Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Сандарды жазуға қолданылатын символдар
Symbols used to write numbers
Сандық цифр (көбінесе цифр деп қысқартылады) немесе сан – позициялық сандық жүйеде сандарды көрсету үшін жеке (мысалы, "1") немесе комбинацияда (мысалы, "15") қолданылатын жекелеген символ. "Цифр" атауының себебі – қолдың он саусағының (латын тіліндегі digiti сөзі "саусақ" дегенді білдіреді) жалпы 10-дық сандық жүйенің он символына сәйкес келуі, яғни ондық сандарға (латын тіліндегі decem сөзі "он" дегенді білдіреді). Белгілі бір сандық жүйенің бүтін сан негізіне қарай, қажетті әртүрлі цифрлардың саны негіздің абсолюттік мәнімен анықталады. Мысалы, ондық жүйеге (10-дық негізде) он цифр (0-ден 9-ға дейін) қажет, ал екілік жүйеге (2-лік негізде) екі цифр (0 және 1) қажет.
A numerical digit (often shortened to just digit) or numeral is a single symbol used alone (such as "1") or in combinations (such as "15"), to represent numbers in a positional numeral system. The name "digit" comes from the fact that the ten digits (Latin digiti meaning fingers) of the hands correspond to the ten symbols of the common base 10 numeral system, i. e. the decimal (ancient Latin adjective decem meaning ten) digits. For a given numeral system with an integer base, the number of different digits required is given by the absolute value of the base. For example, the decimal system (base 10) requires ten digits (0 through to 9), whereas the binary system (base 2) requires two digits (0 and 1).
Шолу
Негізгі цифрлық жүйеде сан – кез келген ұзындығы бар цифрлар тізбегі. Тізбектегі әрбір орынның салмағы болады, әрбір цифрдің өзіндік мәні болады. Санның мәні оның салмағына сәйкес тізбектегі әрбір цифрды көбейту және алынған нәтижелерді қосу арқылы есептеледі.
In a basic digital system, a numeral is a sequence of digits, which may be of arbitrary length. Each position in the sequence has a place value, and each digit has a value. The value of the numeral is computed by multiplying each digit in the sequence by its place value, and summing the results.
Цифрлық мәндер
Сандық жүйедегі әрбір цифр бүтін санды көрсетеді. Мысалы, ондық жүйеде "1" цифры бір бүтін санды, ал он алтылық жүйеде "A" әрпі он санды көрсетеді. Позициялық сан жүйесінде нөлден бастап, сан жүйесінің негізіне дейін (оның ішінде емес) әрбір бүтін сан үшін бірегей цифр болады. Осылайша, позициялық ондық жүйеде 0-ден 9-ға дейінгі сандарды олардың тиісті белгілерімен – "0" -ден "9" -ға дейін оң жақтағы "бірлік" разрядында көрсетуге болады. 12 саны бірлік разрядында "2" цифрымен, ал "ондық" разрядында "1" цифрымен көрсетіледі, "1" цифры "2" цифрының сол жағында орналасады. 312 саны үш цифрмен көрсетіледі: "3" – "жүздік" разрядында, "1" – "ондық" разрядында және "2" – "бірлік" разрядында.
Each digit in a number system represents an integer. For example, in decimal the digit "1" represents the integer one, and in the hexadecimal system, the letter "A" represents the number ten. A positional number system has one unique digit for each integer from zero up to, but not including, the radix of the number system. Thus in the positional decimal system, the numbers 0 to 9 can be expressed using their respective numerals "0" to "9" in the rightmost "units" position. The number 12 can be expressed with the numeral "2" in the units position, and with the numeral "1" in the "tens" position, to the left of the "2" while the number 312 can be expressed by three numerals: "3" in the "hundreds" position, "1" in the "tens" position, and "2" in the "units" position.
Компьютерлік ғылымда
Компьютерлік ғылымда кеңінен қолданылатын екілік (2-негіз), сегіздік (8-негіз) және оналтылық (16-негіз) жүйелердің барлығы индус-араб сандық жүйесінің қағидаларына сәйкес келеді. Екілік жүйеде тек "0" және "1" цифрлары қолданылады, ал сегіздік жүйеде "0" мен "7" аралығындағы цифрлар қолданылады. Оналық жүйе оналық жүйедегі барлық цифрларды, сондай-ақ "A" мен "F" әріптерін пайдаланады, олар сәйкесінше 10 мен 15 сандарын көрсетеді. Екілік жүйе қолданылғанда, "бит(тер)" термині "цифр(лар)" терминінің орнына, "binary digit" сөзінің біріктірілген түрі ретінде жиі қолданылады.
