Введение

Функция, областью определения которой являются положительные целые числа.
В теории чисел арифметической, арифметической или число-теоретической функцией обычно называют любую функцию f(n), областью определения которой являются положительные целые числа, а областью значений – подмножество комплексных чисел. Харди и Райт включают в свое определение требование, чтобы арифметическая функция "выражала некоторое арифметическое свойство n". Существует более широкий класс число-теоретических функций, которые не соответствуют этому определению, например, функции подсчета простых чисел. В этой статье представлены ссылки на функции обоих классов. Примером арифметической функции является функция делителей, значение которой в положительном целом числе n равно количеству делителей n.

Арифметические функции часто крайне нерегулярны (см. таблицу), но некоторые из них имеют разложение в ряд, выраженное через сумму Рамануджана.

φ ((n) Тотиентная функция Эйлера

φ(n), функция Эйлера, — это количество положительных целых чисел, не превышающих n, взаимно простых с n.

Jk(n) Тотиентная функция Джордана

Jk(n), тотиентная функция Джордана, — это количество k-ок положительных целых чисел, не превышающих n, которые вместе с n образуют взаимно простые (k + 1) числа. Это обобщение функции Эйлера, где 1 = φ(n) = J1(n).

μ(n) Функция Мёбиуса

μ(n), функция Мёбиуса, важна благодаря формуле обращения Мёбиуса. См. свёртку Дирихле ниже. Из этого следует, что μ(1) = 1. (Поскольку Ω(1) = ω(1) = 0.)

ω(n) различные простые делители

ω(n), определённая выше как число различных простых делителей n, является аддитивной (см. функцию ω-функции простых чисел).

Ω(n) простые делители

Ω(n), определённая выше как число простых множителей n, подсчитанных с учётом кратности, является полностью аддитивной (см. функция Ω (омега)).

νp ((n) p-адическая оценка целого числа n

Для фиксированного простого числа p, νp(n), определённого выше как показатель наибольшей степени p, делящей n, является полностью аддитивным.

Логарифмическая производная

, где — арифметическая производная.

(x), Π(x), θ(x), ψ(x) простые функции

Эти важные функции (которые не являются арифметическими) определены для неотрицательных вещественных аргументов и используются в различных утверждениях и доказательствах теоремы о простых числах. Это функции суммирования (см. основной раздел ниже) арифметических функций, которые не являются ни мультипликативными, ни аддитивными. π(x), функция подсчёта простых чисел, – это количество простых чисел, не превышающих x. Она является функцией суммирования характеристической функции простых чисел. Связанная функция подсчитывает простые степени с весом 1 для простых чисел, 1/2 для их квадратов, 1/3 для кубов и так далее. Она является функцией суммирования арифметической функции, принимающей значение 1/k для целых чисел, являющихся k-й степенью простого числа, и 0 для остальных целых чисел. Функции Чебышёва θ(x) и ψ(x) определяются как суммы натуральных логарифмов простых чисел, не превышающих x. Функция Чебышёва ψ(x) является функцией суммирования функции фон Мангольдта, приведённой ниже.

h(n) Номер класса

h(n), функция числа классов, является порядком группы классов идеалов алгебраического расширения рациональных чисел с дискриминантом n. Обозначение неоднозначно, поскольку в общем случае существует множество расширений с одним и тем же дискриминантом. См. статьи «Квадратичное поле» и «Циклотомическое поле» для классических примеров.

rk(n) Сумма к квадратов

rk(n) – количество способов представить число n в виде суммы k квадратов, при этом представления, различающиеся только порядком слагаемых или знаками подкоренных выражений, считаются различными.

