Номограмма: Графиктік есептеу құралы

Кіріспе

Аналогты графикалық калькулятор – графикалық калькулятордың түрі.

Номограмма (грекше nomos νόμος, "заң" және grammē γραμμή, "сызық"), сондай-ақ номограф, сәйкестендіру кестесі немесе абак деп аталады, – бұл графикалық есептеу құрылғысы, математикалық функцияның шамамен графикалық есептеуін жүзеге асыруға арналған екі өлшемді диаграмма. Номография саласын 1884 жылы француз инженері Филберт Морис д’Окань (1862–1938) құрастырды және көп жылдар бойы инженерлерге күрделі формулаларды практикалық дәлдікпен жылдам графикалық түрде есептеуге мүмкіндік беру үшін кеңінен қолданылды. Номограммалар стандартты картезиандық координаттардың орнына д’Окань құрастырған параллельді координаттар жүйесін пайдаланады. Номограмма n шкаладан тұрады, әрбір шкала теңдеудегі әрбір айнымалыға сәйкес келеді. n-1 айнымалының мәні белгілі болса, белгісіз айнымалының мәнін табуға болады немесе кейбір айнымалылардың мәнін бекіту арқылы, бекітілмеген айнымалылар арасындағы қатынасты зерттеуге болады. Нәтиже шкалалардағы белгілі мәндер арқылы түзу сызық жүргізіп, осы сызық сол айнымалының шкаласын кесіп өтетін жерден белгісіз мәнді оқу арқылы алынады. Түзу сызықпен құрылған виртуалды немесе сызылған сызық индекстік сызық немесе изоплет деп аталады. Номограммалар шамамен 75 жыл бойы кеңінен қолданылды, себебі олар қалталық калькуляторлар пайда болғанға дейін жылдам және дәл есептеулер жасауға мүмкіндік берді. Номограммадан алынған нәтижелер бір немесе бірнеше сызық салу арқылы өте жылдам және сенімді түрде алынады. Пайдаланушы алгебралық теңдеулерді шешуді, кестелердегі деректерді іздеуді, есептеу сызғышын пайдалануды немесе сандарды теңдеулерге қоюды білуі қажет емес. Пайдаланушы тіпті номограмманың негізгі теңдеуін білуінің қажеті жоқ. Сонымен қатар, номограммалар өз дизайнына имплицитті немесе эксплицитті салалық білімді табиғи түрде енгізеді. Мысалы, үлкен дәлдік үшін үлкен номограммаларды жасау үшін номограф әдетте проблемаға қатысты және ақылға қонымды масштаб диапазондарын ғана қамтиды. Көптеген номограммалар басқа да пайдалы белгілерді қамтиды, мысалы анықтамалық таңбалар мен түсті аймақтар. Бұлардың барлығы пайдаланушыға пайдалы нұсқаулар береді. Есептеу сызғышы сияқты, номограмма – аналогты графикалық есептеу құрылғысы. Есептеу сызғышы сияқты, оның дәлдігі физикалық белгілерді сызу, көшіру, қарау және сәйкестендіру дәлдігімен шектеледі. Жалпы мақсаттағы есептеу құрылғысы болып табылатын есептеу сызғышынан айырмашылығы, номограмма құрылғы шкалаларына енгізілген мәндер кестелерімен белгілі бір есептеуді орындау үшін жасалған. Номограммалар әдетте олар жеткілікті дәлдік беретін және пайдалы қолданыстарда қолданылады. Сонымен қатар, номограмманы дәлірек, бірақ қатеге ұшырау мүмкіндігі бар есептеу арқылы алынған жауапты тексеру үшін де пайдалануға болады. Графикалық калькуляторлардың басқа түрлері – қиылысу кестелері, трилинейлік диаграммалар және алтыбұрышты диаграммалар – кейде номограммалар деп аталады. Алайда, бұл құрылғылар бір немесе бірнеше сызықтық изоплеттерді пайдалану арқылы шешімі табылатын графикалық калькулятор ретінде номограмманың анықтамасына сәйкес келмейді.

