p-адистік анализ – сандар теориясының тармағы. p-ади сандарының функцияларын зерттейді. Диофант геометриясы, жуықтау және функционалдық анализде қолданылады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Сандар теориясының саласы
Branch of number theory
Математикада, p-адикалық талдау – сандар теориясының p-адикалық сандардың функцияларын математикалық тұрғыдан зерттейтін саласы. P-адикалық сандардағы сандық функциялар теориясы жергілікті жиынтық топтар теориясының бір бөлігі болып табылады. P-адикалық талдау термині көбінесе қызығушылық тудыратын кеңістіктердегі p-адикалық мәнді функциялар теориясын білдіреді. P-адикалық талдаудың қолданылу аймағы негізінен сандар теориясы, онда ол диофантикалық геометрия және диофантикалық жуықтау салаларында маңызды рөл атқарады. Кейбір қолданыстар үшін p-адикалық функционалдық талдау және спектрлік теорияны дамыту қажет болды. Көп жағдайда p-адикалық талдау классикалық талдауға қарағанда аз күрделі, себебі ультраметрлік теңсіздік, мысалы, p-адикалық сандардың шексіз қатарларының жуықтасуын әлдеқайда жеңілдетеді. P-адикалық өрістердегі топологиялық векторлық кеңістіктер ерекше ерекшеліктерді көрсетеді; мысалы, дөңестікке және Хан-Банах теоремасына қатысты мәселелер өзгеше болып келеді.
In mathematics, p adic analysis is a branch of number theory that deals with the mathematical analysis of functions of p adic numbers. The theory of complex valued numerical functions on the p adic numbers is part of the theory of locally compact groups. The usual meaning taken for p adic analysis is the theory of p adic valued functions on spaces of interest. Applications of p adic analysis have mainly been in number theory, where it has a significant role in diophantine geometry and diophantine approximation. Some applications have required the development of p adic functional analysis and spectral theory. In many ways p adic analysis is less subtle than classical analysis, since the ultrametric inequality means, for example, that convergence of infinite series of p adic numbers is much simpler. Topological vector spaces over p adic fields show distinctive features; for example aspects relating to convexity and the Hahn–Banach theorem are different.
Островский теоремасы
Островский теоремасы, Александр Островскийдің (1916) еңбегі, рационал сандар жиынындағы кез келген тривиалды емес абсолюттік мән, жай ғана нақты абсолюттік мәнге немесе p-адық абсолюттік мәнге эквивалентті екенін көрсетеді.
Ostrowski's theorem, due to Alexander Ostrowski (1916), states that every non trivial absolute value on the rational numbers Q is equivalent to either the usual real absolute value or a p adic absolute value.
P-адтық кванттық механика
p-ади кванттық механика – фундаменталды физиканың табиғатын түсінуге қатысты салыстырмалы түрде жаңа тәсіл. Ол кванттық механикаға p-ади талдауды қолдану болып табылады. Қазіргі таңда осы тақырып бойынша жүздеген зерттеу мақалалары мен халықаралық журналдар бар. Мәселеге екі негізгі көзқарас бар. Біріншісі p-ади потенциалындағы бөлшектерді қарастырады, мақсаты – кешенді мәнді толқындық функциялары тегіс өзгеретін шешімдерді табу. Мұндағы шешімдер күнделікті өмірден таныс болуы керек. Екіншісі p-ади потенциалдық құдықтарындағы бөлшектерді қарастырады, мақсаты – p-ади мәнді толқындық функцияларды табу. Бұл жағдайда физикалық түсіндіру қиын. Дегенмен, математика көбінесе керемет ерекшеліктерді көрсетеді, сондықтан ғалымдар оны зерттеуді жалғастыруда. 2005 жылы бір ғалым жағдайды былайша қорытындылады: «Мен мұның бәрін бір-бірінен кейін кездейсоқ оқиғалар тізбегі деп қарастыра алмаймын және оны ‘үлгі модель’ деп есептей алмаймын. Менің ойымша, осы салада одан әрі жұмыс істеу қажет және ол құнды».
p adic quantum mechanics is a relatively recent approach to understanding the nature of fundamental physics. It is the application of p adic analysis to quantum mechanics. There are now hundreds of research articles on the subject, along with international journals. There are two main approaches to the subject. The first considers particles in a p adic potential well, and the goal is to find solutions with smoothly varying complex valued wavefunctions. Here the solutions are to have a certain amount of familiarity from ordinary life. The second considers particles in p adic potential wells, and the goal is to find p adic valued wavefunctions. In this case, the physical interpretation is more difficult. Yet the math often exhibits striking characteristics, therefore people continue to explore it. The situation was summed up in 2005 by one scientist as follows: "I simply cannot think of all this as a sequence of amusing accidents and dismiss it as a 'toy model'. I think more work on this is both needed and worthwhile."
Жергілікті/жаһандық принцип
Гельмут Хасседің жергілікті-жаһандық принципі, сондай-ақ Хассе принципі деп аталатын бұл қағида, теңдеуге бүтін сандық шешім табу үшін әр түрлі жай санның дәрежелері бойынша шешімдерді біріктіруде қытайлық қалдық теоремасын қолдану идеясы болып табылады. Бұл, рационал сандардың толықтырылымдарында теңдеуді қарастыру арқылы жүзеге асырылады: нақты сандар және p-адық сандар. Хассе принципінің формалды тұжырымында, белгілі бір типтегі теңдеулердің рационал шешімі бар екені, олардың нақты сандарда және әрбір жай санның p-адық сандарда шешімі болған жағдайда ғана мүмкін.
Helmut Hasse's local–global principle, also known as the Hasse principle, is the idea that one can find an integer solution to an equation by using the Chinese remainder theorem to piece together solutions modulo powers of each different prime number. This is handled by examining the equation in the completions of the rational numbers: the real numbers and the p adic numbers. A more formal version of the Hasse principle states that certain types of equations have a rational solution if and only if they have a solution in the real numbers and in the p adic numbers for each prime p.