Кіріспе

Математикада монодромия – математикалық талдау, алгебралық топология, алгебралық геометрия және дифференциалдық геометрия салаларындағы объектілердің сингулярлықтардың маңындағы қалай өзгеретінін зерттейтін ғылым. Монодромия атауы "бір рет айналып өту" деген түсінікке негізделген. Бұл жабу карталарымен және олардың тармақтануға ұшырауымен тығыз байланысты; монодромия құбылысына себеп болатын жайт – біз анықтағымыз келген кейбір функциялар сингулярлықты айналап өтетін жол бойында бір мәнді болып табылмайды. Монодромияның болмауы монодромиялық топты анықтау арқылы өлшенуі мүмкін: бұл топ, бірөлшемді кеңістікте айналып өту кезіндегі өзгерістерді сипаттайтын трансформациялар жиынтығы. Монодромияның жоқтығы кейде полидромия деп аталады.

Анықтама

X - негізгі нүктесі x-пен байланысты және жергілікті байланысты негізделген топологиялық кеңістік болсын, ал - талшықты жабу болсын. x-те негізделген γ: [0, 1] → X циклі үшін, жабу картасы астындағы көтерілісін, нүктесінен басталатынын арқылы белгілейміз. Соңында біз соңғы нүктені арқылы белгілейміз, ол әдетте -ден өзгеше болады. Бұл құрылым негізгі топ π1(X, x)-тің F-ке қатысты жақсы анықталған топтық әрекетін береді және -нің тұрақтандырғышы дәл -ке тең, яғни [γ] елементі F-дегі бір нүктені бекітеді, егер және тек егер ол -де негізделген циклдің бейнесімен өкілдік етілсе. Бұл әрекет монодромия деп аталады, ал F-дегі аутоморфизмдер тобына қатысты тиісті гомоморфизм алгебралық монодромия болып табылады. Бұл гомоморфизмнің бейнесі монодромиялық топ болып табылады. Тағы бір картасы бар, оның бейнесі топологиялық монодромиялық топ деп аталады.

Күрделі домендегі дифференциалдық теңдеулер

Бір маңызды қолданысы – дифференциалдық теңдеулер, онда бір шешім аналитикалық жалғастыру арқылы одан әрі сызықтық тәуелсіз шешімдерді тудыруы мүмкін. Күрделі жазықтықтағы S ашық, байланысқан жиынтығында анықталған сызықтық дифференциалдық теңдеулердің монодромиялық тобы болады, ол (дәлірек айтқанда) S негізгі тобының сызықтық бейнесі болып табылады және S ішіндегі барлық аналитикалық жалғастыруларды қамтиды. Берілген бейнелеу бойынша (реттелі сингулярлықтары бар) теңдеуді құру мәселесі Риман-Хилберт проблемасы деп аталады. Реттелі (әсіресе Фуксиандық) сызықтық жүйе үшін монодромиялық топтың генераторлары ретінде әрқайсысы жүйенің бір полюсін сағат тіліне қарсы айналып өтетін циклдарға сәйкес келетін Mj операторлары таңдалады. Егер j индекстері негізгі нүктесін сағат тілімен айналып өтетін кезде 1-ден p+1-ге дейін өсетін болса, онда генераторлар арасындағы жалғыз қатынас – теңдік. Делинье-Симпсон проблемасы – мынадай іске асыру мәселесі: GL(n, ℂ) -дегі конъюгация кластарының қай топтамалары үшін жоғарыдағы қатынасты қанағаттандыратын Mj матрицаларының қайталанбайтын топтамалары бар? Бұл проблеманы Пьер Делинь тұжырымдаған, ал Карлос Симпсон оны шешуге қатысты алғашқы нәтижелерге қол жеткізді. Фуксиандық жүйелердің қалдықтарына қатысты мәселенің аддитивті нұсқасын Владимир Костов тұжырымдап, зерттеді. Бұл мәселені басқа авторлар GL(n, ℂ) -дан өзге матрицалық топтар үшін де қарастырды.

