Введение

Аналоговый графический калькулятор
тип графического калькулятора

Номограмма (от греческого nomos νόμος, «закон» и grammē γραμμή, «линия»), также называемая номографом, диаграммой выравнивания или абаком, является графическим вычислительным устройством, двумерной диаграммой, предназначенной для приблизительного графического вычисления математической функции. Область номографии была изобретена в 1884 году французским инженером Филбертом Морисом д’Оканом (1862–1938) и широко использовалась в течение многих лет для обеспечения инженеров быстрыми графическими вычислениями сложных формул с практической точностью. Номограммы используют параллельную систему координат, изобретенную д’Оканом, а не стандартные декартовы координаты. Номограмма состоит из набора из n шкал, по одной для каждой переменной в уравнении. Зная значения n–1 переменных, можно найти значение неизвестной переменной или, фиксируя значения некоторых переменных, можно изучить взаимосвязь между нефиксированными. Результат получается путем проведения прямой линии через известные значения на шкалах и считывания неизвестного значения в точке пересечения этой линии со шкалой для данной переменной. Виртуальная или нарисованная линия, созданная прямым краем, называется индексной линией или изоплетой. Номограммы процветали в различных областях в течение примерно 75 лет, поскольку они позволяли быстро и точно выполнять вычисления до появления карманных калькуляторов. Результаты, полученные с помощью номограммы, получаются очень быстро и надежно, просто проведя одну или несколько линий. Пользователю не нужно уметь решать алгебраические уравнения, искать данные в таблицах, использовать логарифмическую линейку или подставлять числа в уравнения для получения результатов. Пользователю даже не нужно знать основное уравнение, которое представляет номограмма. Кроме того, номограммы естественным образом включают в свой дизайн неявные или явные знания предметной области. Например, для создания более крупных номограмм с большей точностью номограф обычно включает только диапазоны шкал, которые являются разумными и представляют интерес для решаемой задачи. Многие номограммы включают другие полезные обозначения, такие как опорные метки и цветные области. Все эти элементы служат полезными ориентирами для пользователя. Как и логарифмическая линейка, номограмма является графическим аналоговым вычислительным устройством. Как и логарифмическая линейка, ее точность ограничена точностью, с которой можно наносить, воспроизводить, просматривать и выравнивать физические метки. В отличие от логарифмической линейки, которая является вычислительным устройством общего назначения, номограмма предназначена для выполнения конкретного вычисления с таблицами значений, встроенными в шкалы устройства. Номограммы обычно используются в приложениях, для которых обеспечиваемый ими уровень точности является достаточным и полезным. В качестве альтернативы, номограмму можно использовать для проверки ответа, полученного с помощью более точного, но подверженного ошибкам вычисления. Другие типы графических калькуляторов — такие как графики пересечений, трехмерные диаграммы и шестиугольные диаграммы — иногда называют номограммами. Эти устройства не соответствуют определению номограммы как графического калькулятора, решение которого находится с помощью одной или нескольких линейных изоплет.

Описание

Номограмма для уравнения с тремя переменными обычно имеет три шкалы, хотя существуют номограммы, в которых две или даже все три шкалы являются общими. Две шкалы представляют известные значения, а третья – шкала, на которой считывается результат. Простейшее такое уравнение – u1 + u2 + u3 = 0 для трех переменных u1, u2 и u3. Пример номограммы этого типа показан справа, с пояснениями терминов, используемых для описания частей номограммы. Более сложные уравнения иногда можно представить в виде суммы функций трех переменных. Например, номограмму в верхней части этой статьи можно построить как номограмму с параллельными шкалами, поскольку ее можно выразить в виде такой суммы после взятия логарифмов обеих частей уравнения. Шкала для неизвестной переменной может располагаться между двумя другими шкалами или вне их. Известные значения для вычисления отмечаются на шкалах соответствующих переменных, и между этими отметками проводится линия. Результат считывается на шкале неизвестной переменной в точке пересечения этой линии с ней. Шкалы включают деления для указания точного местоположения чисел и могут также содержать помеченные опорные значения. Эти шкалы могут быть линейными, логарифмическими или иметь более сложную зависимость. Приведенная в качестве примера изоплета, показанная красным цветом на номограмме в верхней части статьи, вычисляет значение T при S = 7,30 и R = 1,17. Изоплета пересекает шкалу T чуть ниже 4,65; более крупное изображение, напечатанное в высоком разрешении на бумаге, даст T = 4,64 с точностью до трех знаков после запятой. Следует отметить, что любую переменную можно вычислить по значениям двух других – это особенность номограмм, которая особенно полезна для уравнений, в которых переменную нельзя алгебраически выделить из других переменных. Прямые шкалы полезны для относительно простых вычислений, но для более сложных вычислений может потребоваться использование простых или сложных изогнутых шкал. Номограммы для более чем трех переменных можно построить, включив сетку шкал для двух переменных или объединив отдельные номограммы с меньшим количеством переменных в составную номограмму.

Оценка риска для пищевых продуктов

Хотя номограммы представляют собой математические зависимости, не все они выведены математически. Представленная номограмма была разработана графически для достижения желаемых конечных результатов, которые можно было легко определить, исходя из произведения их взаимосвязей в субъективных, а не числовых единицах. Использование непараллельных осей позволило включить в модель нелинейные зависимости. Числа в квадратных рамках обозначают оси, требующие ввода данных после соответствующей оценки. Пара номограмм в верхней части изображения определяет вероятность возникновения и доступность, которые затем используются в нижней многоступенчатой номограмме. Линии 8 и 10 являются "связующими линиями" или "опорными линиями" и используются для перехода между этапами составной номограммы. Последняя пара параллельных логарифмических шкал (12) сама по себе не является номограммой, а представляет собой шкалы для перевода оценки риска (11, от низкой до чрезвычайно высокой) в частоту отбора проб для обеспечения безопасности и других аспектов "защиты потребителей". На этом этапе требуется политическая поддержка для баланса между стоимостью и риском. В примере используется минимальная частота в три года для каждого аспекта, хотя для высокого риска шкалы различаются, что приводит к разной частоте для каждого аспекта, но в любом случае требуется общий минимальный отбор проб каждого продукта питания по всем аспектам не реже одного раза в три года. Эта номограмма оценки риска была разработана Государственной аналитической службой Великобритании при финансировании Агентства по стандартам пищевых продуктов Великобритании для использования в качестве инструмента, определяющего оптимальную частоту отбора проб и анализа пищевых продуктов в целях официального контроля качества, предназначенного для оценки всех потенциальных проблем со всеми продуктами питания, хотя она пока не внедрена.

Другие быстрые номограммы

Используя линейку, можно легко определить недостающий член закона синусов или корни квадратного и кубического уравнения.