Введение
Британский математик и философ (1845–1879)
Уильям Кингдон Клиффорд (4 мая 1845 – 3 марта 1879) был британским математиком и философом. Развивая работы Германна Грассмана, он ввёл то, что сейчас называется геометрической алгеброй – частный случай алгебры Клиффорда, названной в его честь. Операции геометрической алгебры позволяют осуществлять зеркальное отражение, вращение, перемещение и преобразование геометрических объектов, моделируемых в новых положениях. Алгебры Клиффорда в целом и геометрическая алгебра в частности приобретают всё большее значение для математической физики, геометрии и информатики. Клиффорд первым предположил, что гравитация может быть проявлением лежащей в основе геометрии. В своих философских трудах он ввёл выражение "материя сознания".
Биография
Уильям Клиффорд, родившийся в Эксетере, проявил выдающиеся способности в школе. Он поступил в Королевский колледж Лондона (в 15 лет) и Тринити-колледж Кембриджа, где в 1868 году был избран членом колледжа, после того как в 1867 году занял второе место в конкурсе на звание старшего стипендиата и стал вторым лауреатом премии Смита. Такую же судьбу, как и он, разделили другие ученые, впоследствии прославившиеся, в том числе Уильям Томсон (лорд Кельвин) и Джеймс Клерк Максвелл. В 1870 году он участвовал в экспедиции в Италию для наблюдения за солнечным затмением 22 декабря 1870 года. Во время этого путешествия он пережил кораблекрушение у сицилийского побережья. В 1871 году он был назначен профессором математики и механики в Университетский колледж Лондона, а в 1874 году стал членом Королевского общества. Он также состоял в Лондонском математическом обществе и Метафизическом обществе. Клиффорд женился на Люси Лейн 7 апреля 1875 года, и у них родилось двое детей. Клиффорд любил развлекать детей и написал сборник сказок под названием «Маленькие люди».
Смерть и наследие
В 1876 году Клиффорд пережил нервный срыв, вероятно, вызванный переутомлением. Днем он преподавал и занимался административной работой, а ночью писал. Шестимесячный отпуск в Алжире и Испании позволил ему вернуться к своим обязанностям на полтора года, после чего он снова почувствовал себя плохо. Он отправился на остров Мадейра, чтобы поправиться, но умер там от туберкулеза через несколько месяцев, оставив вдову с двумя детьми. Клиффорд и его жена похоронены на лондонском кладбище Хайгейт, недалеко от могил Джорджа Элиота и Герберта Спенсера, к северу от могилы Карла Маркса. В академическом журнале Advances in Applied Clifford Algebras публикуются работы, посвященные наследию Клиффорда в области кинематики и абстрактной алгебры.
Математика
Открытие неевклидовой геометрии открыло новые возможности в геометрии в эпоху Клиффорда. Возникла область внутренней дифференциальной геометрии, где понятие кривизны широко применялось как к самому пространству, так и к кривым линиям и поверхностям. Клиффорд был глубоко впечатлен эссе Бернарда Римана «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» 1854 года. В 1870 году он доложил о концепции искривленного пространства Римана в Кембриджском философском обществе, включив в доклад предположения об искривлении пространства под действием гравитации. Перевод статьи Римана, выполненный Клиффордом, был опубликован в журнале Nature в 1873 году. Его доклад в Кембридже «О пространственной теории материи» был опубликован в 1876 году и предвосхитил общую теорию относительности Альберта Эйнштейна на 40 лет. Клиффорд развивал геометрию эллиптического пространства как неевклидово метрическое пространство. Равноотстоящие кривые в эллиптическом пространстве теперь называют параллелями Клиффорда. Современники считали Клиффорда проницательным и оригинальным, остроумным и душевным человеком. Он часто работал допоздна, что, возможно, ускорило его смерть. Он опубликовал работы по различным темам, включая алгебраические формы, проективную геометрию и учебник «Элементы динамики». Его применение теории графов к инвариантной теории было развито Уильямом Споттисвудом и Альфредом Кемпе.
