Кіріспе
Математикалық құрылым
In mathematics, a building (also Tits building, named after Jacques Tits) is a combinatorial and geometric structure which simultaneously generalizes certain aspects of flag manifolds, finite projective planes, and Riemannian symmetric spaces. Buildings were initially introduced by Jacques Tits as a means to understand the structure of isotropic reductive linear algebraic groups over arbitrary fields. The more specialized theory of Bruhat–Tits buildings (named also after François Bruhat) plays a role in the study of p adic Lie groups analogous to that of the theory of symmetric spaces in the theory of Lie groups.
Математикада ғимарат (Титс ғимараты, Жак Титс есімімен аталған) – флаг-көптүрліліктердің, шекті проекциялық жазықтықтардың және Риман симметриялық кеңістіктерінің белгілі бір аспектілерін бір мезгілде жалпылайтын комбинаторлық және геометриялық құрылым. Ғимараттар бастапқыда Жак Титс тарапынан кез келген өрістердегі изотроптық редуктивті сызықтық алгебралық топтардың құрылымын түсіну үшін құрал ретінде енгізілді. Брухат–Титс ғимараттарының (Франсуа Брухат есімімен аталған) арнайы теориясы, Lie топтарының теориясындағы симметриялық кеңістіктер теориясына ұқсас, p-адық Lie топтарын зерттеуде маңызды рөл атқарады.
In mathematics, a building (also Tits building, named after Jacques Tits) is a combinatorial and geometric structure which simultaneously generalizes certain aspects of flag manifolds, finite projective planes, and Riemannian symmetric spaces. Buildings were initially introduced by Jacques Tits as a means to understand the structure of isotropic reductive linear algebraic groups over arbitrary fields. The more specialized theory of Bruhat–Tits buildings (named also after François Bruhat) plays a role in the study of p adic Lie groups analogous to that of the theory of symmetric spaces in the theory of Lie groups.
Шолу
Жак Титс құрылыс ұғымын кез келген өрістегі қарапайым алгебралық топтарды сипаттау құралы ретінде ойлап тапты. Титс әрбір мұндай топ G-ге G-нің әрекетімен симплициалды кешенді қалай байланыстыруға болатынын көрсетті, бұл G-нің сфералық құрылысы деп аталады. G тобы осылай пайда болатын Δ кешендеріне өте күшті комбинаторлық реттелілік шарттарын қояды. Бұл шарттарды симплициалды кешендер класының аксиомалары ретінде қарастыра отырып, Титс құрылыстың алғашқы анықтамасына келді. Δ құрылысын анықтайтын деректердің бір бөлігі – W Коксетер тобы, ол жоғары симметриялық симплициалды кешенді, Коксетер кешені деп аталатынды анықтайды. Δ құрылысы Σ-ның бірнеше көшірмелерінен, яғни оның пәтерлерінен белгілі бір ретпен құралады. W шекті Коксетер тобы болғанда, Коксетер кешені топологиялық сфера болып табылады, ал сәйкес құрылыстар сфералық типтегі құрылыстар деп аталады. W аффиндік Вейл тобы болғанда, Коксетер кешені аффиндік жазықтықтың бөлінісі болып табылады және оны аффиндік немесе еуклидтік құрылыстар деп атайды. А1 типіндегі аффиндік құрылыс – ұшы жоқ шексіз ағаш. Жартылай қарапайым алгебралық топтар теориясы құрылыс ұғымына бастапқы түрткі болғанмен, барлық құрылыстар топтан туындамайды. Атап айтқанда, проективтік жазықтықтар және жалпыланған төртбұрыштар инциденттік геометрияда зерттелген графиктердің екі класын құрайды, олар құрылыс аксиомаларын қанағаттандырады, бірақ ешқандай топпен байланысты болмауы мүмкін. Бұл құбылыс сәйкес Коксетер жүйесінің төменгі рангімен байланысты болып шығады (яғни екі). Титс керемет теореманы дәлелдеді: кемінде үш ранктің барлық сфералық құрылыстары топпен байланысты; сонымен қатар, егер кемінде екі ранктің құрылысы топпен байланысты болса, онда топ құрылыспен анықталады. Ивахори-Мацумото, Борель-Титс және Брухат-Титс Титстің сфералық құрылыстарды салуына ұқсас, аффиндік құрылыстар да белгілі бір топтардан, атап айтқанда, жергілікті Архимед емес алгебралық топтардан құрастырылатынын көрсетті. Сонымен қатар, егер топтың бөлінген рангі кемінде үш болса, онда ол негізінен оның құрылысымен анықталады. Кейіннен Титс құрылыстар теориясының негізін камералық жүйе түсінігін пайдалана отырып қайта қарастырды, құрылысты тек максималды өлшемдегі симплекстердің жанындағы қасиеттері тұрғысынан кодтайды; бұл сфералық және аффиндік жағдайларда да оңайлатуға әкеледі. Ол сфералық жағдаймен салыстыра отырып, әрбір аффиндік типтегі және кемінде төрт ранктің құрылысы топтан туындайтындығын дәлелдеді.
Iwahori–Matsumoto, Borel–Tits and Bruhat–Tits demonstrated that in analogy with Tits' construction of spherical buildings, affine buildings can also be constructed from certain groups, namely, reductive algebraic groups over a local non Archimedean field. Furthermore, if the split rank of the group is at least three, it is essentially determined by its building. Tits later reworked the foundational aspects of the theory of buildings using the notion of a chamber system, encoding the building solely in terms of adjacency properties of simplices of maximal dimension; this leads to simplifications in both spherical and affine cases. He proved that, in analogy with the spherical case, every building of affine type and rank at least four arises from a group.
