Введение
Математическое поведение вблизи сингулярностей
В математике монодромия изучает поведение объектов из математического анализа, алгебраической топологии, алгебраической геометрии и дифференциальной геометрии при обходе сингулярности. Как следует из названия, основное значение монодромии происходит от понятия "одиночного обхода". Она тесно связана с накрывающими отображениями и их вырождением в ветвления; аспект, порождающий феномены монодромии, заключается в том, что некоторые функции, которые мы хотим определить, перестают быть однозначно определенными при обходе пути, окружающего сингулярность. Отсутствие однозначности монодромии можно измерить, определив группу монодромии – группу преобразований, действующих на данные и кодирующую изменения при обходе в одном измерении. Отсутствие монодромии иногда называют полидромией.
Определение
Пусть X — связное и локально связное основанное топологическое пространство с базовой точкой x, и пусть — покрытие с волокном F. Для петли γ: [0, 1] → X, начинающейся в x, обозначим подъем под покрывающей картой, начинающийся в точке , как . Наконец, обозначим конечную точку этого подъема как , которая, как правило, отличается от . Существуют теоремы, утверждающие, что эта конструкция задает корректно определенное групповое действие фундаментальной группы π1(X, x) на F, и что стабилизатор является точно , то есть элемент [γ] фиксирует точку в F тогда и только тогда, когда он представлен образом петли в , начинающейся в . Это действие называется действием монодромии, а соответствующий гомоморфизм в группу автоморфизмов на F — алгебраической монодромией. Образ этого гомоморфизма — группа монодромии. Существует также отображение , образ которого называется топологической группой монодромии.
Дифференциальные уравнения в сложной области
Одно из важных применений – дифференциальные уравнения, где одно решение может порождать другие линейно независимые решения посредством аналитического продолжения. Линейные дифференциальные уравнения, определенные в открытом, связном множестве S на комплексной плоскости, обладают группой монодромии, которая (в более строгом смысле) является линейным представлением фундаментальной группы S, суммирующим все аналитические продолжения вдоль замкнутых контуров внутри S. Обратная задача – построение уравнения (с регулярными сингулярностями) по заданному представлению – называется задачей Римана — Гильберта. Для регулярной (и в частности, фуксианской) линейной системы обычно в качестве генераторов группы монодромии выбирают операторы Mj, соответствующие контурам, каждый из которых обходит только один полюс системы против часовой стрелки. Если индексы j выбираются таким образом, что они возрастают от 1 до p + 1 при обходе базовой точки по часовой стрелке, то единственным соотношением между генераторами является равенство. Задача Делинье — Симпсона представляет собой следующую задачу реализации: для каких кортежей классов сопряженности в GL(n, ℂ) существуют неприводимые кортежи матриц Mj из этих классов, удовлетворяющие вышеуказанному соотношению? Задача была сформулирована Пьером Делинем, а Карлос Симпсон первым получил результаты в направлении её решения. Аддитивная версия задачи об остатках фуксианских систем была сформулирована и исследована Владимиром Костовым. Задача рассматривалась другими авторами и для матричных групп, отличных от GL(n, ℂ).
Топологические и геометрические аспекты
В случае карты покрытия мы рассматриваем её как частный случай фибрации и используем свойство гомотопического подъёма, чтобы «следить» за путями в базовом пространстве X (предполагаем, что оно связно по путям для упрощения), по мере их подъёма в покрытие C. Если мы проследим за петлёй, начинающейся в точке x в X, которую мы поднимаем, чтобы она начиналась в точке c над x, то закончим в некоторой точке c* снова над x; вполне возможно, что c ≠ c*, и для кодирования этого рассматривается действие фундаментальной группы π₁(X, x) как группы перестановок на множестве всех c, выступающей в данном контексте как группа монодромии. В дифференциальной геометрии аналогичную роль играет параллельный перенос. В главном расслоении B над гладным многообразием M, соединение позволяет «горизонтальное» перемещение из волокон над точкой m в M в соседние волокна. Эффект от применения к петлям, начинающимся в точке m, заключается в определении группы голономии – группы трансляций волокна в точке m; если структурная группа B равна G, то это подгруппа G, измеряющая отклонение B от произведения M × G.
Монодромические группоиды и листва
Аналогично фундаментальному группоиду, можно избавиться от выбора базовой точки и определить монодромический группоид. Здесь мы рассматриваем (классы гомотопии) подъёмов путей в базовом пространстве X фибрации. Результат имеет структуру группоида над базовым пространством X. Преимущество заключается в том, что мы можем отказаться от требования связности пространства X. Более того, конструкция может быть обобщена и на фолиации: рассмотрим (возможно, сингулярную) фолиацию многообразия M. Тогда для каждого пути в листе фолиации можно рассмотреть индуцированный диффеоморфизм на локальных поперечных сечениях, проходящих через конечные точки этого пути. Внутри простосвязной окрестности этот диффеоморфизм становится единственным и особенно каноничным между различными поперечными сечениями, если перейти к зародышу диффеоморфизма в окрестности конечных точек. Таким образом, он также становится независимым от пути (между фиксированными конечными точками) внутри простосвязной окрестности и, следовательно, инвариантным относительно гомотопии.
Определение по теории Галуа
Пусть F(x) обозначает поле рациональных функций в переменной x над полем F, которое является полем частных кольца многочленов F[x]. Элемент y = f(x) из F(x) определяет конечное расширение поля [F(x) : F(y)]. Это расширение, как правило, не является расширением Галуа, но имеет галуасово замыкание L(f). Связанная группа Галуа расширения [L(f) : F(y)] называется группой монодромии f.
В случае F = C вступает в игру теория римановых поверхностей и позволяет геометрическую интерпретацию, приведенную выше. Если расширение [C(x) : C(y)] уже является расширением Галуа, то связанная с ним группа монодромии иногда называется группой преобразований накрытия. Это связано с теорией Галуа накрывающих пространств, приводящей к теореме о существовании Римана.