысушылар күн сайын миллиардтаған доллар, фунт немесе евро сомасындағы активтермен сауда жасайды, сондықтан есептеулерді дұрыс жасау маңызды. Іс жүзінде олар Black-Scholes моделінде қолданылатын және осылайша гректердегі қарапайымдыққа қатысты шектеулерден асып түсетін күрделірек модельдерді қолданады.

Underlying parameter Option parameter Spot priceS Volatility Passage oftime Value (V) Delta Vega Theta Delta Gamma Vanna Charm Vega Vanna Vomma Veta Theta Charm Veta Gamma Speed Zomma Color Vomma Ultima Definition of Greeks as the sensitivity of an option's price and risk (in the first row) to the underlying parameter (in the first column). First order Greeks are in blue, second order Greeks are in green, and third order Greeks are in yellow. Vanna, charm and veta appear twice, since partial cross derivatives are equal by Schwarz's theorem. Rho, lambda, epsilon, and vera are left out as they are not as important as the rest. Three places in the table are not occupied, because the respective quantities have not yet been defined in the financial literature. The Greeks are vital tools in risk management. Each Greek measures the sensitivity of the value of a portfolio to a small change in a given underlying parameter, so that component risks may be treated in isolation, and the portfolio rebalanced accordingly to achieve a desired exposure; see for example delta hedging. The Greeks in the Black–Scholes model (a relatively simple idealised model of certain financial markets) are relatively easy to calculate — a desirable property of financial models — and are very useful for derivatives traders, especially those who seek to hedge their portfolios from adverse changes in market conditions. For this reason, those Greeks which are particularly useful for hedging—such as delta, theta, and vega—are well defined for measuring changes in the parameters spot price, time and volatility. Although rho (the partial derivative with respect to the risk free interest rate) is a primary input into the Black–Scholes model, the overall impact on the value of a short term option corresponding to changes in the risk free interest rate is generally insignificant and therefore higher order derivatives involving the risk free interest rate are not common. The most common of the Greeks are the first order derivatives: delta, vega, theta and rho; as well as gamma, a second order derivative of the value function. The remaining sensitivities in this list are common enough that they have common names, but this list is by no means exhaustive. The players in the market make competitive trades involving many billions (of $, £ or €) of underlying every day, so it is important to get the sums right. In practice they will use more sophisticated models which go beyond the simplifying assumptions used in the Black Scholes model and hence in the Greeks.

Аттар

Грек әріптерінің атауларын қолдану, әлдебір шамада, қаржыдағы кең таралған альфа және бета терминдерінен, сондай-ақ сигма (логарифмдік кірістің стандартты ауытқуы) және тау (мерзіміне дейінгі уақыт) Black-Scholes опция бағалау моделінде қолданылуынан туындаған болуы мүмкін. "Вега" (символы грек әрпінің кіші нұсқасына ұқсас; осы атаудың қолданылуы шатасуға әкелуі мүмкін) және "зомма" сияқты бірнеше атаулар ойлап табылды, бірақ грек әріптеріне ұқсас дыбыстайды. "Түс" және "шарм" атаулары, болжам бойынша, бөлшек физикасында кварктардың ерекше қасиеттерін атау үшін осы терминдердің қолданылуынан шыққан.

Дельта

Дельта, , – негізгі активтің бағасындағы өзгерістерге байланысты теориялық опцион құнының өзгеру жылдамдығын өлшейді. Дельта – негізгі құралдың бағасына қатысты опцион құнының бірінші туындысы.

