Уильям Клиффорд: Британ математигі мен философы

Кіріспе

Британдық математик және философ (1845–1879)

Уильям Кингдон Клиффорд (4 мамыр 1845 – 3 наурыз 1879) – британдық математик және философ. Герман Грассманның еңбегіне негізделген ол, қазір геометриялық алгебра деп аталатын, оның құрметіне аталған Клиффорд алгебрасының ерекше түрін енгізді. Геометриялық алгебраның амалдары геометриялық нысандарды кернеу, бұру, жылжыту және модельдеу арқылы жаңа орынға бейнелеу эффектін береді. Клиффорд алгебрасы, жалпы алғанда, және геометриялық алгебра, әсіресе, математикалық физика, геометрия және информатика үшін маңыздылығы артып келеді. Клиффорд алғаш рет гравитацияның жатқандағы геометрияның көрінісі болу мүмкін екенін ұсынды. Философиялық жазбаларында ол "ой материясы" терминін қолданды.

Өмірбаян

Эксетерде туған Уильям Клиффорд мектепте үлкен дарындылық танытты. Ол 15 жасында Лондон Король колледжіне, содан кейін Кембридждегі Троица колледжіне оқуға түсті, онда 1867 жылы екінші «рэнглер» атанды және 1868 жылы осы колледждің профессоры болып сайланды. Екінші орынды иелену тағдыры Уильям Томсон (Лорд Кельвин) және Джеймс Клерк Максвелл сияқты болашақ әйгілі ғалымдармен ортақ болды. 1870 жылы 22 желтоқсандағы күн тұтылуын бақылау мақсатында Италияға экспедицияға қатысты. Осы сапарда ол Сицилия жағалауында кеме апаттан аман қалды. 1871 жылы Лондон университетінің колледжінде математика және механика профессоры болып тағайындалды, ал 1874 жылы Корольдік қоғамның мүшесі атанды. Ол сонымен қатар Лондон математикалық қоғамы мен метафизикалық қоғамға да мүше болды. Клиффорд 7 сәуірде Люси Лейнге үйленді, олардың екі баласы болды. Клиффорд балалармен әңгімелесуді ұнататын және «Кішкентай адамдар» атты ертегілер жинағын жазған.

Өлім және мұра

1876 жылы Клиффордтың денсаулығы күйреп, бұл, әдетте, тым көп жұмыс істегеннен туған болуы мүмкін. Ол күндіз оқытып, басшылық етсе, түнімен жазды. Алжир мен Испанияда алты айлық демалыс оған 18 ай бойы қызметін жалғастыруға мүмкіндік берді, бірақ одан кейін ол қайтадан ауыр сырқаттанды. Ол Мадейра аралына емделуге барды, алайда бірнеше айдан кейін туберкулезден көз жұмды, артында жесір әйелі мен екі баласы қалды. Клиффорд пен оның әйелі Лондонның Хайгейт зиратында, Джордж Элиот пен Герберт Спенсердің қабірлеріне жақын, Карл Маркстың қабірінің солтүстігінде жерленген. "Қолданбалы Клиффорд алгебрасының жетістіктері" атты академиялық журналы Клиффордтың кинематика және абстракт алгебра салаларындағы мұрасын жариялайды.

Математика

Евклидтік емес геометрияның ашылуы Клиффорд заманында геометрияда жаңа мүмкіндіктерді ашты. Ішкі дифференциалдық геометрия саласы туды, қисықтық ұғымы кеңістіктің өзіне, сондай-ақ қисық сызықтар мен беттерге қолданылды. Клиффорд Бернхард Риманның 1854 жылғы "Геометрия негізінде жатқан гипотезалар туралы" мақаласына зор әсер етті. 1870 жылы ол Кембридж философиялық қоғамына Риманның қисық кеңістік туралы ұғымдары жөнінде баяндады және гравитацияның кеңістікті бүгуі туралы болжамдарды қосты. Клиффордтың Риманның мақаласын аударуы 1873 жылы Nature журналында жарияланды. Оның Кембридждегі "Материяның кеңістіктік теориясы" атты баяндамасы 1876 жылы жарияланды, бұл Альберт Эйнштейннің жалпы салыстырмалылық теориясынан 40 жыл бұрын болды. Клиффорд эллиптикалық кеңістік геометриясын Евклидтік емес метрикалық кеңістік ретінде дамытты. Эллиптикалық кеңістіктегі бірдей қашықтықтағы қисықтар қазір Клиффорд параллельдері деп аталады. Клиффордтың құрбылары оны өткір және жаңашыл, әзілқой және жылы адам деп есептеді. Ол көбінесе түнгі уақытқа дейін жұмыс істегендіктен, бұл оның өлімін жылдамдатуы мүмкін. Ол алгебралық формалар, проективтік геометрия және "Динамика элементтері" оқулығы сияқты тақырыптар бойынша мақалалар жариялады. Оның инвариант теориясына графтар теориясын қолдануын Уильям Споттисвуд және Альфред Кемпе жалғастырды.