A nomogram (from Greek nomos νόμος, "law" and grammē γραμμή, "line"), also called a nomograph, alignment chart, or abac, is a graphical calculating device, a two dimensional diagram designed to allow the approximate graphical computation of a mathematical function. The field of nomography was invented in 1884 by the French engineer Philbert Maurice d'Ocagne (1862–1938) and used extensively for many years to provide engineers with fast graphical calculations of complicated formulas to a practical precision. Nomograms use a parallel coordinate system invented by d'Ocagne rather than standard Cartesian coordinates. A nomogram consists of a set of n scales, one for each variable in an equation. Knowing the values of n 1 variables, the value of the unknown variable can be found, or by fixing the values of some variables, the relationship between the unfixed ones can be studied. The result is obtained by laying a straightedge across the known values on the scales and reading the unknown value from where it crosses the scale for that variable. The virtual or drawn line created by the straightedge is called an index line or isopleth. Nomograms flourished in many different contexts for roughly 75 years because they allowed quick and accurate computations before the age of pocket calculators. Results from a nomogram are obtained very quickly and reliably by simply drawing one or more lines. The user does not have to know how to solve algebraic equations, look up data in tables, use a slide rule, or substitute numbers into equations to obtain results. The user does not even need to know the underlying equation the nomogram represents. In addition, nomograms naturally incorporate implicit or explicit domain knowledge into their design. For example, to create larger nomograms for greater accuracy the nomographer usually includes only scale ranges that are reasonable and of interest to the problem. Many nomograms include other useful markings such as reference labels and colored regions. All of these provide useful guideposts to the user. Like a slide rule, a nomogram is a graphical analog computation device. Also like a slide rule, its accuracy is limited by the precision with which physical markings can be drawn, reproduced, viewed, and aligned. Unlike the slide rule, which is a general purpose computation device, a nomogram is designed to perform a specific calculation with tables of values built into the device's scales. Nomograms are typically used in applications for which the level of accuracy they provide is sufficient and useful. Alternatively, a nomogram can be used to check an answer obtained by a more exact but error prone calculation. Other types of graphical calculators—such as intercept charts, trilinear diagrams, and hexagonal charts—are sometimes called nomograms. These devices do not meet the definition of a nomogram as a graphical calculator whose solution is found by the use of one or more linear isopleths.

Сипаттама

Үш айнымалы теңдеудің номограммасында әдетте үш шкала болады, бірақ екі немесе тіпті барлық үш шкаласы ортақ болатын номограммалар да бар. Мұнда екі шкала белгілі мәндерді көрсетеді, ал үшінші шкала – нәтиже оқылатын шкала. Мұндай теңдеудің ең қарапайым түрі u1 + u2 + u3 = 0, үш айнымалы u1, u2 және u3 үшін. Номограмманың осы түрінің мысалы оң жақта көрсетілген, номограмманың бөліктерін сипаттау үшін қолданылатын терминдермен түсіндірілген. Күрделі теңдеулерді кейде үш айнымалының функцияларының қосындысы ретінде беруге болады. Мысалы, осы мақаланың жоғарғы жағындағы номограмманы параллель шкалалы номограмма ретінде құрастыруға болады, себебі теңдеудің екі жағының логарифмдерін ескергеннен кейін оны осындай қосынды ретінде көрсетуге болады. Белгісіз айнымалының шкаласы басқа екі шкаланың арасында немесе олардың сыртында орналасуы мүмкін. Есептеудің белгілі мәндері сол айнымалылардың шкалаларында белгіленеді және осы белгілер арасында сызық жүргізіледі. Нәтиже белгісіз шкаладан сызық сол шкаламен қиылысатын нүктеде оқылады. Шкалалар нақты сандық орналасуды көрсету үшін «белгілерді» қамтиды, сондай-ақ олар таңбаланған эталондық мәндерді де қамтуы мүмкін. Бұл шкалалар сызықтық, логарифмдік немесе күрделі байланысқа ие болуы мүмкін. Осы мақаланың жоғарғы жағындағы номограммада қызыл түспен көрсетілген мысал изоплеті S = 7,30 және R = 1,17 болғанда T мәнін есептейді. Изоплет T шкаласын 4,65-тен сәл төмен кесіп өтеді; жоғары ажыратымдылықта қағазға басылған үлкенірек сурет T = 4,64-ті үш таңбалы дәлдікпен көрсетеді. Кез келген айнымалыны басқа екі айнымалының мәндерінен есептеуге болады, бұл номограммалардың ерекшелігі, ол айнымалыны басқа айнымалылардан алгебралық түрде оқшаулау мүмкін емес теңдеулер үшін өте пайдалы. Тікелей шкалалар салыстырмалы түрде қарапайым есептеулер үшін пайдалы, бірақ күрделі есептеулер үшін қарапайым немесе күрделі қисық шкалаларды қолдану қажет болуы мүмкін. Үштен астам айнымалылар үшін номограммалар екі айнымалы үшін шкалалар торын қосу арқылы немесе аз санды айнымалылардың жеке номограммаларын біріктіріп, күрделі номограмма құру арқылы жасалуы мүмкін.