Первые 100 значений некоторых арифметических функций

Разложение на множители (n) ω(n) Ω(n) (n) (n) (n) (n) 0(n) 1(n) 2(n) r2(n) r3(n) r4(n) 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 4 6 8 2 2 1 1 1 −1 −1 0.69 1 2 3 5 4 12 24 3 3 2 1 1 −1 −1 1.10 2 2 4 10 0 8 32 4 22 2 1 2 1 0 0.69 2 3 7 21 4 6 24 5 5 4 1 1 −1 −1 1.61 3 2 6 26 8 24 48 6 2 · 3 2 2 2 1 1 0 3 4 12 50 0 24 96 7 7 6 1 1 −1 −1 1.95 4 2 8 50 0 0 64 8 23 4 1 3 −1 0 0.69 4 4 15 85 4 12 24 9 32 6 1 2 1 0 1.10 4 3 13 91 4 30 104 10 2 · 5 4 2 2 1 1 0 4 4 18 130 8 24 144 11 11 10 1 1 −1 −1 2.40 5 2 12 122 0 24 96 12 22 · 3 4 2 3 −1 0 0 5 6 28 210 0 8 96 13 13 12 1 1 −1 −1 2.56 6 2 14 170 8 24 112 14 2 · 7 6 2 2 1 1 0 6 4 24 250 0 48 192 15 3 · 5 8 2 2 1 1 0 6 4 24 260 0 0 192 16 24 8 1 4 1 0 0.69 6 5 31 341 4 6 24 17 17 16 1 1 −1 −1 2.83 7 2 18 290 8 48 144 18 2 · 32 6 2 3 −1 0 0 7 6 39 455 4 36 312 19 19 18 1 1 −1 −1 2.94 8 2 20 362 0 24 160 20 22 · 5 8 2 3 −1 0 0 8 6 42 546 8 24 144 21 3 · 7 12 2 2 1 1 0 8 4 32 500 0 48 256 22 2 · 11 10 2 2 1 1 0 8 4 36 610 0 24 288 23 23 22 1 1 −1 −1 3.14 9 2 24 530 0 0 192 24 23 · 3 8 2 4 1 0 0 9 8 60 850 0 24 96 25 52 20 1 2 1 0 1.61 9 3 31 651 12 30 248 26 2 · 13 12 2 2 1 1 0 9 4 42 850 8 72 336 27 33 18 1 3 −1 0 1.10 9 4 40 820 0 32 320 28 22 · 7 12 2 3 −1 0 0 9 6 56 1050 0 0 192 29 29 28 1 1 −1 −1 3.37 10 2 30 842 8 72 240 30 2 · 3 · 5 8 3 3 −1 −1 0 10 8 72 1300 0 48 576 31 31 30 1 1 −1 −1 3.43 11 2 32 962 0 0 256 32 25 16 1 5 −1 0 0.69 11 6 63 1365 4 12 24 33 3 · 11 20 2 2 1 1 0 11 4 48 1220 0 48 384 34 2 · 17 16 2 2 1 1 0 11 4 54 1450 8 48 432 35 5 · 7 24 2 2 1 1 0 11 4 48 1300 0 48 384 36 22 · 32 12 2 4 1 0 0 11 9 91 1911 4 30 312 37 37 36 1 1 −1 −1 3.61 12 2 38 1370 8 24 304 38 2 · 19 18 2 2 1 1 0 12 4 60 1810 0 72 480 39 3 · 13 24 2 2 1 1 0 12 4 56 1700 0 0 448 40 23 · 5 16 2 4 1 0 0 12 8 90 2210 8 24 144 41 41 40 1 1 −1 −1 3.71 13 2 42 1682 8 96 336 42 2 · 3 · 7 12 3 3 −1 −1 0 13 8 96 2500 0 48 768 43 43 42 1 1 −1 −1 3.76 14 2 44 1850 0 24 352 44 22 · 11 20 2 3 −1 0 0 14 6 84 2562 0 24 288 45 32 · 5 24 2 3 −1 0 0 14 6 78 2366 8 72 624 46 2 · 23 22 2 2 1 1 0 14 4 72 2650 0 48 576 47 47 46 1 1 −1 −1 3.85 15 2 48 2210 0 0 384 48 24 · 3 16 2 5 −1 0 0 15 10 124 3410 0 8 96 49 72 42 1 2 1 0 1.95 15 3 57 2451 4 54 456 50 2 · 52 20 2 3 −1 0 0 15 6 93 3255 12 84 744 51 3 · 17 32 2 2 1 1 0 