Практикалық қолдану

Ваниль опциясы үшін дельта, ұзақ шақыру опциясы үшін (немесе қысқа қою опциясы үшін) 0,0 мен 1,0 аралығында, ал ұзақ қою опциясы үшін (немесе қысқа шақыру опциясы үшін) 0,0 мен −1,0 аралығында болады. Бағасына байланысты, шақыру опциясы негізгі активтің 1 акциясына ие болғандай (егер ақшаның тереңінде болса), немесе ештеңеге ие болмағандай (егер ақшадан алыс болса), немесе олардың арасындағы жағдайға ие болады, ал қою опциясы үшін керісінше. Бірдей страйк бағасы бар шақыру және қою опцияларының дельталары арасындағы айырма бірге тең. Put-call parity бойынша, ұзақ шақыру опциясы мен қысқа қою опциясы сызықтық F форвардқа тең, бұл спот бағасы S-ке пропорционалды және бірлік коэффициентіне ие, сондықтан dF/dS туындысы 1-ге тең. Төмендегі формулаларды қараңыз. Бұл көрсеткіштер әдетте опциондық келісімшарттармен ұсынылған акциялардың жалпы санының пайызы ретінде беріледі. Бұл ыңғайлы, себебі опция дельта көрсеткен акциялар санына сәйкес (тұрақты түрде) қарайды. Мысалы, егер XYZ бойынша 100 американдық шақыру опциясы бар портфельде әрқайсысының дельтасы 0,25 (= 25%) болса, онда бағаның шағын өзгерістері кезінде ол XYZ-дың 2500 акциясы сияқты құнға ие болады немесе құн жоғалтады (100 опциондық келісімшарт 10 000 акцияны қамтиды). Белгі мен пайыз көбінесе жіберіліп қалады – белгі опция түрінде жасырын (қою опциясы үшін теріс, шақыру опциясы үшін оң), ал пайыз түсініледі. Ең көп кездесетін көрсеткіштер: 25 дельта қою опциясы, 50 дельта қою/50 дельта шақыру опциясы және 25 дельта шақыру опциясы. 50 дельта қою және 50 дельта шақыру опциялары толықтай бірдей емес, себебі спот және форвард дисконттық коэффициентімен ерекшеленеді, бірақ олар көбінесе шатастырылады. Дельта ұзақ шақыру опциялары үшін әрқашан оң, ал ұзақ қою опциялары үшін теріс болады (егер олар нөлге тең болмаса). Бірдей негізгі актив бойынша позициялардың күрделі портфелінің жалпы дельтасын әрбір жеке позицияның дельтасын қосу арқылы есептеуге болады – портфельдің дельтасы оның құрауыштарына пропорционалды. Негізгі активтің дельтасы әрқашан 1,0 болғандықтан, трейдер жалпы дельта көрсеткен акциялардың санын сатып алу немесе қысқа сату арқылы негізгі активтегі барлық позициясын дельталық түрде қорғай алады. Мысалы, егер XYZ опцияларының портфелінің дельтасы (негізгі активтің акциялары ретінде көрсетілген) +2,75 болса, трейдер портфельді дельталық түрде қорғау үшін негізгі активтің 2,75 акциясын қысқа сатуы мүмкін. Бұл портфель XYZ бағасының қозғалыс бағытына қарамастан, оның жалпы құнын сақтайды. (Бірақ бұл тек негізгі активтің шағын қозғалыстары үшін, қысқа мерзім ішінде және құбылмалылық сияқты басқа нарықтық жағдайлардың өзгеруін ескермейді, сондай-ақ тәуекелсіз инвестицияның кіріс мөлшерлемесі).

For a vanilla option, delta will be a number between 0.0 and 1.0 for a long call (or a short put) and 0.0 and −1.0 for a long put (or a short call); depending on price, a call option behaves as if one owns 1 share of the underlying stock (if deep in the money), or owns nothing (if far out of the money), or something in between, and conversely for a put option. The difference between the delta of a call and the delta of a put at the same strike is equal to one. By put–call parity, long a call and short a put is equivalent to a forward F, which is linear in the spot S, with unit factor, so the derivative dF/dS is 1. See the formulas below. These numbers are commonly presented as a percentage of the total number of shares represented by the option contract(s). This is convenient because the option will (instantaneously) behave like the number of shares indicated by the delta. For example, if a portfolio of 100 American call options on XYZ each have a delta of 0.25 (= 25%), it will gain or lose value just like 2,500 shares of XYZ as the price changes for small price movements (100 option contracts covers 10,000 shares). The sign and percentage are often dropped – the sign is implicit in the option type (negative for put, positive for call) and the percentage is understood. The most commonly quoted are 25 delta put, 50 delta put/50 delta call, and 25 delta call. 50 Delta put and 50 Delta call are not quite identical, due to spot and forward differing by the discount factor, but they are often conflated. Delta is always positive for long calls and negative for long puts (unless they are zero). The total delta of a complex portfolio of positions on the same underlying asset can be calculated by simply taking the sum of the deltas for each individual position – delta of a portfolio is linear in the constituents. Since the delta of underlying asset is always 1.0, the trader could delta hedge his entire position in the underlying by buying or shorting the number of shares indicated by the total delta. For example, if the delta of a portfolio of options in XYZ (expressed as shares of the underlying) is +2.75, the trader would be able to delta hedge the portfolio by selling short 2.75 shares of the underlying. This portfolio will then retain its total value regardless of which direction the price of XYZ moves. (Albeit for only small movements of the underlying, a short amount of time and not withstanding changes in other market conditions such as volatility and the rate of return for a risk free investment).