The binary (base 2), octal (base 8), and hexadecimal (base 16) systems, extensively used in computer science, all follow the conventions of the Hindu–Arabic numeral system. The binary system uses only the digits "0" and "1", while the octal system uses the digits from "0" through "7". The hexadecimal system uses all the digits from the decimal system, plus the letters "A" through "F", which represent the numbers 10 to 15 respectively. When the binary system is used, the term "bit(s)" is typically used as an alternative for "digit(s)", being a portmanteau of the term "binary digit".
Әдеттегі емес жүйелер
Кейде үштік және теңгерімді үштік жүйелер қолданылған. Екеуі де 3-тік санау жүйесі. Теңгерімді үштік ерекшелігі – 1, 0 және –1 цифрлік мәндерін пайдалануы. Теңгерімді үштік кейбір пайдалы қасиеттерге ие болып шықты және бұл жүйе тәжірибелік ресейлік "Сетунь" компьютерлерінде қолданылды. Соңғы 300 жылда бірнеше авторлар позициялық жазудың модификацияланған ондық түріне тең келетін ыңғайлылығын атап өтті. Теріс мәнді цифрларды қолданудың кейбір артықшылықтары айтылды. 1840 жылы Огюстен Луи Коши сандарды таңбаланған цифрлармен көрсетуді ұсынды, ал 1928 жылы Флориан Кажори теріс сандарға қатысты сілтемелер жинағын ұсынды. Таңбаланған цифрлық көрсету концепциясы компьютерлік жобалауда да қолданылды.
The ternary and balanced ternary systems have sometimes been used. They are both base 3 systems. Balanced ternary is unusual in having the digit values 1, 0 and –1. Balanced ternary turns out to have some useful properties and the system has been used in the experimental Russian Setun computers. Several authors in the last 300 years have noted a facility of positional notation that amounts to a modified decimal representation. Some advantages are cited for use of numerical digits that represent negative values. In 1840 Augustin Louis Cauchy advocated use of signed digit representation of numbers, and in 1928 Florian Cajori presented his collection of references for negative numerals. The concept of signed digit representation has also been taken up in computer design.
Математикадағы сандар
Сандарды сипаттаудағы цифрлардың маңызды рөліне қарамастан, қазіргі заманғы математикада олардың маңызы шамалы. Бірақ, санды цифрлар тізбегі түрінде көрсетуді қолданатын бірнеше маңызды математикалық түсініктер бар.
Despite the essential role of digits in describing numbers, they are relatively unimportant to modern mathematics. Nevertheless, there are a few important mathematical concepts that make use of the representation of a number as a sequence of digits.
Цифрлық түбірлер
Цифрлық түбір – берілген санның цифрларын қосып, содан кейін алынған нәтиженің цифрларын қосу, және бір цифрлы сан шыққанша осылай жалғастыру арқылы есептелінетін бір цифрлы сан.
The digital root is the single digit number obtained by summing the digits of a given number, then summing the digits of the result, and so on until a single digit number is obtained.
Тоғыздықтарды шығару
Тоғыздықтарды шығару – қолмен орындалған арифметиканы тексеру әдісі. Оны сипаттау үшін, жоғарыда айтылғандай, сандың цифрлік түбірін арқылы белгілейік. Тоғыздықтарды шығару мына фактіні пайдаланады: егер , онда . Тоғыздықтарды шығару процесінде соңғы теңдеудің екі жағы да есептеледі, және егер олар тең болмаса, бастапқы қосылу дұрыс емес болуы керек.
Casting out nines is a procedure for checking arithmetic done by hand. To describe it, let represent the digital root of , as described above. Casting out nines makes use of the fact that if , then In the process of casting out nines, both sides of the latter equation are computed, and if they are not equal, the original addition must have been faulty.