Алгебралар

1878 жылы Клиффорд Грасманның кең көлемді алгебрасын негізге ала отырып, маңызды еңбек жариялады. Ол Уильям Роуэн Гамильтон жасаған кватерниондарды Грасманның сыртқы көбейтіндісімен (сыртқы өнім деп те аталады) біріктіруге қол жеткізді. Ол Грасманның туындысының геометриялық мәнін түсінді және кватерниондардың Грасман жасаған алгебраға оңай сәйкес келетінін анықтады. Кватерниондардағы версорлар айналуды көрсетуге мүмкіндік береді. Клиффорд ішкі өнім мен Грасманның сыртқы өнімінің қосындысынан тұратын геометриялық өнімнің негізін қалады. Геометриялық өнімді венгр математигі Марсель Риес кейіннен формалдады. Ішкі өнім геометриялық алгебраны метрикамен жабдықтайды, сызықтар, жазықтықтар және көлемдер үшін қашықтық және бұрыш қатынастарын толық қамтиды, ал сыртқы өнім осы жазықтықтар мен көлемдерге вектор сияқты қасиеттер береді, соның ішінде бағыттық сипаттаманы. Екеуін біріктіру бөлу амалын қолдануға әкелді. Бұл кеңістіктегі заттардың өзара әрекеттесуін сапалық тұрғыдан түсінуді едәуір кеңейтті. Ең бастысы, ол осы өзара әрекеттесудің кеңістіктік салдарларын сандық есептеу құралын ұсынды. Ол геометриялық алгебра деп атаған бұл алгебра үш өлшемді кеңістіктегі нысандардың қозғалысын және проекциясын көрсететін алгебраны құрудың көптен бері ізделіп келе жатқан мақсатын іске асырды. Сонымен қатар, Клиффордтың алгебралық схемасы жоғары өлшемдерге де қолданылады. Алгебралық амалдардың символдық түрі 2 немесе 3 өлшемдегідей болып қалады. Жалпы Клиффорд алгебраларының маңыздылығы уақыт өте келе артты, ал олардың изоморфизм кластары нақты алгебралар ретінде кватерниондардан басқа математикалық жүйелерде де анықталды. Нақты және кешенді талдау салалары кватерниондардың H алгебрасы арқылы кеңейтілді, оның төрт өлшемді кеңістікте орналасқан үш өлшемді сфера туралы түсінігіне байланысты. Осы 3 сферада орналасқан кватерниондық версорлар SO(3) айналу тобын көрсетеді. Клиффорд Гамильтонның бикватерниондары белгілі алгебралардың тензорлық көбейтіндісі екенін көрсетті және H-тің басқа екі тензорлық көбейтіндісін ұсынды: Клиффорд күрделі сандардан алынған "скалярлардың" оның орнына бөлінген кешенді сандардан D немесе екілік сандардан N алынуы мүмкін екенін айтты. Тензорлық көбейтінділер тұрғысынан, бөлінген бикватерниондарды жасайды, ал дуальді кватерниондарды құрайды. Дуальді кватерниондардың алгебрасы кинематикада кең таралған бейнелеу болып табылатын бұрандалы орын ауыстыруды көрсету үшін қолданылады.

In 1878, Clifford published a seminal work, building on Grassmann's extensive algebra. He had succeeded in unifying the quaternions, developed by William Rowan Hamilton, with Grassmann's outer product (aka the exterior product). He understood the geometric nature of Grassmann's creation, and that the quaternions fit cleanly into the algebra Grassmann had developed. The versors in quaternions facilitate representation of rotation. Clifford laid the foundation for a geometric product, composed of the sum of the inner product and Grassmann's outer product. The geometric product was eventually formalized by the Hungarian mathematician Marcel Riesz. The inner product equips geometric algebra with a metric, fully incorporating distance and angle relationships for lines, planes, and volumes, while the outer product gives those planes and volumes vector like properties, including a directional bias. Combining the two brought the operation of division into play. This greatly expanded our qualitative understanding of how objects interact in space. Crucially, it also provided the means for quantitatively calculating the spatial consequences of those interactions. The resulting geometric algebra, as he called it, eventually realized the long sought goal of creating an algebra that mirrors the movements and projections of objects in 3 dimensional space. Moreover, Clifford's algebraic schema extends to higher dimensions. The algebraic operations have the same symbolic form as they do in 2 or 3 dimensions. The importance of general Clifford algebras has grown over time, while their isomorphism classes as real algebras have been identified in other mathematical systems beyond simply the quaternions. The realms of real analysis and complex analysis have been expanded through the algebra H of quaternions, thanks to its notion of a three dimensional sphere embedded in a four dimensional space. Quaternion versors, which inhabit this 3 sphere, provide a representation of the rotation group SO(3). Clifford noted that Hamilton's biquaternions were a tensor product of known algebras, and proposed instead two other tensor products of H: Clifford argued that the "scalars" taken from the complex numbers C might instead be taken from split complex numbers D or from the dual numbers N. In terms of tensor products, produces split biquaternions, while forms dual quaternions. The algebra of dual quaternions is used to express screw displacement, a common mapping in kinematics.

Цитаталар

Мен физикалық әлемде бұл [кеңістіктің қисықтығының] өзгеруінен басқа ештеңе болмайды деп санаймын. Ешбір ғылыми зерттеуші, ақын, суретші, музыкант өзінің ашылуының, өлеңінің немесе суретінің дайын күйде келгенін, сырттан келгенін, оны саналы түрде өзінен жасамағанын айтпайды. "Some of the conditions of mental development" (1882) лекциясы, Royal Institution. Барлық жерде, әрқашан және кез келген адам үшін жеткіліксіз дәлелдерге сүйеніп бір нәрсеге сену дұрыс емес. "The Ethics of Belief" (1879) [1877]. Егер адам бала кезінде үйренген немесе кейін сенген нанымын сақтап, оған қатысты туындаған күмәндарды жоққа шығарса, оны сұраққа салушы немесе талқылайтын кітаптарды оқудан және адамдармен араласудан қасақана бас тартса, оны оңай сұрау мүмкін болмайтын сұрақтарды дінсіз деп қараса, онда оның өмірі – адамзатқа қарсы жасалған ұзақ күнә. Мен болған емеспін, бірақ дүниеге келдім. Сүйдім де аз жұмыс істедім. Енді жоқпын, қайғырмаймын.