15 4 72 2900 0 48 576 52 22 · 13 24 2 3 −1 0 0 15 6 98 3570 8 24 336 53 53 52 1 1 −1 −1 3.97 16 2 54 2810 8 72 432 54 2 · 33 18 2 4 1 0 0 16 8 120 4100 0 96 960 55 5 · 11 40 2 2 1 1 0 16 4 72 3172 0 0 576 56 23 · 7 24 2 4 1 0 0 16 8 120 4250 0 48 192 57 3 · 19 36 2 2 1 1 0 16 4 80 3620 0 48 640 58 2 · 29 28 2 2 1 1 0 16 4 90 4210 8 24 720 59 59 58 1 1 −1 −1 4.08 17 2 60 3482 0 72 480 60 22 · 3 · 5 16 3 4 1 0 0 17 12 168 5460 0 0 576 61 61 60 1 1 −1 −1 4.11 18 2 62 3722 8 72 496 62 2 · 31 30 2 2 1 1 0 18 4 96 4810 0 96 768 63 32 · 7 36 2 3 −1 0 0 18 6 104 4550 0 0 832 64 26 32 1 6 1 0 0.69 18 7 127 5461 4 6 24 65 5 · 13 48 2 2 1 1 0 18 4 84 4420 16 96 672 66 2 · 3 · 11 20 3 3 −1 −1 0 18 8 144 6100 0 96 1152 67 67 66 1 1 −1 −1 4.20 19 2 68 4490 0 24 544 68 22 · 17 32 2 3 −1 0 0 19 6 126 6090 8 48 432 69 3 · 23 44 2 2 1 1 0 19 4 96 5300 0 96 768 70 2 · 5 · 7 24 3 3 −1 −1 0 19 8 144 6500 0 48 1152 71 71 70 1 1 −1 −1 4.26 20 2 72 5042 0 0 576 72 23 · 32 24 2 5 −1 0 0 20 12 195 7735 4 36 312 73 73 72 1 1 −1 −1 4.29 21 2 74 5330 8 48 592 74 2 · 37 36 2 2 1 1 0 21 4 114 6850 8 120 912 75 3 · 52 40 2 3 −1 0 0 21 6 124 6510 0 56 992 76 22 · 19 36 2 3 −1 0 0 21 6 140 7602 0 24 480 77 7 · 11 60 2 2 1 1 0 21 4 96 6100 0 96 768 78 2 · 3 · 13 24 3 3 −1 −1 0 21 8 168 8500 0 48 1344 79 79 78 1 1 −1 −1 4.37 22 2 80 6242 0 0 640 80 24 · 5 32 2 5 −1 0 0 22 10 186 8866 8 24 144 81 34 54 1 4 1 0 1.10 22 5 121 7381 4 102 968 82 2 · 41 40 2 2 1 1 0 22 4 126 8410 8 48 1008 83 83 82 1 1 −1 −1 4.42 23 2 84 6890 0 72 672 84 22 · 3 · 7 24 3 4 1 0 0 23 12 224 10500 0 48 768 85 5 · 17 64 2 2 1 1 0 23 4 108 7540 16 48 864 86 2 · 43 42 2 2 1 1 0 23 4 132 9250 0 120 1056 87 3 · 29 56 2 2 1 1 0 23 4 120 8420 0 0 960 88 23 · 11 40 2 4 1 0 0 23 8 180 10370 0 24 288 89 89 88 1 1 −1 −1 4.49 24 2 90 7922 8 144 720 90 2 · 32 · 5 24 3 4 1 0 0 24 12 234 11830 8 120 1872 91 7 · 13 72 2 2 1 1 0 24 4 112 8500 0 48 896 92 22 · 23 44 2 3 −1 0 0 24 6 168 11130 0 0 576 93 3 · 31 60 2 2 1 1 0 24 4 128 9620 0 48 1024 94 2 · 47 46 2 2 1 1 0 24 4 144 11050 0 96 1152 95 5 · 19 72 2 2 1 1 0 24 4 120 9412 0 0 960 96 25 · 3 32 2 6 1 0 0 24 12 252 13650 0 24 96 97 97 96 1 1 −1 −1 4.57 25 2 98 9410 8 48 784 98 2 · 72 42 2 3 −1 0 0 25 6 171 12255 4 108 1368 99 32 · 11 60 2 3 −1 0 0 25 6 156 11102 0 72 1248 100 22 · 52 40 2 4 1 0 0 25 9 217 13671 12 30 744