Репуниттер мен репдигиттер
Репуниттер — тек 1 цифрынан ғана тұратын бүтін сандар. Мысалы, 1111 (бір мың бір жүз он бір) — репунит. Репцифрлар — репуниттердің жалпылама түрі; олар бірдей цифрдың қайталануы арқылы жасалған бүтін сандар. Мысалы, 333 — репцифр. Математиктер репуниттердің жай сан болуымен айналысады.
Repunits are integers that are represented with only the digit 1. For example, 1111 (one thousand, one hundred and eleven) is a repunit. Repdigits are a generalization of repunits; they are integers represented by repeated instances of the same digit. For example, 333 is a repdigit. The primality of repunits is of interest to mathematicians.
Палиндромдық сандар және лихрель сандары
Палиндромдық сандар – цифрлары кері оқылғанда да сол санды беретін сандар. Лихрель саны – цифрлары кері айналдырылып өзіне қайта-қайта қосылғанда ешқашан палиндромдық санға айналмаған оң бүтін сан. 10-дық санау жүйесінде Лихрель сандарының бар-жоғы математикада ашық мәселе болып қалады; ең кіші кандидат – 196.
Palindromic numbers are numbers that read the same when their digits are reversed. A Lychrel number is a positive integer that never yields a palindromic number when subjected to the iterative process of being added to itself with digits reversed. The question of whether there are any Lychrel numbers in base 10 is an open problem in recreational mathematics; the smallest candidate is 196.
Ежелгі сандардың тарихы
Санауға көмектесетін құралдар, әсіресе дене мүшелерін пайдалану (саусақтарды санау), қазіргідей, тарихқа дейінгі дәуірде де қолданылған. Оның көптеген түрлері бар. Он саусақты санаудан басқа, кейбір мәдениеттер саусақ буындарын, саусақтар арасындағы кеңістікті, тіпті бақайшақтары мен саусақтарын да санаған. Жаңа Гвинеяның Оксапмин мәдениеті сандарды көрсету үшін жоғарғы дене бөлігінің 27 орнынан тұратын жүйені пайдаланады. Сандық ақпаратты сақтау үшін ағаш, сүйек және тасқа ойылған санау белгілері ежелгі заманнан бері қолданылып келеді. Тас дәуірі мәдениеттері, соның ішінде ежелгі американдық тайпалар, құмар ойындарда, жеке қызметтерде және сауда тауарларын есепке алу үшін санау белгілерін пайдаланған. Сандық ақпаратты сазбалшықта сақтау әдісін шұмерліктер б.з.д. 8000–3500 жылдары аралығында ойлап тапқан. Олар үшін әртүрлі пішіндегі кішкентай сазбалшықтан жасалған белгілер, тізбектей тізілген. Б.з.д. 3500 жылдан бастап сазбалшық белгілері бірте-бірте дөңгелек қылып жасалған қаламмен (стилус) саз тақталарға (бұрын белгілер сақталған ыдыстар) түрлі бұрыштармен басылған сан белгілерімен алмастырылды, содан кейін олар күйдірілді. Шамамен б.з.д. 3100 жылы жазудағы сандар саналатын заттардан ажыратылып, абстрактілі сандарға айналды. Б.з.д. 2700–2000 жылдары аралығында Шұмерде дөңгелек қалам бірте-бірте қамыс қаламға ауыстырылды, ол сазға клинопись түріндегі белгілерді басу үшін қолданылды. Бұл клинописьтегі сан белгілері оларды алмастырған дөңгелек белгілерге ұқсас болды және дөңгелек белгілердің қосымша белгілеу мәнін сақтап қалды. Осы жүйелер бірте-бірте жалпы сексагезималдық сандар жүйесіне келді; бұл тек екі белгіден тұратын позициялық жүйе болды – тік үшбұрыш және шеврон, олар да бөлшектерді көрсетуге болатын. Бұл сексагезималдық сандар жүйесі Ежелгі Вавилон дәуірінің басында (шамамен б.з.д. 1950 ж.) толыққанды дамыды және Вавилонда стандартқа айналды. Сексагезималдық сандар – 10 және 6 негізін кезектестіретін аралас радикс жүйесі, ол тік үшбұрыштар мен шевронның тізбегі арқылы жасалды. Б.з.д. 1950 жылы бұл позициялық жазу жүйесі болды. Сексагезималдық сандар саудада кеңінен қолданылды, сонымен қатар астрономиялық және басқа да есептеулерде де пайдаланылды. Бұл жүйе Вавилониядан экспортталып, бүкіл Месопотамияға және гректер, римдіктер мен египеттіктер сияқты стандартты вавилондық өлшем бірліктерін және санауды қолданған Жерорта теңізі елдеріне тарады. Вавилондық стильдегі сексагезималдық сандарды бүгінде де уақытты (сағатқа минут) және бұрыштарды (градустарды) өлшеу үшін қолданамыз.