Алгебры
В 1878 году Клиффорд опубликовал основополагающую работу, основанную на обширной алгебре Грассмана. Ему удалось объединить кватернионы, разработанные Уильямом Роуэном Гамильтоном, с внешним произведением Грассмана (также известным как внешнее произведение). Он понимал геометрическую природу творения Грассмана и то, что кватернионы органично вписываются в алгебру, разработанную Грассманом. Версоры в кватернионах облегчают представление вращения. Клиффорд заложил основу для геометрического произведения, состоящего из суммы внутреннего и внешнего произведений Грассмана. Геометрическое произведение было окончательно формализовано венгерским математиком Марселем Риессом. Внутреннее произведение наделяет геометрическую алгебру метрикой, полностью учитывая отношения расстояний и углов для линий, плоскостей и объемов, в то время как внешнее произведение придает этим плоскостям и объемам векторные свойства, включая направленность. Объединение этих двух произведений ввело операцию деления. Это значительно расширило наше качественное понимание взаимодействия объектов в пространстве. И что важно, предоставило средства для количественного расчета пространственных последствий этих взаимодействий. Полученная геометрическая алгебра, как он её назвал, в конечном итоге реализовала давнюю цель – создание алгебры, отражающей движения и проекции объектов в трехмерном пространстве. Более того, алгебраическая схема Клиффорда распространяется на более высокие размерности. Алгебраические операции сохраняют ту же символическую форму, что и в двух или трех измерениях. Значимость общих алгебр Клиффорда со временем возросла, а их классы изоморфизма как вещественных алгебр были идентифицированы в других математических системах, помимо кватернионов. Области вещественного и комплексного анализа были расширены благодаря алгебре H кватернионов и её понятию трехмерной сферы, вложенной в четырехмерное пространство. Кватернионные версоры, обитающие на этой 3-сфере, представляют группу вращений SO(3). Клиффорд отметил, что бикватернионы Гамильтона являются тензорным произведением известных алгебр, и предложил вместо этого два других тензорных произведения H: Клиффорд утверждал, что "скаляры", взятые из комплексных чисел C, могут быть взяты из разделенных комплексных чисел D или из двойственных чисел N. В терминах тензорных произведений, образует разделенные бикватернионы, а – двойственные кватернионы. Алгебра двойственных кватернионов используется для выражения винтового перемещения, распространенного преобразования в кинематике.
Цитаты
Я считаю, что в физическом мире происходит лишь эта вариация [кривизны пространства].
text="There is no scientific discoverer, no poet, no painter, no musician, who will not tell you that he found ready made his discovery or poem or picture—that it came to him from outside, and that he did not consciously create it from within. "|author=|title="Some of the conditions of mental development" (1882), lecture to the Royal Institution|source=
text="It is wrong always, everywhere, and for anyone, to believe anything upon insufficient evidence. "|author=|title=The Ethics of Belief (1879) [1877]|source=
text="If a man, holding a belief which he was taught in childhood or persuaded of afterwards, keeps down and pushes away any doubts which arise about it in his mind, purposely avoids the reading of books and the company of men that call in question or discuss it, and regards as impious those questions which cannot easily be asked without disturbing it—the life of that man is one long sin against mankind. "|author=|title=The Ethics of Belief (1879) [1877]|source=
text="I was not, and was conceived. I loved and did a little work. I am not and grieve not. "|author=|title=Epitaph|source=
Нет ни одного ученого, ни поэта, ни художника, ни музыканта, кто бы не сказал вам, что его открытие, стихотворение или картина были найдены в готовом виде – что они пришли к нему извне, и что он не создал их сознательно изнутри.
