Греки в математических финансах: чувствительность опционов и управление рисками

Введение

Параметры модели в математических финансах

В математических финансах "греки" – это величины (известные в математическом анализе как частные производные; первого или более высокого порядка), представляющие чувствительность цены производного финансового инструмента, такого как опцион, к изменениям одного или нескольких базовых параметров, от которых зависит стоимость инструмента или портфеля финансовых инструментов. Это название используется потому, что наиболее распространенные из этих чувствительностей обозначаются греческими буквами (как и некоторые другие финансовые показатели). В совокупности они также называются параметрами риска, мерами риска или параметрами хеджирования.

Использование греков

Основной параметр Параметр опциона Спотовая цена S Волатильность Время до экспирации Значение (V) Дельта Вега Тета Дельта Гамма Ванна Чарм Вега Ванна Вомма Вета Тета Чарм Вета Гамма Скорость Зомма Цвет Вомма Ультима Определение греков как мера чувствительности цены опциона и риска (в первом ряду) к базовому параметру (в первой колонке). Греки первого порядка выделены синим цветом, греки второго порядка – зеленым, а греки третьего порядка – желтым. Ванна, чарм и вета указаны дважды, поскольку частные смешанные производные равны согласно теореме Шварца. Rho, lambda, epsilon и vera исключены, так как они менее важны, чем остальные. Три ячейки в таблице остаются пустыми, поскольку соответствующие величины еще не определены в финансовой литературе. Греки – важнейшие инструменты управления рисками. Каждый грек измеряет чувствительность стоимости портфеля к небольшому изменению заданного базового параметра, позволяя рассматривать отдельные компоненты риска и соответствующим образом перебалансировать портфель для достижения желаемого уровня воздействия; например, дельта-хеджирование. Греки в модели Блэка–Шоулза (относительно простая идеализированная модель некоторых финансовых рынков) относительно легко вычисляются – что является желательным свойством финансовых моделей – и очень полезны для трейдеров по деривативам, особенно для тех, кто стремится хеджировать свои портфели от неблагоприятных изменений рыночных условий. По этой причине греки, особенно полезные для хеджирования, такие как дельта, тета и вега, хорошо определены для измерения изменений спотовой цены, времени и волатильности. Хотя rho (частная производная по безрисковой процентной ставке) является основным входным параметром модели Блэка–Шоулза, общее влияние на стоимость краткосрочного опциона, соответствующее изменениям безрисковой процентной ставки, обычно незначительно, поэтому производные более высокого порядка, включающие безрисковую процентную ставку, не распространены. Наиболее часто используемые греки – производные первого порядка: дельта, вега, тета и ро, а также гамма – производная второго порядка функции стоимости. Остальные величины из этого списка достаточно распространены, чтобы иметь общепринятые названия, но этот список далеко не исчерпывающий. Участники рынка ежедневно совершают конкурентные сделки, включающие миллиарды (долларов, фунтов или евро) базовых активов, поэтому важно правильно рассчитывать суммы. На практике они используют более сложные модели, выходящие за рамки упрощающих предположений, используемых в модели Блэка–Шоулза и, следовательно, в греках.

Underlying parameter Option parameter Spot priceS Volatility Passage oftime Value (V) Delta Vega Theta Delta Gamma Vanna Charm Vega Vanna Vomma Veta Theta Charm Veta Gamma Speed Zomma Color Vomma Ultima Definition of Greeks as the sensitivity of an option's price and risk (in the first row) to the underlying parameter (in the first column). First order Greeks are in blue, second order Greeks are in green, and third order Greeks are in yellow. Vanna, charm and veta appear twice, since partial cross derivatives are equal by Schwarz's theorem. Rho, lambda, epsilon, and vera are left out as they are not as important as the rest. Three places in the table are not occupied, because the respective quantities have not yet been defined in the financial literature. The Greeks are vital tools in risk management. Each Greek measures the sensitivity of the value of a portfolio to a small change in a given underlying parameter, so that component risks may be treated in isolation, and the portfolio rebalanced accordingly to achieve a desired exposure; see for example delta hedging. The Greeks in the Black–Scholes model (a relatively simple idealised model of certain financial markets) are relatively easy to calculate — a desirable property of financial models — and are very useful for derivatives traders, especially those who seek to hedge their portfolios from adverse changes in market conditions. For this reason, those Greeks which are particularly useful for hedging—such as delta, theta, and vega—are well defined for measuring changes in the parameters spot price, time and volatility. Although rho (the partial derivative with respect to the risk free interest rate) is a primary input into the Black–Scholes model, the overall impact on the value of a short term option corresponding to changes in the risk free interest rate is generally insignificant and therefore higher order derivatives involving the risk free interest rate are not common. The most common of the Greeks are the first order derivatives: delta, vega, theta and rho; as well as gamma, a second order derivative of the value function. The remaining sensitivities in this list are common enough that they have common names, but this list is by no means exhaustive. The players in the market make competitive trades involving many billions (of $, £ or €) of underlying every day, so it is important to get the sums right. In practice they will use more sophisticated models which go beyond the simplifying assumptions used in the Black Scholes model and hence in the Greeks.