Counting aids, especially the use of body parts (counting on fingers), were certainly used in prehistoric times as today. There are many variations. Besides counting ten fingers, some cultures have counted knuckles, the space between fingers, and toes as well as fingers. The Oksapmin culture of New Guinea uses a system of 27 upper body locations to represent numbers. To preserve numerical information, tallies carved in wood, bone, and stone have been used since prehistoric times. Stone age cultures, including ancient indigenous American groups, used tallies for gambling, personal services, and trade goods. A method of preserving numeric information in clay was invented by the Sumerians between 8000 and 3500 BC. This was done with small clay tokens of various shapes that were strung like beads on a string. Beginning about 3500 BC, clay tokens were gradually replaced by number signs impressed with a round stylus at different angles in clay tablets (originally containers for tokens) which were then baked. About 3100 BC, written numbers were dissociated from the things being counted and became abstract numerals. Between 2700 and 2000 BC, in Sumer, the round stylus was gradually replaced by a reed stylus that was used to press wedge shaped cuneiform signs in clay. These cuneiform number signs resembled the round number signs they replaced and retained the additive sign value notation of the round number signs. These systems gradually converged on a common sexagesimal number system; this was a place value system consisting of only two impressed marks, the vertical wedge and the chevron, which could also represent fractions. This sexagesimal number system was fully developed at the beginning of the Old Babylonia period (about 1950 BC) and became standard in Babylonia. Sexagesimal numerals were a mixed radix system that retained the alternating base 10 and base 6 in a sequence of cuneiform vertical wedges and chevrons. By 1950 BC, this was a positional notation system. Sexagesimal numerals came to be widely used in commerce, but were also used in astronomical and other calculations. This system was exported from Babylonia and used throughout Mesopotamia, and by every Mediterranean nation that used standard Babylonian units of measure and counting, including the Greeks, Romans and Egyptians. Babylonian style sexagesimal numeration is still used in modern societies to measure time (minutes per hour) and angles (degrees).
Қазіргі сандардың тарихы
Қытайда әскерлер мен азық-түлік есебін беру үшін жай сандардың модульдік санақтары қолданылды. Әскерлердің нақты саны мен күріш мөлшері осы санақтардың бірегей комбинациялары түрінде көрінеді. Модульдік арифметиканың үлкен артықшылығы – оны көбейтудің оңайлығы. Бұл азық-түлік есебі үшін модульдік арифметиканы қолдануды ерекше тартымды етеді. Дәстүрлі санақтарды көбейту және бөлу өте қиын. Қазіргі заманда модульдік арифметика кейде цифрлық сигналдарды өңдеуде қолданылады. Гректердің ең көне жүйесі – аттикалық сандар, бірақ б.з.д. IV ғасырында олар квази-ондық әріптік жүйе қолдана бастады (Грек сандарын қараңыз). Яһудилер де ұқсас жүйені (еврей сандарын) қолдана бастады, ең көне мысалдары б.з.д. 100 жылға жуық шамадағы монеталар болып табылады. Рим империясы балауызға, папирусқа және тасқа жазылған санақтарды пайдаланды және түрлі сандарға әріптер тағайындаудың грек әдетін ұстанды. Рим сандары жүйесі Еуропада 16 ғасырға дейін, позициялық жазу кеңінен қолданысқа енгенге дейін қолданыста болды. Орталық Америкадағы майялар ольмектерден мұра еткен 18 және 20 базалық аралас жүйелерді қолданды, оның ішінде позициялық жазу және нөл сияқты жетілген мүмкіндіктер болды. Олар бұл жүйені астрономиялық есептеулер жасау үшін пайдаланды, соның ішінде күннің ұзындығы мен Венераның орбитасын өте дәл есептеулерді жасады. Инка империясы ірі басқару экономикасын жүргізу үшін қипуды – түрлі түсті талшықтардан тоқылған санақтарды пайдаланды. Тоқыманың түйіндері мен түстерін жазуды 16 ғасырда испан конкистадорлары жойды және ол сақталмады, бірақ қипу сияқты қарапайым жазба құрылғылары әлі де Анд аймағында қолданылады. Кейбір ғалымдар позициялық арифметика Қытайда санау