text="There is no scientific discoverer, no poet, no painter, no musician, who will not tell you that he found ready made his discovery or poem or picture—that it came to him from outside, and that he did not consciously create it from within. "|author=|title="Some of the conditions of mental development" (1882), lecture to the Royal Institution|source=
text="It is wrong always, everywhere, and for anyone, to believe anything upon insufficient evidence. "|author=|title=The Ethics of Belief (1879) [1877]|source=
text="If a man, holding a belief which he was taught in childhood or persuaded of afterwards, keeps down and pushes away any doubts which arise about it in his mind, purposely avoids the reading of books and the company of men that call in question or discuss it, and regards as impious those questions which cannot easily be asked without disturbing it—the life of that man is one long sin against mankind. "|author=|title=The Ethics of Belief (1879) [1877]|source=
text="I was not, and was conceived. I loved and did a little work. I am not and grieve not. "|author=|title=Epitaph|source=
Неправильно всегда, везде и для кого бы то ни было верить во что-либо на основании недостаточных доказательств.
text="There is no scientific discoverer, no poet, no painter, no musician, who will not tell you that he found ready made his discovery or poem or picture—that it came to him from outside, and that he did not consciously create it from within. "|author=|title="Some of the conditions of mental development" (1882), lecture to the Royal Institution|source=
text="It is wrong always, everywhere, and for anyone, to believe anything upon insufficient evidence. "|author=|title=The Ethics of Belief (1879) [1877]|source=
text="If a man, holding a belief which he was taught in childhood or persuaded of afterwards, keeps down and pushes away any doubts which arise about it in his mind, purposely avoids the reading of books and the company of men that call in question or discuss it, and regards as impious those questions which cannot easily be asked without disturbing it—the life of that man is one long sin against mankind. "|author=|title=The Ethics of Belief (1879) [1877]|source=
text="I was not, and was conceived. I loved and did a little work. I am not and grieve not. "|author=|title=Epitaph|source=
Если человек, придерживающийся убеждения, которому его научили в детстве или в котором его убедили позже, подавляет и отталкивает любые сомнения, возникающие в его уме, намеренно избегает чтения книг и общения с людьми, которые ставят это под сомнение или обсуждают, и считает нечестивыми вопросы, которые нельзя легко задать, не нарушая его, – жизнь этого человека есть один сплошной грех против человечества.
text="There is no scientific discoverer, no poet, no painter, no musician, who will not tell you that he found ready made his discovery or poem or picture—that it came to him from outside, and that he did not consciously create it from within. "|author=|title="Some of the conditions of mental development" (1882), lecture to the Royal Institution|source=
text="It is wrong always, everywhere, and for anyone, to believe anything upon insufficient evidence. "|author=|title=The Ethics of Belief (1879) [1877]|source=
text="If a man, holding a belief which he was taught in childhood or persuaded of afterwards, keeps down and pushes away any doubts which arise about it in his mind, purposely avoids the reading of books and the company of men that call in question or discuss it, and regards as impious those questions which cannot easily be asked without disturbing it—the life of that man is one long sin against mankind. "|author=|title=The Ethics of Belief (1879) [1877]|source=
text="I was not, and was conceived. I loved and did a little work. I am not and grieve not. "|author=|title=Epitaph|source=
Я не был и был зачат. Я любил и немного поработал. Я не существую и не скорблю.
text="There is no scientific discoverer, no poet, no painter, no musician, who will not tell you that he found ready made his discovery or poem or picture—that it came to him from outside, and that he did not consciously create it from within. "|author=|title="Some of the conditions of mental development" (1882), lecture to the Royal Institution|source=
text="It is wrong always, everywhere, and for anyone, to believe anything upon insufficient evidence. "|author=|title=The Ethics of Belief (1879) [1877]|source=
text="If a man, holding a belief which he was taught in childhood or persuaded of afterwards, keeps down and pushes away any doubts which arise about it in his mind, purposely avoids the reading of books and the company of men that call in question or discuss it, and regards as impious those questions which cannot easily be asked without disturbing it—the life of that man is one long sin against mankind. "|author=|title=The Ethics of Belief (1879) [1877]|source=
text="I was not, and was conceived. I loved and did a little work. I am not and grieve not. "|author=|title=Epitaph|source=