Имена

Использование названий греческих букв, вероятно, является расширением общепринятых финансовых терминов альфа и бета, а также использования сигмы (стандартного отклонения логарифмических доходностей) и тау (времени до экспирации) в модели ценообразования опционов Блэка — Шоулза. Некоторые названия, такие как "вега" (символ которой похож на строчную греческую букву ню; использование этого названия могло вызвать путаницу) и "зомма", были придуманы, но звучат похоже на греческие буквы. Названия "цвет" и "шарм", по-видимому, происходят от использования этих терминов для обозначения экзотических свойств кварков в физике элементарных частиц.

Дельта

Дельта измеряет скорость изменения теоретической стоимости опциона при изменении цены базового актива. Дельта – это первая производная значения опциона по цене базового инструмента.

Практическое применение

Для ванильного опциона дельта будет числом между 0,0 и 1,0 для длинного колла (или короткого пута) и 0,0 и -1,0 для длинного пута (или короткого колла); в зависимости от цены, колл-опцион ведет себя так, как если бы вы владели 1 акцией базового актива (если он глубоко в деньгах), или не владели ничем (если он далеко от денег), или чем-то средним, и наоборот для пут-опциона. Разница между дельтой колла и дельтой пута при одном и том же страйке равна единице. В соответствии с паритетом пут-колл, длинный колл и короткий пут эквивалентны форвардному контракту F, который линейно зависит от спотовой цены S с коэффициентом единицы, следовательно, производная dF/dS равна 1. См. формулы ниже. Эти значения обычно представляются в процентах от общего количества акций, представленных опционным контрактом (ами). Это удобно, поскольку опцион будет (мгновенно) вести себя как количество акций, указанное дельтой. Например, если портфель из 100 американских колл-опционов на XYZ каждый имеет дельту 0,25 (= 25%), он будет расти или падать в цене так же, как 2500 акций XYZ при небольших изменениях цены (100 опционных контрактов покрывают 10 000 акций). Знак и процент часто опускаются – знак подразумевается типом опциона (отрицательный для пута, положительный для колла), а процент понятен. Наиболее часто упоминаемые – 25 дельта пут, 50 дельта пут/50 дельта колл и 25 дельта колл. 50 дельта пут и 50 дельта колл не совсем идентичны, поскольку спот и форвард различаются дисконтным фактором, но их часто путают. Дельта всегда положительна для длинных коллов и отрицательна для длинных путов (если они не равны нулю). Общая дельта сложного портфеля позиций по одному и тому же базовому активу может быть рассчитана путем простого суммирования дельт для каждой отдельной позиции – дельта портфеля линейна по отношению к его составляющим. Поскольку дельта базового актива всегда равна 1,0, трейдер может дельта-хеджировать всю свою позицию в базовом активе, покупая или продавая количество акций, указанное общей дельтой. Например, если дельта портфеля опционов на XYZ (выраженная в акциях базового актива) равна +2,75, трейдер сможет дельта-хеджировать портфель, продав шорт 2,75 акции базового актива. Этот портфель затем сохранит свою общую стоимость независимо от направления движения цены XYZ. (Впрочем, это справедливо только для небольших движений базового актива, короткого периода времени и при отсутствии изменений в других рыночных условиях, таких как волатильность и ставка доходности безрисковых инвестиций).