Автоморфизмдер
Титс кез келген белгіні сақтайтын аффиндік құрылыстың автоморфизмі SLn(('Q'p)) элементінен туындайтынын дәлелдеді. Құрылыстың автоморфизмдері белгілерді өзгертетіндіктен, Aut X → Sn табиғи гомоморфизмі бар. GLn(('Q'p)) әрекетінен n цикл τ пайда болады. Құрылыстың басқа автоморфизмдері Динкин диаграммасының автоморфизмдерімен байланысты SLn(('Q'p)) сыртқы автоморфизмдерінен туындайды. Стандартты симметриялық билинейлік форманы ортонормалды негіз vi арқылы қарастырып, торды оның қосарлы торына жіберетін бейнелеу, квадраты бірлікке тең болатын автоморфизм береді, ол әрбір белгіні n модулі бойынша теріс шамасына жібереді. Жоғарыдағы гомоморфизмнің бейнесі σ және τ арқылы туындайды және 2n реттік Dn диэдрлік тобына изоморфты; жағдайында, ол S3 тобының өзін береді. Егер E – 'Q'p-нің шекті Галуа кеңейтімі болса және құрылыс SLn(('Q'p)) орнына SLn(E) арқылы жасалса, Галуа тобы Gal(E / 'Q'p) құрылысқа автоморфизмдер арқылы әрекет етеді.
Aut X → Sn. The action of GLn('Q'p) gives rise to an n cycle τ. Other automorphisms of the building arise from outer automorphisms of SLn('Q'p) associated with automorphisms of the Dynkin diagram. Taking the standard symmetric bilinear form with orthonormal basis vi, the map sending a lattice to its dual lattice gives an automorphism whose square is the identity, giving the permutation σ that sends each label to its negative modulo n. The image of the above homomorphism is generated by σ and τ and is isomorphic to the dihedral group Dn of order 2n; when , it gives the whole of S3. If E is a finite Galois extension of 'Q'p and the building is constructed from SLn(E) instead of SLn('Q'p), the Galois group Gal(E / 'Q'p) will also act by automorphisms on the building.
БрухатТитс - күрделі көбейетін ағаштар
L – архимедтік жергілікті өріс болса, SL2(L) тобының құрылысына күрделі көбейтумен қосымша құрылым енгізуге болады. Бұларды алғаш рет Мартин Л. Браун енгізді. Мұндай құрылымдар L-дің квадраттық кеңейтілуі L^(2) векторлық кеңістігіне әсер ететін кезде пайда болады. Бұл күрделі көбейтуі бар құрылымдарды кез келген жаһандық өріске кеңейтуге болады. Олар Хекке операторларының классикалық модульдік қисық X0(N) қисығындағы Хекнер нүктелеріне, сондай-ақ Дринфельд модульдік қисығындағы әсерін сипаттайды. SL2(L) жағдайы үшін мұндай күрделі көбейтуі бар құрылымдар толық классификацияланды.
Жіктеу
Титс 2-ден жоғары дәрежедегі барлық қысқартылмайтын сфералық құрылымдардың (яғни, шекті Вейль тобы бар) қарапайым алгебралық немесе классикалық топтармен байланысты екенін дәлелдеді. Осыған ұқсас нәтиже 2-ден үлкен өлшемді аффинді құрылымдар үшін де қолданылады (олардың "шеткі" құрылымдары екіден үлкен дәрежедегі сфералық болады). Төменгі дәрежеде немесе өлшемде мұндай жіктеме жоқ. Шындығында, кез келген инциденттік құрылым 2-дәрежелі сфералық құрылымды тудырады (қараңыз); ал Баллман мен Брин әрбір 2 өлшемді симплициалды кешеннің, мұнда төбелерінің байланыстары шекті проективті жазықтықтың флаг кешеніне изоморфты, құрылымдық құрылымға ие екенін дәлелдеді, бұл міндетті түрде классикалық емес. Көптеген 2 өлшемді аффинді құрылымдар гиперболалық шағылыс топтарын немесе орбифольдтармен байланысты басқа да ерекше құрылымдарды қолдана отырып жасалды. Сондай-ақ, Титс құрылымды топтағы (B, N) жұп арқылы сипаттағанда, оның автоморфизмдерінің көбінесе топтың автоморфизмдерімен сәйкес келетінін дәлелдеді (қараңыз).
Қолданбалар
Ғимараттар теориясы бірнеше өте әртүрлі салаларда маңызды қолданысқа ие. Жалпы және жергілікті өрістердегі редуктивті алгебралық топтардың құрылымымен бұрын айтылған байланыстардан басқа, ғимараттар олардың өкілдіктерін зерттеу үшін де пайдаланылады. Титстің топты оның ғимараты арқылы анықтау туралы нәтижелері Джордж Мостоу мен Григорий Маргулистің қатаңдық теоремаларымен және Маргулистің арифметикалық қасиеттерімен терең байланысты. Ғимараттардың арнайы түрлері дискретті математикада зерттеледі, ал қарапайым топтарды сипаттауға геометриялық тәсіл идеясы шекті қарапайым топтарды жіктеуде өте жемісті болды. Сфералық немесе аффиндік типтен артық жалпы типтегі ғимараттар теориясы әлі толық дамымаған, бірақ бұл жалпыланған ғимараттар алгебрада Кац-Муди топтарын құруға, ал топология мен геометриялық топтар теориясында оң емес қисықтыққа ие көпқырлылар мен гиперболалық топтарды зерттеуге қолданылған.