Ықтималдықтың орнына

(Абсолюттік мәні) Дельта опцияның пайыздық ақшалылығына жақын, бірақ одан толыққанды өзгеше, яғни опцияның ақшада аяқталуының күтілетін ықтималдығы (нарық тәуекелге бейтарап өлшемде Браун қозғалысы бойынша өзгерсе). Осы себепті, кейбір опцион трейдерлері дельтаның абсолюттік мәнін пайыздық ақшалылықтың жуық шамасы ретінде қолданады. Мысалы, егер ақшадан тыс колл опциясының дельтасы 0,15 болса, трейдер опцияның ақшада аяқталу мүмкіндігі шамамен 15% деп бағалауы мүмкін. Сол сияқты, егер пут контрактісінің дельтасы -0,25 болса, трейдер опцияның ақшада аяқталу ықтималдығы 25% шамасында болады деп күтуі мүмкін. Ақшаға жақын колл және пут опцияларының дельтасы тиісінше шамамен 0,5 және -0,5 құрайды, тәуекелсіз мөлшерлеме дельтаға белгілі бір түзету енгізетіндіктен, ATM колл опциялары үшін дельта шамасы сәл жоғары болуы мүмкін. Опцияның ақшада аяқталуының нақты ықтималдығы – оның екі еселі дельтасы, яғни опция бағасының страйкқа қатысты бірінші туындысы.

Сатып алу мен сату дельтасының арақатынасы

Еуропалық сатып алу және сату опциялары бірдей негізгі активке, жүзеге асыру бағасына және мерзіміне ие болғанда, дивидендтік төлем болмаса, әр опцияның дельтасының абсолютті мәндерінің қосындысы 1-ге тең болады – дәлірек айтқанда, сатып алу опциясының (оң) дельтасы минус сату опциясының (теріс) дельтасы 1-ге тең. Бұл put-call теңдігіне байланысты: ұзақ сатып алу опциясы плюс қысқа сату опциясы (сатып алу опциясы минус сату опциясы) форвардтық келісімді қайталайды, оның дельтасы 1-ге тең. Егер опцияның дельтасы белгілі болса, бірдей жүзеге асыру бағасы, негізгі актив және мерзімі бар опцияның дельтасын белгілі сатып алу опциясының дельтасынан 1-ді алып тастау арқылы немесе белгілі сату опциясының дельтасына 1-ді қосу арқылы есептеуге болады. Мысалы, егер сатып алу опциясының дельтасы 0,42 болса, онда сол жүзеге асыру бағасымен сәйкес келетін сату опциясының дельтасын 0,42 - 1 = -0,58 деп есептеуге болады. Сату опциясының дельтасынан сатып алу опциясының дельтасын алу үшін, -0,58-ге 1-ді қосып, 0,42-ні алуға болады.

Тета

Тета, немесе серпімділік (сонымен қатар пси, деп аталады) – бұл негізгі активтің дивидендтік кірістілігінің пайыздық өзгеруіне опция құнының пайыздық өзгеруі, дивидендтік тәуекелді өлшеу шарасы. Дивидендтік кірістіліктің әсері практикада осы кірістіліктің 10%-ға ұлғаюы арқылы анықталады. Әрине, бұл сезімталдық тек капиталдық өнімдердің туынды құралдарына ғана қолданылуы мүмкін. Сандық тұрғыдан алғанда, барлық бірінші реттік сезімталдықтарды күтілетін кірістің айырмасы ретінде қарастыруға болады. Ақпараттық геометрия басқа (тригонометриялық) түсіндіруді ұсынады. Гамма шамамен нақты бағада (ATM) ең жоғары болады және бағаның нақтыдан (ITM) немесе номиналдан (OTM) алыстауымен азаяды. Гамма маңызды, себебі ол құнның дөңгелектеуін түзетеді. Егер саудагер портфель үшін тиімді дельта хеджин құруға тырысса, ол портфельдің гаммасын да бейтараптандыруға тырысуы мүмкін, себебі бұл хеджин негізгі бағаның кең ауқымындағы өзгерістерде тиімді болуын қамтамасыз етеді.

Ванна

Vanna және DdeltaDvol уақыт өте келе дельтаның мгновенді өзгеру қарқынын өлшейді. Шарм да DdeltaDtime деп аталады. Vega convexity немесе DvegaDtime (кейде rhova) – бұл бағалар келтірілген колл опцияларының бағаларын пайдаланып, осы бағалар арқылы көрінетін тәуекелге бейтарап ықтималдықтарды бағалауға қолданылады. Колл опциялары үшін оны көбелек стратегиясының инфинитезимальды портфельдерін қолдана отырып жуықтауға болады.