For a vanilla option, delta will be a number between 0.0 and 1.0 for a long call (or a short put) and 0.0 and −1.0 for a long put (or a short call); depending on price, a call option behaves as if one owns 1 share of the underlying stock (if deep in the money), or owns nothing (if far out of the money), or something in between, and conversely for a put option. The difference between the delta of a call and the delta of a put at the same strike is equal to one. By put–call parity, long a call and short a put is equivalent to a forward F, which is linear in the spot S, with unit factor, so the derivative dF/dS is 1. See the formulas below. These numbers are commonly presented as a percentage of the total number of shares represented by the option contract(s). This is convenient because the option will (instantaneously) behave like the number of shares indicated by the delta. For example, if a portfolio of 100 American call options on XYZ each have a delta of 0.25 (= 25%), it will gain or lose value just like 2,500 shares of XYZ as the price changes for small price movements (100 option contracts covers 10,000 shares). The sign and percentage are often dropped – the sign is implicit in the option type (negative for put, positive for call) and the percentage is understood. The most commonly quoted are 25 delta put, 50 delta put/50 delta call, and 25 delta call. 50 Delta put and 50 Delta call are not quite identical, due to spot and forward differing by the discount factor, but they are often conflated. Delta is always positive for long calls and negative for long puts (unless they are zero). The total delta of a complex portfolio of positions on the same underlying asset can be calculated by simply taking the sum of the deltas for each individual position – delta of a portfolio is linear in the constituents. Since the delta of underlying asset is always 1.0, the trader could delta hedge his entire position in the underlying by buying or shorting the number of shares indicated by the total delta. For example, if the delta of a portfolio of options in XYZ (expressed as shares of the underlying) is +2.75, the trader would be able to delta hedge the portfolio by selling short 2.75 shares of the underlying. This portfolio will then retain its total value regardless of which direction the price of XYZ moves. (Albeit for only small movements of the underlying, a short amount of time and not withstanding changes in other market conditions such as volatility and the rate of return for a risk free investment).

Как прокси для вероятности

(Абсолютное значение) Дельта близка к процентной прибыльности опциона, но не идентична ей, то есть к подразумеваемой вероятности того, что опцион истечет в деньгах (если рынок движется по броуновскому движению в нейтральном к риску измерении). По этой причине некоторые трейдеры опционами используют абсолютное значение дельты в качестве приближения к процентной прибыльности. Например, если опцион вне денег имеет дельту 0,15, трейдер может оценить, что вероятность истечения срока действия опциона в деньгах составляет примерно 15%. Аналогично, если опцион пут имеет дельту -0,25, трейдер может ожидать, что у опциона будет 25% вероятность истечения срока действия в деньгах. Опционы колл и пут при деньгах имеют дельту примерно 0,5 и -0,5 соответственно, с небольшим смещением в сторону более высоких значений дельты для опционов колл при деньгах, поскольку безрисковая процентная ставка вносит некоторое корректирующее влияние на дельту. Фактическая вероятность того, что опцион истечет в деньгах, определяется его двойной дельтой, которая является первой производной цены опциона по цене исполнения.

Отношение между дельтой по цене покупки и продажи

При европейском опционе "call" и "put" на один и тот же базовый актив, с одинаковой ценой исполнения и сроком до погашения, и при отсутствии дивидендов, сумма абсолютных значений дельт обоих опционов будет равна 1 – точнее, дельта опциона "call" (положительная) минус дельта опциона "put" (отрицательная) равна 1. Это обусловлено паритетом "put-call": длинная позиция в "call" и короткая позиция в "put" (то есть "call" минус "put") реплицируют форвардный контракт, дельта которого равна 1. Если известно значение дельты для одного опциона, можно рассчитать дельту опциона с той же ценой исполнения, базовым активом и сроком погашения, но с противоположным правом, вычитая 1 из известной дельты "call" или прибавляя 1 к известной дельте "put". Например, если дельта "call" равна 0,42, то дельту соответствующего "put" с той же ценой исполнения можно вычислить как 0,42 – 1 = –0,58. Чтобы вычислить дельту "call" по дельте "put", можно аналогично взять –0,58 и прибавить 1, получив 0,42.

Тета

Тета, или эластичность (также известная как psi,) – это процентное изменение стоимости опциона на процентное изменение дивидендной доходности базового актива, показатель дивидендного риска. Влияние дивидендной доходности на практике определяется путем увеличения ее на 10%. Очевидно, что эта чувствительность применима только к производным финансовым инструментам, основанным на акциях. С точки зрения математики, все чувствительности первого порядка можно интерпретировать как разницу в ожидаемой доходности. Информационная геометрия предлагает иное (тригонометрическое) толкование. Гамма максимальна приблизительно при цене исполнения, близкой к текущей цене базового актива (ATM), и уменьшается по мере удаления в зону прибыльности (ITM) или в зону убытка (OTM). Гамма важна, поскольку она учитывает выпуклость стоимости. Когда трейдер стремится создать эффективный дельта-хедж для портфеля, он также может стремиться нейтрализовать гамму портфеля, чтобы обеспечить эффективность хеджа в более широком диапазоне изменений цены базового актива.