A nomogram for a three variable equation typically has three scales, although there exist nomograms in which two or even all three scales are common. Here two scales represent known values and the third is the scale where the result is read off. The simplest such equation is u1 + u2 + u3 = 0 for the three variables u1, u2 and u3. An example of this type of nomogram is shown on the right, annotated with terms used to describe the parts of a nomogram. More complicated equations can sometimes be expressed as the sum of functions of the three variables. For example, the nomogram at the top of this article could be constructed as a parallel scale nomogram because it can be expressed as such a sum after taking logarithms of both sides of the equation. The scale for the unknown variable can lie between the other two scales or outside of them. The known values of the calculation are marked on the scales for those variables, and a line is drawn between these marks. The result is read off the unknown scale at the point where the line intersects that scale. The scales include 'tick marks' to indicate exact number locations, and they may also include labeled reference values. These scales may be linear, logarithmic, or have some more complex relationship. The sample isopleth shown in red on the nomogram at the top of this article calculates the value of T when S = 7.30 and R = 1.17. The isopleth crosses the scale for T at just under 4.65; a larger figure printed in high resolution on paper would yield T = 4.64 to three digit precision. Note that any variable can be calculated from values of the other two, a feature of nomograms that is particularly useful for equations in which a variable cannot be algebraically isolated from the other variables. Straight scales are useful for relatively simple calculations, but for more complex calculations the use of simple or elaborate curved scales may be required. Nomograms for more than three variables can be constructed by incorporating a grid of scales for two of the variables, or by concatenating individual nomograms of fewer numbers of variables into a compound nomogram.

Тамақ тәуекелдерін бағалау

Номограммалар математикалық қатынастарды көрсетеді, бірақ олардың бәрі математикалық тұрғыдан шығарылмаған. Келесі номограмма сандық емес, субъективті бірліктердегі олардың қатынастарының көбейтіндісі арқылы оңай анықталатын тиісті нәтижелерге жету үшін графикалық түрде әзірленді. Параллель емес осьтерді пайдалану сызықтық емес қатынастарды модельге енгізуге мүмкіндік берді. Төртбұрыш ішіндегі сандар тиісті бағалаудан кейін деректерді енгізуді қажет ететін осьтерді көрсетеді. Суреттегі жоғарғы жағындағы номограммалар жұбы оқиғаның болу ықтималдығы мен қолжетімділікті анықтайды, содан кейін олар төменгі көп деңгейлі номограммаға енгізіледі. 8 және 10-жолдар «байлау» немесе «бұрылыс» жолдары болып табылады және олар күрделі номограмманың кезеңдері арасындағы өту үшін қолданылады. Параллель логарифмдік шкалалардың соңғы жұбы (12) өзі номограмма емес, бірақ қауіпсіздік аспектілері және басқа да «тұтынушыны қорғау» аспектілерін ескере отырып, қауіп деңгейін (11, қашықтан өте жоғары) үлгі алу жиілігіне аудару үшін шкалаларды оқуға арналған. Бұл кезеңде шығындар мен тәуекелді теңестіретін саяси «қолдау» қажет. Мысалда, екі аспектің де жоғары тәуекел шегі әртүрлі болғандықтан, әрқайсысы үшін үш жылдық ең төменгі жиілік қолданылады, бірақ олардың жиілігі әртүрлі, алайда барлық азық-түліктердің барлық аспектілері үшін кемінде үш жылда бір рет жалпы ең төменгі үлгі алу талабы сақталады. Бұл тәуекелті бағалау номограммасын Ұлыбританияның Public Analyst Service ұйымы Ұлыбританияның Тамақ стандарттары агенттігінің қаржыландыруымен әзірледі, ол ресми тамақ бақылау мақсатында тамақ үлгілерін алу және талдау жиілігін басқару құралы ретінде қолданылады, барлық тамақ өнімдерімен байланысты барлық ықтимал мәселелерді бағауға арналған, бірақ әлі қабылданбаған.

Басқа тез номограммалар

Сызғыш көмегімен синустар заңының жоғалған мүшесін немесе квадраттық және кубтық теңдеулердің түбірлерін оңай табуға болады.