Кіріспе

Екі өлшемді деректер жиынтығы үшін ең жақсы сызықты табу алгоритмі

Статистикада, У. Эдвардс Демингтің есімімен аталған Деминг регрессиясы – бұл екі өлшемді деректер жиынтығы үшін ең жақсы сызықты табуға тырысатын өзгермелілердегі қателер моделі. Ол қарапайым сызықтық регрессиядан x және y осьтеріндегі бақылаулардағы қателерді ескеретіндігімен ерекшеленеді. Бұл жалпы ең кіші квадраттардың ерекше жағдайы болып табылады, ол кез келген сандағы болжаушыларды және күрделі қателік құрылымын пайдалануға мүмкіндік береді. Деминг регрессиясы екі айнымалының қателері тәуелсіз және қалыпты таралымды деп есептелетін, ал олардың дисперсиясының қатынасы δ деп белгіленетін және белгілі болатын өзгермелілердегі қателердің максималды ықтималдық бағалауына тең. Іс жүзінде, бұл қатынасты байланысты деректер көздерінен бағалауға болады; алайда регрессиялық процедура бұл қатынасты бағалаудағы мүмкін қателерді ескермейді. Деминг регрессиясын есептеу қарапайым сызықтық регрессияға қарағанда сәл қиын. Клиникалық химияда қолданылатын көптеген статистикалық бағдарламалық пакеттер Деминг регрессиясын ұсынады. Модельді бастапқыда δ = 1 жағдайын қарастырған, содан кейін кез келген δ арқылы жалпылаған. Алайда олардың идеялары 50 жылдан астам уақыт бойы көңілсіз қалды, содан кейін қайта жаңғыртылды және одан әрі кеңінен тарады. Соңғы кітап клиникалық химия және оған байланысты салаларда өте танымал болды, нәтижесінде бұл әдіс осы салаларда Деминг регрессиясы деп аталды.

Ортогональдық регрессия

Қателік дисперсиялары тең болған жағдайда, яғни , Деминг регрессиясы ортогональдық регрессияға айналады: ол дерек нүктелерінен регрессия сызығына дейінгі перпендикуляр қашықтықтардың квадраттарының қосындысын ең төменгі деңгейге дейін төмендетеді. Бұл жағдайда әрбір өлшемді күрделі жазықтықтағы нүкте ретінде қарастырыңыз (яғни, жолмыз бірлігі орналасқан нүкте). Дерек нүктелерінің центроидтан (осы да күрделі координаттармен көрсетіледі) квадраттық айырмашылықтарының қосындысы деп белгілейміз, бұл дерек нүктелерінің абсциссалары мен ординаталарының орташа мәніне ие нүкте. Егер , онда центроид арқылы өтетін кез келген түзу – ең жақсы ортогональдық сәйкестік түзуі болады. Егер , онда ортогональдық регрессия түзуі центроид арқылы өтеді және координаталар басынан векторға параллель болады. Ортогональдық регрессия түзуінің тригонометриялық өрнегін 1913 жылы Кулидж ұсынған.

Қолдану

Ұшақтағы үш түзу бойында жатпайтын нүктелердің жағдайында, осы нүктелер төбелері болатын үшбұрыштың қабырғаларының орта тұсында жанасатын бірегей Штайнер эллипсі болады. Бұл эллипстің үлкен осі үш төбе үшін ортогональды регрессия сызығында жатады. Биологиялық жасушаның ішкі жасушалық шуын өлшеу, екі репортерлі синтетикалық биологиялық тізбектің байқалатын әрекетіне Деминг регрессиясын қолдану арқылы жүзеге асырылуы мүмкін. Адамдардан шашыраңқы диаграммада сызықтық регрессияны шамалау арқылы салуды сұрағанда, олардың жауаптары ең кіші квадраттар регрессиясына қарағанда ортогональды регрессияға жақын болады.

Йорк регрессиясы

Йорк регрессиясы x және y айнымалыларындағы байланысты қателерді ескере отырып, Деминг регрессиясын дамытады.