Ванна

Ванна и DdeltaDvol измеряют мгновенную скорость изменения дельты во времени. Также "Чарм" называют DdeltaDtime. Вега-конвексность, или DvegaDtime (иногда rho-vega), использует котировки цен на колл-опционы для оценки риско-нейтральных вероятностей, подразумеваемых этими ценами. Для колл-опционов она может быть аппроксимирована с помощью бесконечно малых портфелей стратегий "бабочка".

Скорость

Скорость или DgammaDtime. Она также широко известна как cega. Кросс-гамма измеряет скорость изменения дельты одного базового актива при изменении уровня другого базового актива. Кросс-ванна измеряет скорость изменения веги одного базового актива при изменении уровня другого базового актива. Эквивалентно, она измеряет скорость изменения дельты второго базового актива при изменении волатильности первого базового актива. Кросс-волга измеряет скорость изменения веги одного базового актива при изменении волатильности другого базового актива.

Сопутствующие меры

Ниже перечислены некоторые сопряженные показатели риска финансовых инструментов.

Продолжительность и выпуклость связи

В торговле облигациями и другими ценными бумагами с фиксированной доходностью различные меры дюрации облигаций используются аналогично дельте опциона. Наиболее близким аналогом дельты является DV01, представляющий собой снижение цены (в валютных единицах) при увеличении доходности на один базисный пункт (т.е. 0,01% в год), где доходность является базовым параметром; см. (Связанный показатель – CS01, измеряющий чувствительность к кредитному спреду.) Модифицированная дюрация аналогична лямбде и представляет собой процентное изменение рыночной цены облигации (облигаций) при единичном изменении доходности (т.е. эквивалентно DV01, деленному на рыночную цену). В отличие от лямбды, которая является эластичностью (процентным изменением результата при процентном изменении входных данных), модифицированная дюрация является полуэластичностью – процентным изменением результата при единичном изменении входных данных. См. также дюрация ключевой ставки. Выпуклость облигации – это мера чувствительности дюрации к изменениям процентных ставок, вторая производная цены облигации по отношению к процентным ставкам (дюрация – первая производная); она аналогична гамме. В целом, чем выше выпуклость, тем сильнее цена облигации реагирует на изменение процентных ставок. Выпуклость облигации является одной из наиболее базовых и широко используемых форм выпуклости в финансах. Для облигации со встроенным опционом стандартные расчеты, основанные на доходности к погашению, не учитывают, как изменения процентных ставок повлияют на денежные потоки в результате исполнения опциона. Для решения этой проблемы вводятся эффективная дюрация и эффективная выпуклость. Эти значения обычно рассчитываются с использованием модельного дерева, построенного для всей кривой доходности (в отличие от одной доходности к погашению), и, следовательно, учитывают поведение при исполнении на каждом этапе жизни опциона как функцию времени и процентных ставок; см.

Бета-эпидемия

Бета (β) акции или портфеля – это число, характеризующее волатильность актива по отношению к волатильности эталонного показателя, с которым этот актив сравнивается. В качестве такого эталонного показателя обычно выступает весь финансовый рынок, который часто оценивается с использованием репрезентативных индексов, таких как S&P 500. Бета актива равна нулю, если его доходность изменяется независимо от изменений доходности рынка. Положительная бета означает, что доходность актива в целом следует за доходностью рынка, то есть они оба, как правило, одновременно превышают свои средние значения или одновременно опускаются ниже своих средних значений. Отрицательная бета означает, что доходность актива в целом движется в противоположном направлении от доходности рынка: один показатель имеет тенденцию быть выше среднего, когда другой – ниже среднего.

Бегство

Побег – это ожидаемое время осуществления американского или бермудского опциона. Побег полезно вычислять для целей хеджирования – например, можно представить денежные потоки по американскому свопциону как денежные потоки свопа, начиная с момента побега, умноженные на дельту, а затем использовать их для вычисления других чувствительностей.