Жылдамдық

Жылдамдық немесе DgammaDtime. Ол сондай-ақ cega деп белгілі. Крос-гамма бір негізгі активтің дельтасының, екінші негізгі активтің бағасы өзгергендегі өзгеру қарқынын өлшейді. Крос-ванна бір негізгі активтің вегасының, екінші негізгі активтің бағасы өзгергендегі өзгеру қарқынын өлшейді. Бұл, керісінше, бірінші негізгі активтің құбылмалылығы өзгергенде екінші негізгі активтің дельтасының өзгеру қарқынын өлшеумен тең. Крос-волга бір негізгі активтің вегасының, екінші негізгі активтің құбылмалылығы өзгергендегі өзгеру қарқынын өлшейді.

Қатысушы шаралар

Қаржылық құралдарға қатысты тәуекелді бағалаудың кейбір шаралары төменде тізілген.

Байланыстың ұзақтығы және құрғақтығы

Облигациялар мен басқа да тұрақты кірісті бағалы қағаздарды саудалау кезінде облигация мерзіміне қатысты түрлі өлшемдер опцияның дельтасына ұқсас қолданылады. Дельтаға ең жақын аналог DV01 болып табылады, ол өнімділіктің бір базалық пунктке (яғни жылына 0,01%-ға) өсуі үшін бағаның төмендеуі (валюталық бірліктерде), мұнда өнімділік негізгі айнымалы болып табылады; қараңыз (Бұл CS01 болып табылады, ол кредиттік айырмаға сезімталдықты өлшейді). Ламбдаға ұқсас өзгертілген мерзім, ол облигацияның нарықтық бағасының пайыздық өзгеруі (яғни, ол DV01 нарықтық бағаға бөлінгендегі мәнімен тең) өнімділіктің бір бірлікке өзгеруіне байланысты (мысалы, ол DV01 бірлік өзгерісі үшін). Ламбдадан айырмашылығы, ол серпімділік (кірістің пайыздық өзгеруіне қатысты шығыстың пайыздық өзгеруі), өзгертілген мерзім жартылай серпімділік болып табылады – кірістің бірлік өзгеруіне қатысты шығыстың пайыздық өзгеруі. Сондай-ақ, негізгі мөлшерлемеге байланысты мерзімді қараңыз. Облигацияның дөңгелектеуі – бұл мерзімнің пайыздық мөлшерлемелердегі өзгерістерге сезімталдығының өлшемі, облигация бағасының пайыздық мөлшерлемелерге қатысты екінші туындысы (мерзім – бірінші туынды); ол гаммаға ұқсас. Жалпы алғанда, дөңгелектеу неғұрлым жоғары болса, облигация бағасы пайыздық мөлшерлемелердің өзгеруіне соғұрлым сезімтал болады. Облигация дөңгелектеуі – қаржы саласындағы дөңгелектеудің ең негізгі және кеңінен қолданылатын түрлерінің бірі. Бұл ретте, стандартты кіріс мерзіміне негізделген есептеулер опцияны жүзеге асырудан туындайтын ақша ағынының пайыздық мөлшерлемелердегі өзгерістерге байланысты қалай өзгеретінін ескермейді. Осы мәселені шешу үшін тиімді мерзім мен тиімді дөңгелектеу енгізілген. Бұл мәндер әдетте бүкіл кіріс қисығы үшін (бір кіріске қарағанда) салынған ағаш тәрізді модельді пайдалану арқылы есептеледі және сондықтан опцияның өмірінің әр нүктесінде уақыт пен пайыздық мөлшерлемелердің функциясы ретінде жүзеге асыру мінез-құлқын қамтиды; қараңыз.

Бета

Акция немесе портфельдің бета (β) коэффициенті – активтің құбылмалылығын, онымен салыстырылатын эталонның құбылмалылығымен салыстырғанда сипаттайтын сан. Бұл эталон әдетте жалпы қаржы нарығы болып табылады және көбінесе S&P 500 сияқты өкілдік индекстерді пайдалану арқылы есептеледі. Активтің бета-коэффициенті нөлге тең болса, оның кірісі нарықтың кірісінің өзгеруіне тәуелсіз түрде өзгереді. Оң бета активтің кірісінің нарықтың кірісімен бірдей бағытта өзгеретінін білдіреді, яғни екеуі де орташа көрсеткіштен жоғары немесе екеуі де орташа көрсеткіштен төмен болуы мүмкін. Теріс бета активтің кірісінің нарықтың кірісіне қарама-қарсы қозғалатынын білдіреді: біреуі орташа көрсеткіштен жоғары болса, екіншісі орташа көрсеткіштен төмен болады.

Қашу

Қашу – американдық немесе Бермудалық опцияны пайдаланудың күтілетін уақыты. Қашуды хеджирлеу мақсатында есептеу пайдалы – мысалы, американдық свопцияның ағындарын қашу уақытынан басталатын своп ағынына теңестіріп, оны дельтаға көбейтуге болады, содан кейін осы мәліметтерді басқа сезімталдықтарды есептеу үшін қолдануға болады.