таяқшаларын кеңінен пайдаланудан бастау алғанын айтады. Ең ерте жазылған позициялық жазбалар шамамен 400 жылға дейін Қытайда жасалған таяқша есептеулерінің нәтижелері болып табылады. Нөлді алғаш рет Үндістанда 7 ғасырда Брахмагупта қолданды. Қазіргі заманғы позициялық араб сандары Үндістандағы математиктер әзірледі және 773 жылы Үндістан елшісі Бағдатқа әкелген астрономиялық кестелермен бірге мұсылман математиктеріне жеткізілді. Үндістаннан Ислам сұлтандары мен Африка арасындағы белсенді сауда бұл идеяны Каирге жеткізді. Араб математиктері бұл жүйені ондық бөлшектерді қосуға дейін кеңейтті, ал Мұхаммед ибн Муса әл-Хорезми бұл туралы 9 ғасырда маңызды еңбек жазды. Қазіргі араб сандары 12 ғасырда Испанияда осы еңбектің аудармасымен және 1201 жылы Пизалық Леонардоның "Liber Abaci" еңбегімен Еуропаға енгізілді. Еуропада нөлді толыққанды индиялық жүйе 12 ғасырда арабтардан алынды. Бинарлық жүйе (2 негіздемелі) 17 ғасырда Готфрид Лейбниц тарапынан таратылды. Лейбниц мансабының басында бұл тұжырымды әзірледі және Қытайдан келген "И Цзин" көшірмесін қараған кезде оны қайта қарады. Бинарлық сандар компьютерлік қолданыстардың пайда болуына байланысты 20 ғасырда кеңінен қолданыла бастады.
In China, armies and provisions were counted using modular tallies of prime numbers. Unique numbers of troops and measures of rice appear as unique combinations of these tallies. A great convenience of modular arithmetic is that it is easy to multiply. This makes use of modular arithmetic for provisions especially attractive. Conventional tallies are quite difficult to multiply and divide. In modern times modular arithmetic is sometimes used in digital signal processing. The oldest Greek system was that of the Attic numerals, but in the 4th century BC they began to use a quasidecimal alphabetic system (see Greek numerals). Jews began using a similar system (Hebrew numerals), with the oldest examples known being coins from around 100 BC. The Roman empire used tallies written on wax, papyrus and stone, and roughly followed the Greek custom of assigning letters to various numbers. The Roman numerals system remained in common use in Europe until positional notation came into common use in the 16th century. The Maya of Central America used a mixed base 18 and base 20 system, possibly inherited from the Olmec, including advanced features such as positional notation and a zero. They used this system to make advanced astronomical calculations, including highly accurate calculations of the length of the solar year and the orbit of Venus. The Incan Empire ran a large command economy using quipu, tallies made by knotting colored fibers. Knowledge of the encodings of the knots and colors was suppressed by the Spanish conquistadors in the 16th century, and has not survived although simple quipu like recording devices are still used in the Andean region. Some authorities believe that positional arithmetic began with the wide use of counting rods in China. The earliest written positional records seem to be rod calculus results in China around 400. Zero was first used in India in the 7th century CE by Brahmagupta. The modern positional Arabic numeral system was developed by mathematicians in India, and passed on to Muslim mathematicians, along with astronomical tables brought to Baghdad by an Indian ambassador around 773. From India, the thriving trade between Islamic sultans and Africa carried the concept to Cairo. Arabic mathematicians extended the system to include decimal fractions, and Muḥammad ibn Mūsā al Ḵwārizmī wrote an important work about it in the 9th century. The modern Arabic numerals were introduced to Europe with the translation of this work in the 12th century in Spain and Leonardo of Pisa's Liber Abaci of 1201. In Europe, the complete Indian system with the zero was derived from the Arabs in the 12th century. The binary system (base 2), was propagated in the 17th century by Gottfried Leibniz. Leibniz had developed the concept early in his career, and had revisited it when he reviewed a copy of the I Ching from China. Binary numbers came into common use in the 20th century because of computer applications.