Топологиялық және геометриялық аспектілер

Қаптама картасы жағдайында біз оны фибрацияның ерекше жағдайы ретінде қарастырамыз және гомотопиялық көтеру қасиетін пайдаланамыз. Осы арқылы негізгі кеңістік X-тегі жолдарды (оны қарапайымдық үшін байланысты деп есептейміз) "іздейміз", олар C қаптамасына көтеріледі. Егер X-те x нүктесіне негізделген циклді табаққа көтеріп, оны x-тен жоғары c нүктесінен бастасақ, x-тен жоғары c* нүктесінде аяқтаймыз; c ≠ c* болуы мүмкін. Мұны кодтау үшін негізгі топтың 1(X, x) әрекеті барлық c жиынындағы пермутация тобы ретінде қарастырылады, бұл жағдайда монодромия тобы болып табылады. Дифференциалдық геометрияда осыған ұқсас рөлді параллель көшіру атқарады. Тегіс коллектор M үстіндегі негізгі бундель B-де байланыс "көлденең" қозғалысқа мүмкіндік береді. Егер m нүктесіне негізделген циклдарға қолдансақ, онда m нүктесіндегі талшықтың аудармаларының голономиялық тобы анықталады; егер B-нің құрылымдық тобы G болса, онда бұл G-нің кіші тобы болып табылады, ол B-нің M × G көбейтіндісінен ауытқуын өлшейді.

Монодромиялық группоид және жапырақшалар

Негізгі группоидқа ұқсас, базалық нүкте таңдаудан құтылып, монодромиялық группоидты анықтауға болады. Бұл жерде біз фибрацияның X базалық кеңістігіндегі жолдардың көтерілімдерінің (гомотопиялық кластары) қарастырамыз. Нәтижесінде X базалық кеңістігінде группоид құрылымы пайда болады. Бұл X-тің байланысты болу шартын алып тастаудың артықшылығы болып табылады. Сонымен қатар, бұл құрастыру жапырақтарға да таратылуы мүмкін: М-нің (мүмкін емес біртекті) жапырағын қарастырайық. Онда, жапырақтағы әрбір жол үшін, оның жергілікті көлденең қималарындағы туындаған диффеоморфизмін қарастыруға болады. Жасыраулы байланысқан кескіште қарапайым диффеоморфизм бірегей және әсіресе әртүрлі көлденең қималар арасындағы канонды болады, егер біз диффеоморфизмнің нүктесін соңғы нүктелердің маңында қарастырсақ. Осылайша, ол жасыраулы байланысқан кескіштегі жолға (белгілі соңғы нүктелер арасындағы) тәуелді болмайды және демек, гомотопия бойынша өзгермейді.

Галуа теориясы бойынша анықтамасы

F(x) – F өрісіндегі x айнымалысы бойынша рационалды функциялардың өрісін білдірсін, ол F[x] полиномиялық сақинасының бөлшектер өрісі болып табылады. F(x) өрісінің y = f(x) элементі [F(x) : F(y)] шекті өріс кеңейтуін анықтайды. Бұл кеңейту әдетте Галуа кеңейтуі емес, бірақ Галуа жабылуы L(f) болады. [L(f) : F(y)] кеңейтуіне сәйкес Галуа тобы f-тің монодромия тобы деп аталады.

F = C болған жағдайда Риман беттерінің теориясы қолданылып, жоғарыдағы геометриялық интерпретацияға мүмкіндік береді. Егер [C(x) : C(y)] кеңейтуі Галуа кеңейтуі болса, оған сәйкес монодромия тобы кейде палубалық трансформациялар тобы деп аталады. Бұл Галуаның жабу кеңістіктерінің теориясымен байланысты және Риманнің барлық теоремасына алып келеді.